高水平数学教学——到底该教什么.ppt

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高水平数学教学到底该教什么？

李祎福建师范大学,一、数学教师应具备的素质

（一）提高数学素养

（二）掌握教育理论二、数学教学“教什么”

（一）教学生学“本质”

（二）教学生学“过程”（三）教学生学“思想”（四）教学生学“结构”,一、数学教师应具备的素质,庸师：

如同庸医，不仅不能教好学，反而会把学生越搅越糊涂，甚至会贻误学生终生。

教书匠：

知识的搬运工，把自己会的东西简单的搬运给学生，没有智慧，没有思维火花，不会贻误学生一生，但也没有太大发展。

经师：

不仅能教给学生知识和技能，并且能培养学生一定的能力，属于较高水平的教师。

人师：

不仅给学生知识和能力，还能给学生智慧，更能在思想上、人格上影响学生，使学生在获得知识、培养能力的同时，还产生了智慧，形成了健康人格。

深入深出型，自己的知识很丰富、很深奥，交给学生的知识也很深奥，学生听得不明所以然。

浅入深出型，自己的知识很贫乏，但却要装得很有学问，把本来浅显的问题讲得云山雾罩。

浅入浅出型，自己懂得并不多，但能用通俗的语言教给学生，虽说学生不会有太多提高，但能学到一些知识。

深入浅出型，自己的学问很深，但能把晦涩难懂的知识通俗化，学生听得懂、学得会。

如何做到“深入浅出”呢？

教师的知识结构：

本体性知识，条件性知识，实践性知识，一般文化知识。

数学教师“两手抓，两手硬”：

数学素养与教育理论素养。

数学教学设计的关键：

理解数学与稚化思维。

（一）提高数学素养1.提高数学素养的六个维度

（1）从微观上对数学知识的准确、深刻理解

（2）从宏观上对数学知识整体结构的正确把握（3）对显性知识背后隐性的思想方法的认识（4）对中小学数学中某些拓展性知识的认知（5）对数学知识“来龙去脉”的过程性把握（6）从高观点对中小学数学的居高临下的认识,通过“追问”提高数学素养：

（1）通过追问形成正确认识指数函数中为什么要规定a0？

频率的极限是概率吗？

（2）通过追问获得深层理解为什么0不能做除数？

为什么先乘除后加减？

（3）通过追问拓展学科知识一元三次方程有求根公式吗？

有等和数列与等积数列吗？

是否存在正切定理？

（4）通过追问获得较高观点自然数的个数比偶数的个数多吗？

复数为什么不能比较大小？

2.理解数学的五个视角袁隆平：

“我最喜欢外语、地理、化学，最不喜欢数学，因为在学正负数的时候，搞不清为什么负负相乘得正，就去问老师，老师说你记得就是；学几何时，对一个定理有疑义，去问，还是一样回答，我由此得出结论，数学不讲道理，于是不再理会，对数学兴趣不大，成绩不好”。

数学原本就是这样？

还是数学教师的教学使然？

知名华人数学家、哈佛大学教授丘成桐兴冲冲地赶到杭州，去与一群刚在高考中取得好成绩的数学尖子见面。

结果却让他颇为失望：

“大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定理不甚了了，只是做习题的机器。

这样的教育体系，难以培养出什么数学人才。

”数学理解重于形式运算。

（1）厘清“是什么”基本事件是相对的，还是绝对的？

（2）追问“为什么”有了角度值，为什么还要引入弧度制？

（3）建构内容联系三角公式内在联系的建构（4）挖掘思想方法“二分法”教学中的逼近思想（5）寻求多元表征直观表征，符号表征,

（二）掌握教育理论1.建构性数学教学思想2.理解性数学教学思想3.过程性数学教学思想4.启发式数学教学思想5.问题式数学教学思想6.情境式数学教学思想7.主体性数学教学思想8.生成性数学教学思想9.有效性数学教学思想,教学的本质教学：

就是“教学生学”。

学生：

学什么；怎么学。

教师：

“教什么”是指“教学生学什么”和“教学生怎么学”。

研究：

“怎样教”是指“怎样教学生学什么”和“怎样教学生怎么学”。

二、数学教学“教什么”,“教什么”始终比“怎么教”重要。

前者关乎教学内容，后者关乎教学形式。

教学内容决定教学形式，教学形式服务于教学内容。

先进理念首先关乎教学内容，首先要关注“教什么”。

但在目前，一提到教师培训、业务研讨，想到的都是数学教学理念，数学教学的方法与技巧，而数学学科知识本身则受到冷落。

人们对教学方法研究情有独钟。

研究教学导入的艺术，研究指导探究的艺术，研究练习设计的艺术但却唯独忘了研究那些貌似简单却内涵深刻的中小学数学知识。

从“教什么”的视角来看，数学教师的教学水平的高低，首当其冲地体现在对教学内容的把握上。

低水平的教书匠，只会照本宣科，看到什么就教给学生什么，只是知识的搬运工；高水平的教师，能透过现象看到本质，在教教材中显性知识的同时，能挖掘出其后的隐性知识，教到一些别人教不出来的内容。

这些不易教到的隐性知识是什么呢？

概括而言，是数学的本质、过程、思想和结构等四个方面。

（一）教学生学“本质”,1.数学概念的本质概念是反映事物本质属性的思维产物.数学：

空间形式和数量关系.数学概念：

反映数学对象的本质属性的思维产物.本质属性：

共有性，特有性，整体性。

示例1：

集合的本质幼儿园小孩子学集合,示例2：

复数的本质复数是二元数,实数是一元数.与把一元的实数看作“单纯的数”相比,二元的复数不仅数量意义,而且还有方向意义,它是一种“有方向的数”，“数量加方向”是复数的本质属性。

用几何形式表示：

它的意义是一个向量,其本质特征是向量的长度和方向;用三角形式表示：

在z=r（cos+isin）中,r表示复数向量的长度,表示复数向量的方向.用代数形式表示：

本质属性不是很明显,需要揭示。

示例3：

函数概念的本质数学概念的本质属性，是指一类特定数学对象在一定范围内保持不变的性质，而可变的性质则是“非本质属性”。

设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，则称f：

AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），xA.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域。

显然，值域是集合B的子集。

“非空数集”是否为函数的本质属性？

“单值对应”是否为函数的本质属性？

“变量说”的局限性：

“对应说”的局限性：

“关系说”定义函数：

积集的子集人教版函数定义指暇：

B的困惑函数究竟是什么？

2.数学结论的本质

（1）人为约定的结论数学知识不是“铁板一块”示例4：

集合的“三性”确定性，无序性，互异性模糊集，有序集，多重集示例5：

指数函数y=ax（a0,a1）为什么要规定a0？

（2）可以证明的结论什么是数学结论:

经常用到,推证不易,形式简单。

示例6：

等差数列的求和公式它有什么作用？

为什么它是成立的？

其他，比如：

等比数列求和公式：

（1-q）（1+q+q2+qn-1）=1-qn绝对值不等式：

理解数学结论：

功用，内容，证明，联系。

3.数学方法的本质数学中除了一些结论性知识，还有大量的方法性知识，比如运算的方法、度量的方法、变换的方法、论证的方法等。

掌握数学方法的本质，不仅要掌握“怎么做”，即方法运用的程序与步骤，还要掌握“为什么可以这样做”，即数学方法的内涵是什么，不同数学方法使用的条件是什么，适用的范围是什么，数学方法与问题特质具有怎样的关联性。

示例7：

数的加、减运算必需抓住计数单位这一本质。

自然数以“1”为标准，“1”是自然数的单位，所以任何两个自然数都可以直接相加减。

同分母分数，因为它们的分数单位相同，所以能直接相加减；异分母分数，因为它们的单位不同，所以要把它们化成相同单位才可以相加减。

小数的加减运算中，小数点对齐才能相加减。

因为只要小数点对齐，相同数位就对齐了，相同计数单位也就同样能相加减了，而不必考虑小数的末位是不是一定对齐。

示例8：

十字相乘法不仅适用于二次三项式：

ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）将任意代数式分成三项之和：

f（x）=A+B+C若A=ab,C=cd,且ad+bc=B,即有下面的十字关系：

则f（x）=（a+c）（b+d）,示例9：

判别式法对于题目“求的所有实数根”的求解，当有人在求解中用二次方程之判别式应大于或等于0时，即时，许多人对此提出“更正”。

产生这一错误认识的根本原因，就在于当熟记住了一元二次方程的求根公式之后，许多人忘记了判别式其实是“配方法的结果”，想当然地认为只有对一元二次方程才能使用判别式非负的性质。

省质检：

斜坐标系,示例10：

点到线面距离公式的推导点到线的距离公式推导,点到面的距离公式推导设n是平面的法向量，在内取一点B，则A到的距离：

此外：

过程与结果的辩证关系：

科学意义，教学意义过程性是追求的目标：

三个层次过程性作为目标的意义：

本质，方法，能力过程性的完整含义：

知识的，思维的，活动的“谁”的过程性：

教师，还是学生？

怎样的该过程性：

结果的，还是过程的？

过程性观下之审视：

预习、作业、备课,

（二）教学生学“过程”,1.过程性中培养数学能力示例11：

函数的单调性单调性教学设计大体从三个层次展开：

首先，观察图像，描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度加以认识；其次，结合图、表，用自然语言描述，即因变量随自变量的增大而增大（或减小）；最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。

教学的困惑：

从图像上不难获得图像“上升”或“下降”的直观特征，但为什么还要进一步来研究它呢？

解释和说明：

“上升”“下降”是一种日常语言，用日常语言描述“单调增”“单调减”这样的数学性质是不够准确的。

能否用数学语言来描述函数的这种特点呢？

如果可以的话，又该如何来描述呢？

这时结合图像的特点，即它是“函数”的图像，从而根据函数的意义，自然过渡到第二个层次。

教学的难点：

如何用符号化的数学语言来描述递增的特征，这其中有两个难点：

示例12：

直线的方向向量与平面的法向量为什么要提出方向向量与法向量的概念？

如何来刻画直线与平面的方向？

为什么要用方向向量来刻画直线的方向？

为什么要用法向量来刻画平面的方向？

2.过程性中加强数学理解示例13：

导数为什么要“淡化形式，注重实质”？

导数概念的提出是分析问题与解决问题的过程导数的本质是瞬时变化率导数概念的提出是辩证法的成功运用理解三层次：

其然，所以然，何由以知其所以然,示例14：

直线的斜率为什么有了倾斜角已能确定直线方向的前提下，还一定要将其代数化？

变量（x，y）与作为不变量的倾斜角，不能直接建立起关系，还必须将倾斜角代数化，变量（x，y）与不变量斜率k才能建立起关系。

斜率公式反映出斜率在联系两点的坐标与直线倾斜角的优越性；斜率在研究直线平行与垂直上的作用。

“率”，是指两个相关数的比值，x变化单位长时，看y变化了多少，实质是对x和y变化的快慢程度的刻画。

角越大，倾斜程度越大，该特定比值越大。

教学难点：

建立直线方程的过程，是寻求其不变量k，建立变量（x，y）与不变量k的数量关系的过程。

但这里的不变量是角度，而不是距离。

比之圆、椭圆、双曲线、抛物线几种曲线，尽管直线是简单的图形，但其方程建立过程更显复杂。

为什么要用正切？

首先与“坡度”概念一致。

坡面的铅直高度和水平长度的比。

（垂直变化率）其次，不管是锐角变化，还是钝角变化，反映的都是倾斜角越大，斜率越大。

第三，正切值就是直线的变化率，这样，采用正切值与导数保持了一致性。

数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中概括的基本观点。

数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。

显性的知识是写在教材上的一条明线，隐性的思想是潜藏其中的一条暗线。

“没有过程就等于没有思想”，要让学生在过程中去逐步体会和理解。

（三）教学生学“思想”,米山国藏：

学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。

然而不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。

真正的教育是什么？

1.一法多用，体现迁移性示例15：

各种函数性质的研究通过图像研究函数的性质数形结合思想；通过具体函数的性质归纳出一般函数的性质从特殊到一般的归纳思想；区分情况来讨论函数的性质分类讨论思想；通过对比来研究函数性质类比的思想方法；函数性质应用实例数学模型思想方法。

例如:

反比例函数，单调性，指数函数，对数