八年级暑假同步讲义第8讲一元二次方程求根公式及综合.docx

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八年级暑假同步讲义第8讲一元二次方程求根公式及综合

一元二次方程求根公式是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程求根公式解法进行讲解，重点是对一元二次方程求根公式的推导和解方程的理解，难点是求根公式在解一元二次方程中的灵活应用．同时，结合之前所学的开平方法、因式分解法及配方法进行解法综合应用，让学生熟练掌握．通过这节课的学习一方面为我们后期学习一元二次方程根的判别式提供依据，另一方面也为后面学习一元二次方程的应用奠定基础．

1、公式引入

一元二次方程

（

），可用配方法进行求解：

得：

．

对上面这个方程进行讨论：

因为

，所以

1当

时，

利用开平方法，得：

，即：

2当

时，

这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程

左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．

2、求根公式

一元二次方程

（

），当

时，有两个实数根：

，

这就是一元二次方程

（

）的求根公式．

3、用公式法解一元二次方程一般步骤

1把一元二次方程化成一般形式

（

）；

2确定a、b、c的值；

3求出

的值（或代数式）；

4若

，则把a、b、c及

的值代入求根公式，求出

、

；若

，则方程无解．

【例1】求下列方程中

的值：

（1）

；

（2）

；

（3）

；（4）

．

【难度】★

【例2】用公式法解下列方程：

（1）

；

（2）

．

【难度】★

【例3】用公式法解下列方程：

（1）

；

（2）

．

【难度】★

【例4】用公式法解下列方程：

（1）

；

（2）

．

【难度】★★

【例5】用公式法解下列方程：

（1）

；

（2）

．

【难度】★★

【例6】当x为何值时，多项式

与

的值相等？

【难度】★★

【例7】用公式法解下列方程：

（1）

；

（2）

．

【难度】★★

【例8】用公式法解关于x的方程：

．

【难度】★★★

【例9】用公式法解关于x的方程：

．

【难度】★★★

【例10】观察求根公式

，求出

的值，并用得到的结果求解：

设a、b是方程

的两个实数根，求

的值．

【难度】★★★

1、一元二次方程解法总结

1开平方法：

形如

及

的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程．

2因式分解法：

通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：

若

，则

或

．

3配方法：

通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解

即：

，再用开平方法求解．

4公式法：

用求根公式解一元二次方程

一元二次方程

，当

时，有两个实数根：

【例11】口答下列方程的根：

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

．

【难度】★

【例12】用开平方法解下列方程：

（1）

；

（2）

．

【难度】★

【例13】用因式分解法解下列方程：

（1）

；

（2）

．

【难度】★★

【例14】用因式分解法解下列方程：

（1）

；

（2）

．

【难度】★★

【例15】用因式分解法解下列方程：

（1）

；

（2）

；

（3）

；（4）

．

【难度】★★

【例16】用配方法解下列方程：

（1）

；

（2）

．

【难度】★★

【例17】用配方法解下列方程：

（1）

；

（2）

．

【难度】★★

【例18】用配方法解下列关于x的方程：

（1）

；

（2）

（

）．

【难度】★★

【例19】用公式法解下列方程：

（1）

；

（2）

．

【难度】★★

【例20】用公式法解下列方程：

（1）

；

（2）

；

（3）

．

【难度】★★

【例21】用适当方法解下列方程：

（1）

；

（2）

；

（3）

；（4）

；

（5）

；（6）

．

【难度】★★

【例22】用因式分解法和公式法2种方法解方程：

．

【难度】★★

【例23】如果对于任意两个实数

，定义：

．

试解方程：

．

【难度】★★

【例24】用因式分解法和公式法2种方法解关于x的方程：

，（其中p、q为常数，且

）．

【难度】★★★

【例25】已知

，求

的值．

【难度】★★★

【例26】阅读材料，回答问题

材料：

为解方程

，可将方程变形为

，然后设

，则

，原方程化为

①

解得

、

当

时，

无意义，舍去；当

时，

，

∴原方程的解为

、

．

问题：

（1）在由原方程到方程①的变化过程中，利用法达到了降次的目的，将关于x的一元高次方程转化为关于y的一元二次方程．

（2）解方程：

①

；②

．

【难度】★★★

【例27】已知a是实数，方程

的一个解的相反数是方程

的一个解，求方程

的解．

【难度】★★★

【习题1】已知m是方程

的一个根，则代数式

的值是．

【难度】★

【习题2】已知

是关于x的方程

的一个根，则

．

【难度】★

【习题3】用配方法解关于x的方程

时，方程可变形为（）．

A、

B、

C、

D、

【难度】★★

【习题4】用适当方法解下列方程：

（1）

；

（2）

；

（3）

；（4）

；

（5）

；（6）

．

【难度】★★

【习题5】当x为何值时，

的值与

的值相等？

【难度】★★

【习题6】已知k是方程

的一个根，求代数式

的值．

【难度】★★★

【习题7】解关于x的方程：

（

）．

【难度】★★★

【习题8】解下列方程：

（1）

；

（2）

．

【难度】★★★

【习题9】已知关于

的方程：

，求

的值．

【难度】★★★

【作业1】按照要求解下列关于x的一元二次方程：

（1）

（用配方法）；

（2）

（用配方法）；

（3）

（用公式法）；（4）

（用公式法）．

【难度】★

【作业2】关于x的一元二次方程有两个根

和

，则这个方程可以是（）．

A、

B、

C、

D、

【难度】★

【作业3】关于x的方程

的一个根是2，那么另一个根是．

【难度】★★

【作业4】使分式

的值等于零的x的值是．

【难度】★★

【作业5】用适当方法解下列关于x的方程：

（1）

；

（2）

；

（3）

；（4）

；

（5）

；（6）

；

（7）

；（8）

．

【难度】★★

【作业6】若

是一元二次方程

的一个根，求m的值．

【难度】★★

【作业7】已知

，求

的值．

【难度】★★

【作业8】解关于x的方程：

．

【难度】★★★