样本估计总体教学案.docx
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样本估计总体教学案
样本估计总体
一、教学目标
1．理解用样本的频率分布估计总体分布的方法．
2．会列频率分布表，画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图．
3．会根据频率分布直方图解答相关问题．
二、教学重点
1、会列频率分布表，画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图
2、会根据频率分布直方图解答相关问题
三、教学难点
1、理解用样本的频率分布估计总体分布的方法
2、会根据频率分布直方图解答相关问题
四、教学过程
知识点一用样本估计总体、数据分析的基本方法
1.用样本估计总体的两种情况
（1）用样本的频率分布估计总体分布．
（2）用样本的数字特征估计总体的数字特征．
2．数据分析的基本方法
（1）借助于图形
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，此方法可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息．
（2）借助于表格
分析数据的另一种方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式，此方法是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式．
练习1、 在2010年第十六届亚运会中，各个国家和地区代表队金牌获得情况的条形统计图，如图所示．
从图中可以看出中国队所获得金牌
数占全部金牌数的比例约是（ ）
A．41.7% B．59.8%C．67.3%D．94.8%
解析：
金牌总数为477，我国获得199块金牌，所占比例为
≈41.7%，故选A.
知识点二频率分布直方图、频率分布折线图
1.绘制频率分布直方图的步骤
2．频率分布直方图中小长方形面积的含义
小长方形的面积＝组距×
＝频率．即小长方形的面积表示相应组的频率，在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1.
3．频率分布折线图和总体密度曲线
练习2、 在画频率分布直方图时，某组的频数为10，样本容量为50，总体容量为600，则该组的频率是（ ）
A.
B.
C.
D．不确定
知识点三茎叶图
1.茎叶图的制作方法：
将所有两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出．
2．茎叶图的优缺点
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．但是当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便，因为每一个数据都要在图中占据一个空间，如果数据很多，茎叶就会很长．
思考：
茎叶图中对“叶”和“茎”有什么要求？
解析：
茎叶图中，“叶”是数据的最后一个数字，其前面的数字作为“茎”.
归纳：
1.频率分布直方图的特征：
直观、形象地反映了样本的分布规律；可以大致估计出总体的分布．但是从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据绘制成频率分布直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．
2．频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，小长方形的面积是相应各组的频率，各小长方形的面积和等于1是我们寻找等量关系的重要依据.
典例分析
考点一绘制频率分布直方图及折线图
例1美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁．下面按时间顺序（从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马，共44任）给出了历届美国总统就任时的年龄：
57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48
将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．
解析：
以4为组距，列表如下：
分组
频率累计
频数
频率
[41.5,45.5）
[45.5,49.5）
[49.5,53.5）
[53.5,57.5）
[57.5,61.5）
[61.5,65.5）
[65.5,69.5）
正
正
正正正
正
2
7
8
16
5
4
2
0.0455
0．1591
0．1818
0．3636
0．1136
0．0909
0．0455
频率分布直方图如图
（1）所示，频率分布折线图如图
（2）所示．
点评：
1.在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
①若
为整数，则
＝组数
②若
不为整数，则
的整数部分＋1＝组数．
2．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．
变式探究1 有一容量为50的样本，数据的分组及各组的数据如下：
[10,15），4；[30,35），9；[15,20），5；[35,40），8；[20,25），10；[40,45），3；[25,30），11.
（1）列出样本频率分布表；
（2）画出频率分布直方图及折线图．
解析：
（1）由所给的数据，不难得出以下样本的频率分布表：
数据段
[10,15）
[15,20）
[20,25）
[25,30）
频数
4
5
10
11
频率
0.08
0.10
0.20
0.22
数据段
[30,35）
[35,40）
[40,45）
总计
频数
9
8
3
50
频率
0.18
0.16
0.06
1
（2）频率分布直方图如图
（1）所示，频率分布折线图如图
（2）所示．
考点二频率分布直方图的应用
例2从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．
（1）直方图中x的值为__________；
（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250）内的户数为__________．
思维启迪：
（1）根据各小长方形的面积和为1求解．
（2）先求数据落在[100,250）内的频率，再由频率公式求值．
解析：
（1）由频率分布直方图知[200,250）小组的频率为1－（0.0024＋0.0036＋0.0060＋0.0024＋0.0012）×50＝0.22，于是x＝
＝0.0044.
（2）∵数据落在[100,250）内的频率为（0.0036＋0.0060＋0.0044）×50＝0.7，
∴所求户数为0.7×100＝70.
答案：
（1）0.0044
（2）70
点评：
在频率分布直方图中，如不作特别说明，纵轴表示频率/组距，各长方形的面积表示各组的频率，各长方形的面积之和为1.
变式探究2 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：
厘米）数据绘制成频率分布直方图（如下图）．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130），[130,140），[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
解析：
根据（0.035＋a＋0.020＋0.010＋0.005）×10＝1，求得a＝0.030.
身高在[120,130）内学生有0.030×10×100＝30人，
在[130,140）内学生有0.020×10×100＝20人，
在[140,150]内学生有0.010×10×100＝10人，
则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为
×10＝3（人）．
答案：
0.030 3
考点三茎叶图及其应用
例3某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有一个优良品种B进行对照实验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：
千克）如下：
品种A：
357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454
品种B：
363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430
（1）画出两组数据的茎叶图；
（2）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？
（3）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量用其稳定性进行比较，写出统计结论．
解析：
（1）茎叶图如图所示.
（2）用茎叶图处理现有的数据不但可以看出数据的分布情况，而且可以看出每组中的具体数据．
（3）通过观察茎叶图，可以发现品种A的平均亩产量约为411.1千克，品种B的平均亩产量为397.8千克．由此可知品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高，但品种A的亩产量不够稳定，而品种B的亩产量比较集中在平均亩产量附近．
点评：
画茎叶图时，用中间的数表示数据的十位和百位数，两边的数分别表示两组数据的个位数．要先确定中间的数取数据的哪几位，填写数据时边读边填．比较数据时从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几方面来比较．绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，一般地说数据是两位数时，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数的，通常把整数部位作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶．
变式探究3 下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：
台）的茎叶图，则数据落在区间[22,30）内的频率为（ ）
A.0.2B．0.4C．0.5D．0.6
解析：
∵数据总个数n＝10，又落在区间[22,30）内的数据个数为4，∴所求的频率为
＝0.4.故选B.
随堂自测
1、一个容量为n的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为40,0.125，则n的值为（ ）
A．640 B．320C．240D．160
解析：
因为
＝0.125，所以n＝320.答案：
B
2、如图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图形中的数据填空：
（1）样本数据落在[6,10）内的频率是________，频数是________．
（2）样本数据落在[2,6），[10,14），[14,18]内的频率分别是________，________，________.
解析：
（1）样本数据落在[6,10）内的频率是0.08×4＝0.32，频数是0.32×100＝32.
（2）样本数据落在[2,6），[10,14），[14,18]内的频率分别为0.02×4＝0.08,0.09×4＝0.36,1－0.36－0.32－0.08＝0.24.
3、把某校高三（5）班甲、乙两名同学自高三以来历次数学考试得分情况绘制成茎叶图（如图），由此判断甲的平均分________乙的平均分．（填“>”“＝”或“<”）
解析：
由茎叶图可知，甲的历次数学考试得分分别是79,80,85,91,94,99,102，乙的历次数学考试得分分别是：
83,87,92,94,98,104,110，则甲的数学得分的平均分为
甲＝
＝90，
乙的数学得分的平均分为
乙＝
＝
，
由于90<
，则
甲<
乙．
4、中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名．对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6，则全市高一学生视力在[3.95，4.25）范围内的学生人数约有________．
解析：
由图知，第五小组的频率为0.5×0.3＝0.15，所以第一小组的频率为0.15×
＝0.125，所以全市6万名高一学生中视力在[3.95,4.25）范围内的学生约有60000×0.125＝7500（人）．
5、为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图：
据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[15,25）内的人数为________．
解析：
在抽取的20名教师中，在[15,25）内的人数为6人，据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[15,25）内的人数为60.
6、某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）．根据频率分布直方图推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．
答案：
600名
7、为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图．据此可估计该校上学期400名教师中，使用多媒体进行教学次数在[16,30）内的人数为（）
A.100B．160C．200D．280
解析：
观察茎叶图，抽取的20名教师中使用多媒体教学次数在[16,30）内的有8人，所以该区间段的频率为
＝0.4，因此全校400名教师使用多媒体教学次数在[16,30）内的有400×0.4＝160（人）．答案：
B
8、对某种电子元件进行寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，由图可知：
一批电子元件中，寿命在[100,300）小时的电子元件的数量与寿命在[300,600）小时的电子元件的数量的比大约是（）
A.
B.
C.
D.
解析：
寿命在[100,300）小时的频率为
×100＝
，寿命在[300,600）小时的频率为1－
＝
，所以所求比值为
＝
.答案：
C
9、如图所示是总体的一样本频率分布直方图，且在[15,18）内的频数是8.
（1）求样本容量；
（2）在该直方图中，[12,15）内小矩形面积为0.06，求样本在[12,15）内的频数；
（3）在
（2）中条件下，求样本在[18,33]内的频率．
解析：
（1）由题图可知[15,18）对应y轴数字为
，且组距为3，故[15,18）对应频率为
×3＝
.又已知[15,18）内频数为8，故样本容量n＝
＝50.
（2）[12,15）内小矩形面积为0.06，即[12,15）内频率为0.06，且样本容量为50，故样本在[12,15）内的频数为50×0.06＝3.
（3）由
（1）
（2）知样本在[12,15）内的频数为3，在[15,18）内的频数为8，样本容量为50，所以在[18,33]内的频数为50－3－8＝39，在[18,33]内的频率为
＝0.78.
六、课堂小结
1、茎叶图中，“叶”是数据的最后一个数字，其前面的数字作为“茎”.
2、频率分布直方图中小长方形面积的含义
小长方形的面积＝组距×
＝频率．即小长方形的面积表示相应组的频率，在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1.
七、教学反思
样本估计总体
一、学习目标
1．理解用样本的频率分布估计总体分布的方法．
2．会列频率分布表，画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图．
3．会根据频率分布直方图解答相关问题．
二、学习过程
知识点一用样本估计总体、数据分析的基本方法
1.用样本估计总体的两种情况
（1）用样本的频率分布估计总体分布．
（2）用样本的数字特征估计总体的数字特征．
2．数据分析的基本方法
（1）借助于图形
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，此方法可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息．
（2）借助于表格
分析数据的另一种方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式，此方法是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式．
练习1、 在2010年第十六届亚运会中，各个国家和地区代表队金牌获得情况的条形统计图，如图所示．
从图中可以看出中国队所获得金牌
数占全部金牌数的比例约是（ ）
A．41.7% B．59.8%C．67.3%D．94.8%
知识点二频率分布直方图、频率分布折线图
1.绘制频率分布直方图的步骤
2．频率分布直方图中小长方形面积的含义
小长方形的面积＝组距×
＝频率．即小长方形的面积表示相应组的频率，在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1.
3．频率分布折线图和总体密度曲线
练习2、 在画频率分布直方图时，某组的频数为10，样本容量为50，总体容量为600，则该组的频率是（ ）
A.
B.
C.
D．不确定
知识点三茎叶图
茎叶图的制作方法：
将所有两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出．
思考：
茎叶图中对“叶”和“茎”有什么要求？
典例分析
考点一绘制频率分布直方图及折线图
例1美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁．下面按时间顺序（从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马，共44任）给出了历届美国总统就任时的年龄：
57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48
将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．
点评：
1.在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
①若
为整数，则
＝组数
②若
不为整数，则
的整数部分＋1＝组数．
2．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．
变式探究1 有一容量为50的样本，数据的分组及各组的数据如下：
[10,15），4；[30,35），9；[15,20），5；[35,40），8；[20,25），10；[40,45），3；[25,30），11.
（1）列出样本频率分布表；
（2）画出频率分布直方图及折线图．
考点二频率分布直方图的应用
例2从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．
（1）直方图中x的值为__________；
（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250）内的户数为__________．
点评：
在频率分布直方图中，如不作特别说明，纵轴表示频率/组距，各长方形的面积表示各组的频率，各长方形的面积之和为1.
变式探究2 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：
厘米）数据绘制成频率分布直方图（如下图）．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130），[130,140），[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
考点三茎叶图及其应用
例3某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有一个优良品种B进行对照实验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：
千克）如下：
品种A：
357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454
品种B：
363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430
（1）画出两组数据的茎叶图；
（2）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？
（3）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量用其稳定性进行比较，写出统计结论．
变式探究3 下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：
台）的茎叶图，则数据落在区间[22,30）内的频率为（ ）
A.0.2B．0.4C．0.5D．0.6
五、随堂自测
1、一个容量为n的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为40,0.125，则n的值为（ ）
A．640 B．320C．240D．160
2、如图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图形中的数据填空：
（1）样本数据落在[6,10）内的频率是________，频数是________．
（2）样本数据落在[2,6），[10,14），[14,18]内的频率分别是________，________，________.
3、把某校高三（5）班甲、乙两名同学自高三以来历次数学考试得分情况绘制成茎叶图（如图），由此判断甲的平均分________乙的平均分．（填“>”“＝”或“<”）
4、中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名．对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6，则全市高一学生视力在[3.95，4.25）范围内的学生人数约有________．
5、为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图：
据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在[15,25）内的人数为________．
6、某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）．根据频率分布直方图推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．
7、为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图．据此可估计该校上学期400名教师中，使用多媒体进行教学次数在[16,30）内的人数为（）
A.100B．160C．200D．280
8、对某种电子元件进行寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，由图可知：
一批电子元件中，寿命在[100,300）小时的电子元件的数量与寿命在[300,600）小时的电子元件的数量的比大约是（）
A.
B.
C.
D.
9、如图所示是总体的一样本频率分布直方图，且在[15,18）内的频数是8.
（1）求样本容量；
（2）在该直方图中，[12,15）内小矩形面积为0.06，求样本在[12,15）内的频数；
（3）在
（2）中条件下，求样本在[18,33]内的频率．
解析：
（1）由题图可知[15,18）对应y轴数字为
，且组距为3，故[15,18）对应频率为
×3＝
.又已知[15,18）内频数为8，故样本容量n＝
＝50.
（2）[12,15）内小矩形面积为0.06，即[12,15）内频率为0.06，且样本容量为50，
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