人教A版浙江版 选修22 第一章 133.docx

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人教A版浙江版选修22第一章133

1．3.3　函数的最大（小）值与导数

学习目标

　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．

知识点　函数的最大（小）值与导数

如图为y＝f（x），x∈[a，b]的图象．

思考1　观察[a，b]上函数y＝f（x）的图象，试找出它的极大值、极小值．

答案　极大值为f（x1），f（x3），极小值为f（x2），f（x4）．

思考2　结合图象判断，函数y＝f（x）在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？

若存在，分别为多少？

答案　存在，f（x）min＝f（a），f（x）max＝f（x3）．

思考3　函数y＝f（x）在[a，b]上的最大（小）值一定是某极值吗？

答案　不一定，也可能是区间端点的函数值．

思考4　怎样确定函数f（x）在[a，b]上的最小值和最大值？

答案　比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．

梳理　

（1）函数的最大（小）值的存在性

一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

（2）一般地，求函数y＝f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

①求函数y＝f（x）在（a，b）内的极值；

②将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

类型一　求函数的最值

命题角度1　不含参数的函数求最值

例1　已知函数f（x）＝x3－3x，x∈R.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）当x∈[－

，3]时，求f（x）的最大值与最小值．

解　

（1）f′（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），

当x<－1或x>1时，f′（x）>0；

当－1

所以f（x）的单调递增区间为（－∞，－1）和（1，＋∞），

单调递减区间为（－1,1）．

（2）由

（1）可知，x∈[－

，3]时，f（x）的极大值为f（－1）＝2，f（x）的极小值为f

（1）＝－2，

又f（－

）＝0，f（3）＝18，

所以当x∈[－

，3]时，f（x）的最大值为18，f（x）的最小值为－2.

反思与感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点

（1）对函数进行准确求导，并检验f′（x）＝0的根是否在给定区间内．

（2）研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．

（3）比较极值与端点函数值的大小，确定最值．

跟踪训练1　

（1）函数f（x）＝x2－cosx，x∈[－

，

]的值域是________．

答案　[－1，

]

解析　f′（x）＝2x＋sinx，

令f′（x）＝0，即2x＋sinx＝0，得x＝0，

f（0）＝－cos0＝－1，f（

）＝f（－

）＝

，

∴f（x）的最大值为

，f（x）的最小值为－1.

则f（x）的值域为[－1，

]．

（2）已知函数f（x）＝x3－ax2＋3x，若x＝3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]时的最值．

解　f′（x）＝3x2－2ax＋3，

由题意知f′（3）＝0，即27－6a＋3＝0，解得a＝5，

∴f′（x）＝3x2－10x＋3.

令f′（x）＝0，即3x2－10x＋3＝0，

解得x＝3或x＝

（舍去）．

∵f（3）＝－9，f

（1）＝－1，f（5）＝15，

∴当x∈[1,5]时，f（x）的最小值为－9，最大值为15.

命题角度2　含参数的函数求最值

例2　已知a为常数，求函数f（x）＝－x3＋3ax（0≤x≤1）的最大值．

解　f′（x）＝－3x2＋3a＝－3（x2－a）．

若a≤0，则f′（x）≤0，函数f（x）单调递减，

所以当x＝0时，f（x）有最大值f（0）＝0；

若a>0，则令f′（x）＝0，解得x＝±

.

由x∈[0,1]，则只考虑x＝

的情况．

①当0<

<1，即0

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（0，

）

（

，1）

f′（x）

＋

0

－

f（x）

↗

2a

↘

f（x）max＝f（

）＝2a

.

②当

≥1，即a≥1时，f′（x）≥0，函数f（x）在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f（x）有最大值，f

（1）＝3a－1.

综上，当a≤0，x＝0时，f（x）有最大值0；

当0

时，f（x）有最大值2a

；

当a≥1，x＝1时，f（x）有最大值3a－1.

反思与感悟　对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．

跟踪训练2　已知函数f（x）＝ax3－

x2＋b（x∈R）．

（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为y＝6x－8，求a，b的值；

（2）若a>0，b＝2，当x∈[－1,1]时，求f（x）的最小值．

解　

（1）f′（x）＝3ax2－3x，由f′

（2）＝6，得a＝1.

由切线方程为y＝6x－8，得f

（2）＝4.

又f

（2）＝8a－6＋b＝b＋2，所以b＝2，

所以a＝1，b＝2.

（2）f′（x）＝3ax2－3x＝3x（ax－1）．

令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝

，分以下两种情况讨论：

①若

>1，即0

x

（－1,0）

0

（0,1）

f′（x）

＋

0

－

f（x）

↗

极大值

↘

f（－1）＝－a－

＋2，f

（1）＝a－

＋2，

所以f（x）min＝f（－1）＝

－a.

②若0<

<1，即a>1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（－1,0）

0

（0，

）

（

，1）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

f（－1）＝

－a，f（

）＝2－

.

而f（

）－f（－1）＝2－

－（

－a）

＝

＋a－

>0，

所以f（x）min＝f（－1）＝

－a.

综合①和②知，f（x）min＝f（－1）＝

－a.

类型二　由函数的最值求参数

例3　已知函数f（x）＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．

解　由题设知a≠0，否则f（x）＝b为常函数，与题设矛盾．

求导得f′（x）＝3ax2－12ax＝3ax（x－4），

令f′（x）＝0，得x1＝0，x2＝4（舍去）．

①当a>0，且当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

－1

（－1,0）

0

（0,2）

2

f′（x）

＋

0

－

f（x）

－7a＋b

↗

b

↘

－16a＋b

由表可知，当x＝0时，f（x）取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f（0）＝b＝3.

又f（－1）＝－7a＋3，f

（2）＝－16a＋3

∴f

（2）＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.

②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f（x）取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f（0）＝b＝－29.

又f（－1）＝－7a－29，f

（2）＝－16a－29>f（－1），

∴f

（2）＝－16a－29＝3，解得a＝－2.

综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.

反思与感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值（范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．

跟踪训练3　

（1）若函数f（x）＝3x－x3在区间（a2－12，a）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－1，

）B．（－1,4）

C．（－1,2]D．（－1,2）

答案　C

解析　由f′（x）＝3－3x2＝0，得x＝±1.

当x变化时，f′（x）及f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，－1）

－1

（－1,1）

1

（1，＋∞）

f′（x）

－

0

＋

0

－

f（x）

↘

－2

↗

2

↘

由此得a2－12<－1

.

又当x∈（1，＋∞）时，f（x）单调递减，

且当x＝2时，f（x）＝－2.∴a≤2.

综上，－1

（2）已知函数f（x）＝x－ln（x＋a）的最小值为0，其中a>0，求a的值．

解　f（x）的定义域为（－a，＋∞），

f′（x）＝1－

＝

.

由f′（x）＝0，解得x＝1－a>－a.

当－a

当x>1－a时，f′（x）>0，f（x）在（1－a，＋∞）上单调递增．

因此，f（x）在x＝1－a处取得最小值，

由题意知f（1－a）＝1－a＝0，故a＝1.

类型三　与最值有关的恒成立问题

例4　已知2xlnx≥－x2＋ax－3对一切x∈（0，＋∞）恒成立，求a的取值范围．

解　由2xlnx≥－x2＋ax－3，

则a≤2lnx＋x＋

.

设h（x）＝2lnx＋

＋x（x>0）．

则h′（x）＝

，

当x∈（0,1）时，h′（x）<0，h（x）单调递减，

当x∈（1，＋∞）时，h′（x）>0，h（x）单调递增．

∴h（x）min＝h

（1）＝4.

∴a≤h（x）min＝4.

反思与感悟　分离参数求解不等式恒成立问题的步骤

跟踪训练4　设f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）＋f′（x）．

（1）求g（x）的单调区间和最小值．

（2）求a的取值范围，使得g（a）－g（x）<

对任意x>0成立．

解　

（1）由题设知f（x）的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝

，g（x）＝lnx＋

，

所以g′（x）＝

.

令g′（x）＝0，得x＝1.

当x∈（0,1）时，g′（x）<0，

故（0,1）是g（x）的单调递减区间；

当x∈（1，＋∞）时，g′（x）>0，

故（1，＋∞）是g（x）的单调递增区间．

因此，x＝1是g（x）在（0，＋∞）上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g

（1）＝1.

（2）g（a）－g（x）<

对任意x>0成立，

即lna0成立．

由

（1）知，g（x）的最小值为1，

所以lna<1，解得0

1．函数f（x）＝x3－3x（x<1）（　　）

A．有最大值，无最小值B．有最大值，最小值

C．无最大值，最小值D．无最大值，有最小值

答案　A

解析　令f′（x）＝3x2－3＝0，得x＝－1或1（舍去），

当x∈（－∞，－1）时，f′（x）>0，f（x）单调递增；

当x∈（－1,1）时，f′（x）<0，f（x）单调递减．

故f（x）有最大值而无最小值．

2．函数f（x）＝x2·ex＋1，x∈[－2,1]的最大值为（　　）

A．4e－1B．1

C．e2D．3e2

答案　C

解析　f′（x）＝xex＋1（x＋2），

令f′（x）＝0，得x＝－2或x＝0.

当f′（x）>0时，x<－2或x>0；

当f′（x）<0时，－2

当x＝－2时，f（－2）＝

；当x＝0时，f（0）＝0；

当x＝1时，f

（1）＝e2，所以函数的最大值为e2.故选C.

3．已知函数f（x）＝x3－12x＋