奥数五大定理.docx

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奥数五大定理

五大定理求面积：

　例1右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积.

 　　解：

ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.　而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是FE×BE÷2，　它恰好是长方形ABEF面积的一半.同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半.

因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是　20×12÷2=120.

通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.

如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFHG的面积为60平方厘米

考点：

组合图形的面积．

专题：

平面图形的认识与计算．

分析：

根据四边形ABCD的面积是5，要求四边形EFGH的面积，只要求出三角形EFB，三角形FCG，三角形GDH和三角形AEH四个三角形的面积之和再减去四边形ABCD的面积，即可解决问题

解答：

解：

连接AC、BD、ED、EC、CH

S△BEF+S△DHG+S△AEH+S△CFG

=4S△ABC+46S△ACD+9S△ABD+9S△BCD

=4（S△ABC+4S△ACD）+9（S△ABD+9S△BCD）

=4×5+9×5

=65（平方厘米）

S四边形EFGH=65-5=60（平方厘米）

．如图，将四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA分别延长两倍，形成一个大的四边形EFGH，若四边形ABCD的面积为5平方厘米，那么四边形EFGH的面积是65平方厘米．

考点：

组合图形的面积．

专题：

平面图形的认识与计算．

分析：

根据四边形ABCD的面积是5，要求四边形EFGH的面积，只要求出四边形ABCD四周多出来的四个三角形的面积之和即可解决问题．

解答：

解：

连接AC、BD、ED、CH、BG、AF．

因的三角形AED和三角形ABD的高相等，三角形AED的底边是三角形ABD底边的2部，所以三角形AED的面积是三角形ABD面积的2倍．

因的三角形AED和三角形ADH的高相等，三角形ADH的底边是三角形AED底边的2部，所以三角形ADH的面积是三角形AED面积的2倍．

所以三角形AEH的面积是三角形ABD面积的6倍．

同理可证三角形CFG的面积是三角形BCD面积的6倍，三角形BEF的面积是三角形ABD面积的6倍，三角形DGH的面积是三角形BCD面积的6倍．

S△AEH+S△CFG+S△BEF+S△DGH

=6S△ABD+6S△BCD+6S△ABD+6S△BCD

=12（S△ABD+S△BCD）

=12×5

=60（平方厘米）

S四边形EFGH=60+5=65（平方厘米）

答：

四边形EFGH的面积是65平方厘米．

已知：

四边形ABCD的面积为1．

如图1，取四边形ABCD各边中点，则图中阴影部分的面积为；如图2，取四边形ABCD各边三等分点，则图中阴影部分的面积为；…；取四边形ABCD各边的n（n为大于1的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为

．

考点：

中点四边形；三角形的面积．

分析：

如图，连接AC、BD．通过相似三角形的判定与性质可以求得图中空白部分的面积，则根据图形易求阴影部分的面积．

解答：

如图，正方形PQRS有三个顶点分别在三角形ABC的三条边上，BQ=QC，请求出正方形PQRS的面积．

如下面左图所示，连接PR，根据题意可以表示出三角形APR，三角形BPQ，三角形CQR与三角形ABC的面积之间的关系，进而表示出三角形PQR的面积与三角形ABC的面积之间的关系，于是得出正方形PQRS的面积与三角形ABC的面积之间的关系，从而得出三角形ABC中除正方形之外的其余部分的面积与三角形ABC的面积之间的关系；然后再利用旋转的方式，如下面右图所示，将三角形BPQ以点P为中心逆时针旋转90°至三角形OPS，同样将三角形CQR以点R为中心，顺时针旋转90°至三角形ORS的位置，由BQ=CQ等关系可以得出图中两个阴影三角形恰好构成完整的四边形SPOR，连接AO，可以证明三角形APO，三角形ARO都是直角三角形，于是可以求出四边形APOR的面积，然后可以得出三角形ABC的面积，进而求出正方形PQRS的面积．