高中数学 必修5 数列单元综合检测二优秀经典课时作业练习题及答案详解.docx
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高中数学必修5数列单元综合检测二优秀经典课时作业练习题及答案详解
单元综合检测
（二）
时间：
120分钟 满分：
150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知数列的前4项为2,0,2,0，则归纳该数列的通项不可能是（ ）
A．an＝（－1）n－1＋1 B．an＝
C．an＝2sin
D．an＝cos（n－1）π＋1
解析：
对于C，当n＝3时，sin
＝－1，则a3＝－2，与题意不符．
答案：
C
2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为（ ）
A．15B．16
C．49D．64
解析：
a8＝S8－S7＝82－72＝15.
答案：
A
3．若数列{an}的通项公式是an＝2（n＋1）＋3，则此数列（ ）
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为3的等差数列
C．是公差为5的等差数列
D．不是等差数列
解析：
由题意可得，an＝2n＋5＝7＋2（n－1），即此数列是公差为2的等差数列．
答案：
A
4．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝（ ）
A．1B．±1
C．2D．±2
解析：
因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a
＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，
所以q2＝2，a1＝
＝1，故选A.
答案：
A
5．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于（ ）
A．31B．32
C．33D．34
解析：
由已知可得
解得
所以S8＝8a1＋
d＝32.
答案：
B
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：
今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）
A．8B．9
C．10D．11
解析：
该数列为等差数列，且S7＝28，a2＋a5＋a8＝15，即7a1＋21d＝28,3a1＋12d＝15，解得a1＝1，d＝1，a9＝a1＋8d＝9.
答案：
B
7．等差数列{an}前n项和为Sn，S7＋S5＝10，a3＝5，则S7＝（ ）
A．25B．49
C．－15D．40
解析：
因为等差数列{an}前n项和为Sn，S7＋S5＝10，a3＝5，
所以
解得a1＝
，d＝－
，
所以S7＝7a1＋
d＝7×
＋
×
＝－15.
答案：
C
8．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝14，a3＝8，则a6＝（ ）
A．16B．32
C．64D．128
解析：
设等比数列的公比为q，由S3＝14，a3＝8，则
解得a1＝2，q＝2，所以a6＝a1q5＝2×25＝64，故选C.
答案：
C
9．已知a，b，c是三个不同的实数，若a，b，c成等差数列，且b，a，c成等比数列，则a∶b∶c为（ ）
A．2∶1∶4B．（－2）∶1∶4
C．1∶2∶4D．1∶（－2）∶4
解析：
由a，b，c成等差数列，设a＝m－d，b＝m，c＝m＋d，d≠0，
因为b，a，c成等比数列，所以a2＝bc，即（m－d）2＝m（m＋d），
化简，得d＝3m，则a＝－2m，b＝m，c＝4m，
所以a∶b∶c＝（－2）∶1∶4.
答案：
B
10．已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，则
＋
等于（ ）
A．4B．3
C．2D．1
解析：
由题意得b2＝ac,2m＝a＋b,2n＝b＋c，
则
＋
＝
＝
＝
＝2.
答案：
C
11．设直线nx＋（n＋1）y＝
（n∈N*）与两坐标轴围成的三角形面积为an，则a1＋a2＋…＋a2017＝（ ）
A.
B．
C.
D.
解析：
分别令x＝0和y＝0，得到直线nx＋（n＋1）y＝
（n∈N*）与两坐标轴的交点，
，
，则an＝
·
·
＝
＝
－
，然后分别代入1,2，…，2017，则有a1＋a2＋…＋a2017＝1－
＋
－
＋…＋
－
＝1－
＝
.
答案：
A
12．已知函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f（x·y）＝f（x）＋f（y），若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f（Sn＋2）－f（an）＝f（3）（n∈N*），则an为（ ）
A．2n－1B．n
C．2n－1D.
n－1
解析：
由f（Sn＋2）＝f（an）＋f（3）（n∈N*），得Sn＋2＝3an，Sn－1＋2＝3an－1（n≥2），两式相减得，2an＝3an－1（n≥2），即
＝
.
当n＝1时，S1＋2＝3a1＝a1＋2，解得a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为
的等比数列，则an＝
n－1.
答案：
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
13．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于________．
解析：
每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝
＝
＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102，由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.
答案：
6
14．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则
＝________.
解析：
设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由题意得－1＋3d＝－q3＝8⇒d＝3，q＝－2⇒
＝
＝1.
答案：
1
15．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝（－1）n（an＋1），记Sn为{an}的前n项和，则S2018＝________.
解析：
因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝（－1）n（an＋1），
所以a2＝－（1＋1）＝－2，
a3＝－2＋1＝－1，a4＝－（－1＋1）＝0，a5＝0＋1＝1，a6＝－（1＋1）＝－2，a7＝－2＋1＝－1，…，所以{an}是以4为周期的周期数列，
因为2018＝504×4＋2，所以S2018＝504×（1－2－1＋0）＋1－2＝－1009.
答案：
－1009
16．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：
因为an＋1－an＝2n，
所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝
＋2＝2n－2＋2＝2n，
所以Sn＝
＝2n＋1－2.
答案：
2n＋1－2
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8.
（1）求a4，a7；
（2）求a1＋a10.
解析：
（1）由等比数列的性质知，a4a7＝a5a6＝－8，与a4＋a7＝2联立，解得
或
（2）当a4＝4，a7＝－2时，q3＝
＝－
，a1＝
＝－8，所以a1＋a10＝a1（1＋q9）＝－7；
当a4＝－2，a7＝4时，q3＝
＝－2，a1＝
＝1，所以a1＋a10＝a1（1＋q9）＝－7.
综上，a1＋a10＝－7.
18．（12分）已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．
（1）求通项an及Sn；
（2）设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.
解析：
（1）因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，
所以an＝19－2（n－1）＝－2n＋21，
Sn＝19n＋
·（－2）＝－n2＋20n.
（2）由题意得bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1－2n＋21，则
Tn＝Sn＋（1＋3＋…＋3n－1）＝－n2＋20n＋
.
19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，a2＝8，a3＝24，{an＋1－2an}为等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求Sn.
解析：
（1）因为a2－2a1＝4，a3－2a2＝8，
所以an＋1－2an＝4×2n－1＝2n＋1，
所以
－
＝1，所以
是以1为首项，1为公差的等差数列．
所以
＝1＋（n－1）＝n，
所以an＝n×2n.
（2）由
（1）可得an＝n×2n，
所以Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②
由①－②及整理得Sn＝（n－1）×2n＋1＋2.
20．（12分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a3·a1＝（2a2＋2）2.
（1）求d，an；
（2）若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
解析：
（1）由题意得5a3·a1＝（2a2＋2）2，
即d2－3d－4＝0，
故d＝－1或d＝4，
所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，因为d＜0，
由
（1）得d＝－1，an＝－n＋11，
则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－
n2＋
n，
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝
n2－
n＋110.
综上所述，
|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝
21．（12分）已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
（1）求a及k的值；
（2）已知数列{bn}满足bn＝
，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
解析：
（1）设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋
·d＝2k＋
×2＝k2＋k.
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11（舍去），故a＝2，k＝10.
（2）证明：
由
（1）得Sn＝
＝n（n＋1），
则bn＝
＝n＋1，
故bn＋1－bn＝（n＋2）－（n＋1）＝1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn＝
＝
.
22．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，S1＝1，S2＝4，且当n≥3时，Sn－1＋
是Sn与Sn－2的等差中项．数列{bn}为等比数列，且b2＝
，b3＝
.
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解析：
（1）因为当n≥3时，Sn－1＋
是Sn与Sn－2的等差中项，所以2
＝Sn＋Sn－2，
即Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋3，也就是（Sn－Sn－1）－（Sn－1－Sn－2）＝3，
即an－an－1＝3（n≥3）．而a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝3，显然a2－a1＝2≠3，所以数列{an}从第2项起构成等差数列，公差d＝3.
故当n≥2时，an＝a2＋（n－2）d＝3＋（n－2）×3＝3n－3.故an＝
等比数列{bn}中，b2＝
＝
，b3＝
＝
.
故其公比q＝
＝
.
所以其通项bn＝b2·qn－2＝
×
n－2＝
.
（2）令cn＝an·bn，
由
（1）知，cn＝an·bn＝
当n＝1时，T1＝c1＝
.
当n≥2时，Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn－1＋cn＝
＋
＋
＋…＋
＋
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