人教版高中数学必修3第三章章末复习课精选文档.docx
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人教版高中数学必修3第三章章末复习课精选文档
章末复习课
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？
”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？
”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。
其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。
看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。
称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?
曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。
[整合·网络构建]
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
[警示·易错提醒]
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？
”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？
”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。
其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。
看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。
称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?
曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。
1．随机事件的概率易失误点．
要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
（1）对问题分类不清，导致对事件分类不清出现错误，而处理正面较复杂的问题时，又不能用互斥事件求其对立面来简化求解过程．
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：
乌云像大海的波浪。
有的孩子说“乌云跑得飞快。
”我加以肯定说“这是乌云滚滚。
”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：
“这就是雷声隆隆。
”一会儿下起了大雨，我问：
“雨下得怎样?
”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。
雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：
“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。
”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。
我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。
如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。
通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。
（2）解与等可能事件相关题目时，要注意对等可能事件的基本事件构成的理解，往往计算基本事件或多或少或所划分的事件根本不等可能，从而导致失误．
2．几何概型中的易失误点．
（1）解题时要正确区分是古典概型还是几何概型．
（2）解题时要明确几何概型中构成事件A的区域是长度、面积，还是体积．
专题一 互斥事件、对立事件的概率
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者中必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况．
应用互斥事件的概率的加法公式解题时．一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．
[例1] 甲、乙两人参加知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
（1）甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解：
把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：
（x1，p1），（x1，p2），（x2，p1），（x2，p2），（x3，p1），（x3，p2），共6种，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：
（p1，x1），（p1，x2），（p1，x3），（p2，x1），（p2，x2），（p2，x3），共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：
（x1，x2），（x1，x3），（x2，x1），（x2，x3），（x3，x1），（x3，x2），共6种，“甲、乙都抽到判断题”的情况有：
（p1，p2），（p2，p1），共2种．
（1）“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为
＝
，
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为
＝
，
故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为
＋
＝
.
（2）“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为
＝
，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－
＝
.
归纳升华
1．互斥事件与对立事件的概率计算．
（1）若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）．
（2）设事件A的对立事件是
，则P（A）＝1－P（
）．
2．求复杂事件的概率常用的两种方法．
（1）将所求事件转化成彼此互斥的事件的和．
（2）先求其对立事件的概率，然后再应用公式P（A）＝1－P（
）求解．
[变式训练] 黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例/%
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是B型血，若张三因病需要输血，问：
（1）任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？
（2）任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？
解：
（1）对任一人，其血型为A，B，AB，O的事件分别记为A′，B′，D′，由已知，有P（A′）＝0.28，P（B′）＝0.29，P（C′）＝0.08，P（D′）＝0.35，因为B，O型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件B′∪D′.依据互斥事件概率的加法公式，有P（B′∪D′）＝P（B′）＋P（D′）＝0.29＋0.35＝0.64.
（2）法一：
由于A，AB型血不能输给B型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件A′∪C′，依据互斥事件概率的加法公式，有P（A′∪C′）＝P（A′）＋P（C′）＝0.28＋0.08＝0.36.
法二：
因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有P（A′∪C′）＝1－P（B′∪D′）＝1－P（B′）－P（D）′＝1－0.64＝0.36.
专题二 古典概型
古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．
对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的结果数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P（A）＝
求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．
[例2] （2019·山东卷）海关对从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：
件）如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解：
（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是
＝
，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×
＝1，150×
＝3，100×
＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.
（2）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：
A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P（D）＝
，即这2件商品来自相同地区的概率为
.
归纳升华
求解古典概型概率问题的关键是找出样本空间中基本事件的总数及所求事件所包含的基本事件数，常用方法是列举法、列表法、画树状图法等．
[变式训练] （2019·课标全国Ⅰ卷）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：
（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），其中勾股数只有（3，4，5），所以概率为
.
答案：
C
专题三 几何概型
几何概型有两大特征：
基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性．求解此类问题时，常把概率问题等价转化为相应问题的测度比问题．常见的测度比有长度之比、面积之比、体积之比等，正确区分几何概型与古典概型是本章学习的一个难点．
[例❸] 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
这是一几何概型，所求概率为
＝
，故选C.
答案：
C
归纳升华
对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的概率求解方法，主要有下面两种类型：
（1）线型几何概型：
基本事件受一个连续的变量控制．
（2）面积几何概型：
基本事件受两个连续的变量控制．一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．
[变式训练] （2019·全国卷Ⅰ）某公司的班车在7：
30，8：
00，8：
30发车，小明在7：
50至8：
30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
如图，
7：
50至8：
30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：
50至8：
00之间或8：
20至8：
30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝
＝
.故选B.
答案：
B
专题四 概率与统计的综合问题
统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．
[例4] （2019·课标全国Ⅱ卷）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评
分分组
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
2
8
14
10
6
（1）作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）．
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级，如下表所示．
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大，并说明理由．
解：
（1）如图所示．
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．
（2）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P（CA）的估计值为（0.01＋0.02＋0.03）×10＝0.6，P（CB）的估计值为（0.005＋0.02）×10＝0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
归纳升华
本题通过画频率分布直方图考查对数据的处理能力和数形结合的思想方法，通过求概率考查运算求解能力和实际应用意识．
[变式训练] 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：
cm），获得身高数据的茎叶图如图所示．
（1）直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．
解：
（1）由茎叶图可知：
甲班同学身高集中于160～179cm，而乙班同学身高集中于170～179cm.因此乙班平均身高高于甲班．
（2）
＝
＝170（cm）．
甲班的样本方差s2＝
[（158－170）2＋（162－170）2＋（163－170）2＋（168－170）2＋（168－170）2＋（170－170）2＋（171－170）2＋（179－170）2＋（179－170）2＋（182－170）2]＝57.2.
（3）设“身高为176cm的同学被抽中”为事件A，从乙班10名同学中抽取2名身高不低于173cm的同学有：
（181，173），（181，176），（181，178），（181，179），（179，173），（179，176），（179，178），（178，173），（178，176），（176，173），共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：
（181，176），（179，176），（178，176），（176，173），
所以P（A）＝
＝
.
专题五 转化与化归思想
本章中多次用到了转化与化归思想，比如在求解概率时，有时要转化为求互斥事件的和事件，有时要转化为求对立事件，有时还要将代数问题转化为几何问题等．
[例5] 在|p|≤3，|q|≤3的前提下，随机取数对（p，q），试求方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个实数根的概率．
解：
根据一元二次方程有实数根找出p，q需满足的条件，从而确定区域测度．|p|≤3，|q|≤3对应的区域是边长为6的正方形，如图所示，S正方形＝62＝36.
方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个实数根⇔Δ＝（2p）2－4（－q2＋1）≥0，即p2＋q2≥1，所以当点（p，q）落在如图所示的阴影区域时，方程有两个实数根．
由图可知，阴影部分面积d＝S正方形－S圆＝36－π，所以原方程有两个实数根的概率P＝
.
归纳升华
这里把一个方程根的问题转化为平面区域上的图形面积问题，从而使问题得到了解决，这里的转化起到了“化抽象为具体”的作用．
[变式训练] 已知关于x的一元二次方程x2－2（a－2）x－b2＋16＝0.
（1）若a、b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；
（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求一元二次方程没有实数根的概率．
解：
（1）基本事件（a，b）共有36个，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，方程有两个正实数根等价于
即
设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A，则事件A所包含的基本事件为（6，1），（6，2），（6，3），（5，3）共4个，故所求的概率为P（A）＝
＝
.
（2）试验的全部结果构成区域Ω＝{（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，设“一元二次方程无实数根”为事件B，则构成事件B的区域为B＝{（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a－2）2＋b2<16}，如图可知构成事件Ω的区域面积为S（Ω）＝16.
构成事件B的区域面积为：
S（B）＝
×π×42＝4π，故所求的概率为P（B）＝
＝
.
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