考研数一真题及解析.docx
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考研数一真题及解析
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
、填空题：
本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
（1）lim（cosx）1n（1%）
x0
⑵
曲面z
2x
y与平面2x
4y
z
⑶
设x2
an
cosnx（
x
），
n0
…2
1
1
⑷
从R
的基1
2
到基
0
1
（5）设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
0平行的切平面的方程是.
则a2=.
11
1,2的过渡矩阵为•
12
6x,0xy1,f（x,y）0,其他，则P{XY1}
*
⑵设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且
（）
（A）anbn对任意n成立.（B）
（C）极限limanCn不存在.（D）
liman0,limbn1,limcn,则必有
nnn
bn5对任意n成立.
极限limbnG不存在.
⑹已知一批零件的长度X（单位：
cmcm）服从正态分布N（,1），从中随机地抽取16个
零件，得到长度的平均值为40（cm），则的置信度为0.95的置信区间是.
（注：
标准正态分布函数值（1.96）0.975,（1.645）0.95.）
二、选择题：
本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内
（1）设函数f（x）在（，）内连续，其导函数的图形如图所示，
则f（x）有（）
（A）一个极小值点和两个极大值点
（B）两个极小值点和一个极大值点
（C）两个极小值点和两个极大值点
（D）三个极小值点和一个极大值点
⑶已知函数f（x,y）在点（0,0）的某个邻域内连续,
且xiomofF斧1现（）
（A）点（0,0）不是f（x,y）的极值点.
（B）点（0,0）是f（x,y）的极大值点
（C）点（0,0）是f（x,y）的极小值点
（D）根据所给条件无法判断点
（0,0）是否为f（x,y）的极值点.
⑷
设向量组
1:
1,2,,
r可由向量组
II:
1,2,,
s线性表示，则
（）
（A）当r
s时，向量组
II必线性相关
•（B）当r
s时，向量组II
必线性相关
（C）当r
s时，向量组
I必线性相关•
（D）当r
s时，向量组1
必线性相关
设有齐次线性方程组Ax
0和Bx0
其中A,B均为
mn矩阵，现有
4个命题：
①若Ax0的解均是Bx0的解，则秩（A）秩（B）；
②若秩（A）秩（B），
则Ax
0的解均是Bx0的解
③若Ax0与Bx0同解，则秩（A）=秩（B）；
④若秩（A）=秩（B），
则Ax
0与Bx0同解•
以上命题中正确的是（
）
（A）①②•
（B）
①③•
（C）②④•
（D）
③④•
（6）设随机变量X~t（n）（n
1）,Y
1口
2，则（）
X
（A）Y~2（n）.
（B）
2
Y~2（n1）•
（C）Y~F（n,1）.
（D）
Y~F（1,n）.
三、（本题满分10分）
过坐标原点作曲线y
Inx的切线，该切线与曲线
yInx及x轴围成平面图形D.
（1）求D的面积A;
（2）求D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积V.
四、（本题满分12分）
将函数f（x）
（1）n
n02n1
12x
arctan飞展开成x的幂级数，并求级数
五、（本题满分10分）
已知平面区域D
{（x,y）0
x,0y
｝，L为D的正向边界.试证
（1）■xesinydy
L
yesinxdx
xesinydy
L
yesinxdx;
⑵］xesinydy
sinx1
yedx
22.
六、（本题满分10分）
某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层•汽锤每次击打，都将克服土层对桩的
阻力而作功•设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为
k,k0）.汽锤第一次击打将桩打进地下am•根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作
的功与前一次击打时所作的功之比为常数r（0r1）.问
（1）汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？
（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?
（注：
m表示长度单位米.）
、（本题满分12分）
设函数yy（x））在（
）内具有二阶导数，且
y0,xx（y）是yy（x）的反函
（1）试将xx（y）所满足的微分方程
d2x
dy2
（y
sinx）（dx）30变换为yy（x）满
足的微分方程;
（2）求变换后的微分方程满足初始条件
y（0）
0,y（0）
I的解•
、（本题满分12分）
设函数f（x）连续且恒大于零,
F（t）
f（x2y2z2）dv
（t）
f（x
D（t）
）d
G（t）
f（x2
D（t）
t2，
1f（x）dx
其中（t）{（x,y,z）
z2t2}，D（t）
{（x,y）x
y2）d
22以、
yt}.
（1）讨论F（t）在区间（0,）内的单调性
2
⑵证明当t0时，F（t）G（t）.
九、（本题满分
10分）
3
2
2
0
1
0
设矩阵A
2
3
2，P
1
0
1，BP1AP，求B2E的特征值与特征
2
2
3
0
0
1
向量，其中A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵十、（本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
11:
ax2by3c0,l2：
bx2cy3a0,l3:
cx2ay3b0.
试证：
这三条直线交于一点的充分必要条件为abc0.
十一、（本题满分10分）
已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装
有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：
（1）乙箱中次品件数X的数学期望；
（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
十二、（本题满分8分）
设总体X的概率密度为
f（x）
2e2（x）,x
0,x
其中0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,,Xn，记
min（X「X2,,Xn）.
（1）求总体X的分布函数F（x）;
⑵求统计量？
的分布函数F?
（x）；
（3）如果用？
作为的估计量，讨论它是否具有无偏性
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题
【详解】方法1：
求limu（x）v（x）型极限，一般先化为指数形式
limu（x）v（x）limev（x）lnu（x）
然后求limv（x）lnu（x），再回到指数上去.
⑵【答案】2x4yz5
【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可.
平面2x
4y
z0的法向量：
n1
{2,4,
1}；
曲面z〕
2
xy
2
在点（x°,y°,z0）的法向量:
rn2
{Zx（x0,y0）,Zy（x0,y°）,1}{2x）,2y°,1}
rr
由于n1//n2,
因此有
2x）
2y°
1
2
4
1
可解得，X。
1,y0
2，相应地有z°
2
X。
2
y。
5.
所求切平面过点
（1,2,5），法向量为：
r
山
{2,4,
1},故所求的切平面方程为
2（x
1）
4（y2）（z5）
0，即
2x
4yz5
⑴【答案】
1
?
e
lim（cosx）ln（1
x0
1Incosx
x）ln（1x2）
Time
x0
Incosxlim
0ln（1
x2）
lncosx
ln（1x2）
ln（1cosx1）cosx1
lim2lim—（等价无穷小替换ln（1x）:
x）
x0ln（1x）x0x
!
12
x
2
2
x
丄（等价无穷小替换1cosx:
^x2）
22
1
原式=e2
1
2
方法2:
令y（C0SX）ln（1X），有lny
Incosx
2~
ln（1x）
，以下同方法
1.
⑶【答案】1
【详解】将f（x）x
2（
x）展开为余弦级数
f（x）
ancosnx（x），其中an
0
of（x）cosnxdx•
所以a2
cos2xdx
―乂勺前“1[x2sin2x
osin2x2xdx|
xdcos2x
[xcos2x0
ocos2xdx]
⑷【答案】
【详解】n维向量空间中，从基
n到基
2,
n的过渡矩阵P满足
1,2,,n]=[
n]
因此过渡矩阵P为:
P=[
n]
1[
n]•
根据定义，
R2的基
到基
的过渡矩阵为
P=[
2]1[
2]
1
⑸【答案】-•
4
【分析】本题为已知二维随机变量
（X,Y）的概率密度
f（x,y），求满足一定条件的概率
P{g（X,Y）z。
}•连续型二维随机变量（X,Y）概率的求解方法
yx
F（x,y）f（u,v）dudv,
此题可转化为二重积分P{g（X,Y）
【详解】图中阴影区域为积分区域
z0}f（x,y）dxdy进行计算.
g（x,y）Z0
由题设，有
P{XY1}f（x,y）dxdy
2dx
x
6xdy
y
1
°（6x12x2）dx
⑹【答案】（39.51,40.49）.
【分析】可以用两种方法求解:
2
（1）已知方差1,对正态总体的数学期望进行估计•因为X:
N（,1），设有n
个样本，样本均值X
1"
一Xi，则X:
N（ni1
丄），将其标准化,
n
由公式
XE（X）
D（X）n
~N（0,1）
X
得：
~N（0,1）
u}1
~2
U2.n）-
可确定临界值u,进而确定相应的
~2
置信区间（X
U2..n，X
（2）本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值
的置信区间问题•由教材上已
经求出的置信区间
（xu2,n，x
u乡石）,其中P{U
U:
N（0,1）,可以
直接得出答案.
【详解】方法1:
由题设，1
0.95，可见0.05.查标准正态分布表知分位点
u1.96.本题n16,x40.
~2
即P{39.51
根据P{
1.96}
40.49}0.95,故
方法2:
由题设，1
P{U
u」
2
0.95,
P{
u
~2
查得u1.96.
16,
0.95，有P{
1.96}
0.95,
的置信度为0.95的置信区间是（39.51,40.49）•
u_}2（u_）
~2~2
10.95,（u）0.975
~2
x40代入（x
得置信区
间（39.51,40.49）二、选择题
（1）【答案】（C）
【分析】函数的极值点可能是驻点（一阶导数为零）或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.
【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个（导函数与x轴交点的个数）；x0是导数不存在的点.
对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧
导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正,是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；
对导数不存在的点：
x0.左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x0为极
大值点.
故f（x）共有两个极小值点和两个极大值点，应选（C）.
⑵【答案】（D）
【详解】方法1：
推理法
由题设limbn1，假设limbncn存在并记为A，则limCnlim■—n~na,这与
nnnnbn
⑶【答案】
（A）
【详解】由
lim
x0,y
f（x,y）xy
0/22、2
0（xy）
1f（x,y）
xy
（1
）（x2
y2）2，其中
lim
x0
y0
由f（x,y）在点（0,0）连续知,
f（0,0）0.
x充分小，x
0，有f（x,y）
22
（1）（2x）0;
x充分小，x0，有f（x,y）
x2
（1）（2x2）20
limc
n
矛盾，
故假设不成立，limbncn不存在.
n
所以选项（D）正确.
方法2:
排除法
取an
1n
bn
工」，满足liman
nn
0,
limbn1
n
而d
1Q
0®b,（A）不正
确；
取bn
n
n
1
G
n2,满足limbn
n
1
limcn
n
而b1
0
1C1,（B）不正确；
取an
1
q
n2，满足liman
0,
limCn
而lim
anCn
1,（C）不正确.
nnn
故点（0,0）不是f（x,y）的极值点，应选（A）.（极值的定义）
（4）【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：
若向量组I:
1,2,,r
可由向量组II:
1,2,,s线性表示，则当rs时，向量组I必线性相关.或其逆否命题：
若向量组I:
1,2,,r可由向量组II:
1,2,,s线性表示，且向量组I线性无关，则必有rs•可见正确选项为（D）•本题也可通过举反例用排除法找到答案.
【详解】
用排除法：
0
1
0
10
10,2
1
则1
0102，但1：
2线性无关，排除（A）；
0
1
1
10,
20,1
0
则1,
2可由1线性表示，但
1线性无关，排除（B）;
1
1
0
1_,
1_,2
1可由
1,2线性表示，但
1线性无关，排除（C）.
0
0
1
⑸【答案】（B）
【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但①、②两个命题的反例比较复杂一些，关键是
抓住③、④，迅速排除不正确的选项.
【详解】若AX0与BX0同解，则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同，即n-
秩（A）=n-秩（B）,
但反过来，若秩
得秩（A）=秩（B），命题③成立，可排除（A）,（C）;
（A）=秩（B），则不能推出AX
0与BX0同解，通过举一反例证
也卄10
0
0
明，若A
B门
，则秩（A）=秩（B）=1，但AX0与BX0不同解,
00
0
1
可见命题④不成立，排除（D）.
故正确选项为（B）.
⑹【答案】（C）.
【分析】求解这类问题关键在于了解产生2变量、t变量、F变量的典型模式.
2
（1）分布：
设Xi,X2,L,Xn相互独立且均服从标准正态分布，则随机变量
n
ZX：
服从自由度为n的2分布•记做Z:
2（n）.
i1
2
（2）t分布：
设X1:
N（0,1）,X2~（n），且X1,X2相互独立，则随机变量
rX1
ZI—服从自由度为n的t分布.记做Z:
t（n）
X/n
⑶F分布：
设X:
2（n1）,Y:
2（压），且X,Y相互独立，则随机变量Z耳1服
丫/①
从F分布，其第一、二自由度分别为
n1,n2.记做Z:
F（n“n2）.
【详解】其实，由F分布的性质以及
t分布和F分布的关系得,
（1）如果统计量T:
t（n），则有T:
F（1,n）；
1
（2）如果统计量F:
F（n1,n2），则有匸:
F（n2,n1）.由以上两条性质可以直接得出本题的答案为（C）.
先由t分布的定义知
XU:
t（n），其中U~N（0,1）,V~
（n），于是
1V/丫丄二」x2U2
由F分布的定义知
分母中只含有一个标准正态分布的平方，所以U2~2
（1）.
Y~F（n,1）.故应选（C）.
三【分析】圆锥体体积公式:
V3r2h；旋转体的体积:
（1）连续曲线y
f（x），直线xa、xb所围成的图形绕直线
xX。
旋转一周而成
的立体的体积V1
2
f（x）x0dx
⑵连续曲线x
g（x），直线yc、yd所围成的图形绕直线
yy0旋转一周而成
的立体的体积V2
2
g（y）yody
【详解】为了求D的面积，首先要求出切点的坐标,
设切点的横坐标为
X。
则曲线ylnx
在点（xo，lnX。
）处的切线方程是:
y
1
Inx°—（xx°）.
X0
切线的斜率为
1
yx一，由于该切线过原点，将（0,0）点代入切线方程，得Inx010,
X0
从而X。
e.所以该切线的方程为
1y-x.
e
（1）利用平面图形D的面积公式S
（y）（y）dy，得
11
A0（eyey）dy-e1.
（2）旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解,可画一草图.
切线y
曲线y
V2
O
x
1
x与x轴及直线x
e
121（eey）dy-03
Inx与x轴及直线
1
0（e
ey）2dy
e所围成的三角形绕直线xe旋转所得的圆锥体积为:
e所围成的图形绕直线xe旋转所得的旋转体体积为:
1（e2
0\
2eey
e2y）dy
/2
（ey
2e
ey
尹）
因此所求旋转体的体积为
3
VV1V2
（e
ey）2dy
严212e3）.
四【分析】幕级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幕级数展开的情形.
另外，由于函数展开成的幕级数，经两边求导或积分（其中一边是逐项求导或逐项积分）后，其新的展开式收敛区间不变，但在收敛区间端点处，求导（积分）后的展开式成立与否，
要另行单独处理，设已有
f（x）an（xx°）n
n0
收敛区间为（沧R,x0R）.
如果在xX。
R处级数收敛，并且
f（x）（左）连续，则展开
式成立的范围可扩大到
x沧R处，在xx0R处亦有类似的结论，不过此时
f（x）（左）
连续应改称（右）连续.
【详解】本题可先求导,
12x
2（12x）2（12x）
f（x）
12x
2
2x
基本求导公式
12x
12x
12x
12x
4_21
2（14x2）14x214x2
11
对于函数二，可以利用我们所熟悉的函数—的幕级数展开:
1
4x
1x
1
1x
x2L
nn
xLx
（1x
1）
1x
n0
所以
1
（
4x2）n
nn2n
（1）4x
14x2
1（把x换成4x2）
14x2
n0
n0
有
f（x）
2-
1
2
nn2n
2
（1）4x,
1
x（-
1
）.
1
4x2
n0
2
2
对上式两边求积分，得
xx
f（x）f（0）0f（t）dt20
（1）n4nt2ndt
n0
又因为f（0）
-，所以
4
f（x）f（0）
12xarctan
12x
xc
2
（1）n4ntdt
0
n0
⑴dtH
（1）n4n
x
2n1
2n
02n
11
，x（2,2），
（
2n
2n
1
x
1
2,2）
（*）
1处，右边级数成为
2
（1）n
n02n1
1
—,收敛（利用莱布尼茨定理），左边函数f（x）连
2
续，所以成立范围可扩大到x
1
处.而在x
2
—处，右边级数虽然收敛，但左边函数f（x）
不连续，所以成立范围只能是
x（-,1].
22
为了求（丄，令
n02n1
丄代入（*）得
2
1）—2[
（1）4n1]
（1）n
2）4n0[2n122n14n02n1
再由f
（2）
0，得
丄-仁丄）-
n02n1-2-
五【详解】
（1）方法
1用格林公式证明•由曲线为正向封闭曲线，自然想到用格林公式
因为积分区域D关于
yx对称，所以
siny
（ee
D
sinx、
）dxdy
x与y互换
（esiny
D
sinx、
）dxdy
siny.
xedy
sinx
yedx
Lxe
siny
dy
sinx-
yedx
P
?
PdxQdy
・D
x
dxdy.y
所以
siny.sin
Lxedyye
xdx
（esiny
D
sinx、
e）dxdy
所以
siny.sin
Lxedyye
xdx
（esiny
e）dxdy
D
方法2:
化为定积分证明
所以
左边
右边
（2）方法1:
（因为a
sinx_
Lyedx=0
sinyI
xedyye
用格林公式证明
sinyi
〔xedyye
esinydy
0.
esinxdx=
0
sinx
（ee
sinx、
）dx
sinx
Lye
sinx
dx
sinx
dx
dx=
xe
L
siny
edy
0.sinx|
edx=
sinx
0（e
sinx、
e）dx
sinysin
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