河南省中原名校即豫南九校学年高一上学期第二次联考数学试题解析版Word版含解斩.docx

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河南省中原名校即豫南九校学年高一上学期第二次联考数学试题解析版Word版含解斩

豫南九校2017-2018学年上期第二次联考

高一数学试题

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集

，集合

，

，则

（）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

所以

，选D.

2.若

对于任意实数恒有

，则

（）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】因为

，所以

，解得

选A.

3.设集合

，

，则下列表示到的映射的是（）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】当

时，所以

；

；

，

，所以选C.

4.幂函数

在

上为增函数，则的取值是（）

A.

B.

C.

或

D.

【答案】A

m=﹣1；又x∈（0，+∞）时f（x）为增函数，∴当m=2时，m2+2m﹣3=5，幂函数为f

（x）=x5，满足题意；

当m=﹣1时，m2+2m﹣3=﹣4，幂函数为f（x）=x﹣4，不满足题意；综上，m=2．故选：

A．

5.已知函数

的定义域是，则实数的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】﹣mx2+mx+1＞0对任意实数x恒成立，

当m=0时，不等式成立；当m≠0时，则

，解得﹣4＜m＜0．

综上，实数m的取值范围是﹣4＜m≤0．故选：

B．

6.函数

的大致图像是（）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】当x≤0时，y≥1，故选：

C

7.已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如图，则它的左（侧）视图是（）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】试题分析：

由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段，上、下平面也是线段，轮廓是正方形，

是虚线，左视图为：

故选A．

考点：

三视图

8.若满足

，满足

，函数

，则关于的方程

的解的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】由图像知a+b=6

，或

解得

解的个数是1，选D.

9.已知某几何体的三视图（单位：

）如图所示，则该几何体的体积是（）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】几何体为一个长方体截取一个三棱锥，所以该几何体的体积是

，选D.

点睛：

（1）解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；

（2）解决本类题目的技巧：

三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．

10.如图，已知四棱锥

的底面为矩形，平面

平面

，

，

，则四棱锥

的外接球的表面积为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

取AD的中点E，连接PE，△PAD中，PA=PD=1，

，

∴PA⊥PD，∴PE=

，设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=

，

设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+（

）2=

+（

﹣d）2，

∴d=0，R=

，∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=3π．故选：

A．

点睛:

空间几何体与球接、切问题的求解方法

（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

（2）若球面上四点

构成的三条线段

两两互相垂直，且

，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用

求解．

11.已知

是定义在整数集上的减函数，则的取值范围为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

为定义在

上的减函数；∴

解得

．故选：

．

点睛：

已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：

（1）若函数在区间

上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；

（2）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.

12.已知

实数

满足

且

，若实数是函数

的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】作

与

的图像,可得

时

所以选C.

点睛：

判断函数零点（方程的根）所在区间的方法

（1）解方程法：

当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．

（2）定理法：

利用零点存在性定理进行判断．

（3）数形结合法：

画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.如图所示，函数

的图像是折线段

，其中

的坐标分别为

，

，

，则

__________.（用数字作答）

【答案】0

【解析】f（4）=2，f

（2）=0．故

0．

14.如图，在长方体

中，

，

，则三棱锥

的体积为__________

.

【答案】24

【解析】

15.已知集合

，

，则能使

成立的实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】集合A={x|k+1≤x≤2k}，B={x|1≤x≤3}，∵A∩B=A，∴A⊆B

当A=时，满足题意，此时k+1＞2k，解得k＜1．当A≠时，要使A⊆B成立，则

，解得：

综上可得：

实数k的取值范围

16.已知函数

，若函数

有4个不同的零点，则实数的取值范围是__________.

【答案】（0，+∞）

【解析】

如图，当

时，

有两个根，

，

（0，1），所以

对应四个实根，满足题意；

当

时，

有一个根，

（0，1），所以

对应一个实根，不满足题意；即实数的取值范围是

点睛：

对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知全集

，

，

，

.

（1）求

；

（2）若

，求的取值范围.

【答案】

（1）{x|﹣1≤x＜2}；

（2）a>3.

【解析】试题分析：

（1）先解一元二次不等式得集合A，再结合数轴求CUB，以及

（2）由

，得A⊆C，再结合数轴得的取值范围.

试题解析：

（1）A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，且B={x|2≤x＜5}，U=R，

∴CUB={x|x＜2，或x≥5}，∴A∩（CUB）={x|﹣1≤x＜2}；

（2）由A∪C=C，得A⊆C，又C={x|x

∴a的取值范围是a>3.

18.如图，底面是正三角形的直三棱柱

中，是

的中点，

.

（1）求证：

平面

；

（2）求异面直线

与

所成角的正切值.

【答案】

（1）证明见解析；

（2）

.

【解析】试题分析：

（1）连接

交

于O，根据三角形中位线性质得

，再根据线面平行判定定理得结论

（2）根据

，得异面直线

与

所成角为

，再通过解三角形得异面直线

与

所成角的正切值.

试题解析：

（1）连接

交

于O，连接OD，

在

中，O为

中点，D为BC中点

（2）由

（1）知

即为所求角.

19.如图，在半径为

的半圆形（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料

，其中

在直径上，点

在圆周上.

（1）设

，将矩形

的面积表示成的函数，并写出其定义域；

（2）怎样截取，才能使矩形材料

的面积最大？

并求出最大面积.

【答案】

（1）y=2x

，x∈（0，20）.

（2）截取AD=10

时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为

.

【解析】试题分析：

（1）根据勾股定理得OA=2

，再根据矩形面积公式得函数关系式，最后根据实际意义得定义域；

（2）先整理成关于二次函数，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定最大值取法

试题解析：

（1）AB=2OA=2

，∴y=f（x）=2x

，x∈（0，20）.

（2）

时，

.

∴截取AD=10

时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为

.

20.已知函数

（为常数，且

）.

（1）当

时，求函数

的最小值（用表示）；

（2）是否存在不同的实数

使得

，

，并且

，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】

（1）

（2）

.

试题解析：

（1）令

当

即

时，

当

即

时，

综上：

.

（2）假设存在，则由已知得

等价于

在区间

上有两个不同的实根

等价于

，作出函数图象，可得

.

法二:

亦可用一元二次方程实根分布求解.

21.已知在四棱锥

中，底面

是矩形，且

，

，

平面

，

分别是线段

的中点.

（1）证明：

；

（2）在线段

上是否存在点，使得

平面

，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由；

（3）若

与平面

所成的角为

，求二面角

的余弦值.

【答案】

（1）证明见解析；

（2）答案见解析；（3）

.

【解析】试题分析：

（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．

（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：

一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．

试题解析：

解法一：

（1）∵

平面

，

，

，

，建立如图所示的空间直角坐标系

，则

．2分

不妨令

∵

，

∴

，

即

．4分

（2）设平面

的法向量为

，由

，得

，令

，

得：

．∴

．6分

设点坐标为

，

，则

，要使

∥平面

，只需

，即

，得

，从而满足

的点即为所求．8分

（3）∵

，∴

是平面

的法向量，易得

，9分

又∵

平面

，∴

是

与平面

所成的角，

得

，

，平面

的法向量为

10分

∴

，

故所求二面角

的余弦值为

．12分

解法二：

（1）证明：

连接

，则

，

，

又

，∴

，∴

2分

又

，∴

，又

，

∴

4分

（2）过点作

交

于点，则

∥平面

，且有

5分

再过点作

∥

交

于点，则

∥平面

且

，∴平面

∥平面

7分