考研数一真题及解析.docx

1、考研数一真题及解析2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、填空题：本题共 6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(1) lim(cos x)1 n(1 %)x 0 曲面z2 xy与平面2x4yz设x2ancos nx(x)，n 0 211从R的基1, 2到基01(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为0平行的切平面的方程是 .则 a2= .111 , 2 的过渡矩阵为 1 26x,0 x y 1, f(x,y) 0,其他，则 PX Y 1* 设an,bn, cn均为非负数列，且()(A) an bn对任意n成立. (B)(C)极限lim anCn不存在. (D)l

2、im an 0 , lim bn 1, lim cn ,则必有n n nbn 5对任意n成立.极限lim bnG不存在. 已知一批零件的长度 X (单位：cm cm)服从正态分布 N( ,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为 40 (cm)，则 的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值 (1.96) 0.975, (1.645) 0.95.)二、选择题：本题共 6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 (1)设函数f (x)在(，)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有()(A)一个

3、极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点 已知函数f(x, y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且 xiomofF斧 1 现()(A)点(0,0)不是f (x, y)的极值点.(B)点(0,0)是f(x, y)的极大值点(C)点(0,0)是f(x, y)的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f (x, y)的极值点.设向量组1 : 1 , 2,r可由向量组II : 1, 2 ,s线性表示，则()(A)当 rs时，向量组II必线性相关 (B) 当 rs时，向量组II必线性相关(C)当 rs时，向量组I必

4、线性相关(D) 当 rs时，向量组1必线性相关设有齐次线性方程组 Ax0 和 Bx 0,其中A,B均为m n矩阵，现有4个命题：若Ax 0的解均是Bx 0的解，则秩(A)秩(B )；若秩(A)秩(B)，则Ax0的解均是Bx 0的解若Ax 0与Bx 0同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则Ax0与Bx 0同解以上命题中正确的是()(A) (B)(C) (D)(6)设随机变量X t(n)(n1),Y1 口2，则()X(A) Y 2(n).(B)2Y 2(n 1) (C) YF( n,1).(D)YF(1, n).三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线 yIn x的切线，该切线与曲线y

5、 Inx及x轴围成平面图形 D .(1)求D的面积A;(2)求D绕直线x e旋转一周所得旋转体的体积 V .四、(本题满分12分)将函数f(x)(1)nn 0 2n 11 2xarctan飞展开成x的幂级数，并求级数五、(本题满分10分)已知平面区域D(x, y) 0x ,0 y，L为D的正向边界.试证(1) xesin y dyLye sinxdxxe sinydyLyesinxdx;xesin y dysin x 1ye dx2 2.六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 (

6、比例系数为k,k 0).汽锤第一次击打将桩打进地下 am根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r(0 r 1).问(1)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深? (注：m表示长度单位米.)、(本题满分12分)设函数y y(x)在()内具有二阶导数，且y 0, x x(y)是 y y(x)的反函(1)试将x x(y)所满足的微分方程d2xdy2(ysinx)(dx)3 0变换为y y(x)满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)0,y (0)I的解、(本题满分12分)设函数f(x)连续且恒大

7、于零,F(t)f (x2 y2 z2)dv(t)f(xD(t)dG(t)f(x2D(t)t2 ，1f(x )dx其中(t) (x,y,z)z2 t2，D(t)(x, y) xy2)d2 2 以、y t.(1)讨论F(t)在区间(0,)内的单调性2 证明当t 0时，F(t) G(t).九、(本题满分10分)322010设矩阵A232，P101 ，B P 1A P，求B 2E的特征值与特征223001向量，其中A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵 十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为11 : ax 2by 3c 0, l2 ：bx 2cy 3a 0, l3:cx 2ay 3b 0.

8、试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为 a b c 0.十一、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品， 其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1)乙箱中次品件数 X的数学期望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率 .十二、(本题满分8分)设总体X的概率密度为f(x)2e 2(x ),x0, x其中 0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本 X1,X2, ,Xn，记min (XX2, ,Xn).(1)求总体X的分布函数F(x);求统计量？的分布函数F?(x)；(3)如果用？作为的估计量，讨论它是否具有无偏性2003年全国硕士

9、研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题【详解】方法1 ：求lim u(x)v(x)型极限，一般先化为指数形式limu(x)v(x) lim ev(x)lnu(x)然后求lim v(x)ln u(x)，再回到指数上去.【答案】2x 4y z 5【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可.平面2x4yz 0的法向量：n12,4,1；曲面z 2x y2在点(x, y,z0)的法向量:r n2Zx(x0,y0),Zy(x0,y), 1 2x),2y, 1r r由于 n1 / n2,因此有2x)2y1241可解得，X。1, y02，相应地有z2X。2y。5.所求切平面过点(

10、1,2,5)，法向量为：r山2,4,1,故所求的切平面方程为2(x1)4(y 2) (z 5)0，即2x4y z 5【答案】1?elim (cos x)ln(1x 01 In cosxx ) ln(1 x2)Tim ex 0In cosx lim 0ln(1x2)ln cosxln(1 x2)ln(1 cosx 1) cosx 1lim 2 lim (等价无穷小替换ln(1 x): x)x 0 ln(1 x ) x 0 x!i叫1 2x22x丄(等价无穷小替换1 cosx: x2)2 21原式=e 212方法 2:令 y (C0SX)ln(1 X)，有 ln yIn cosx2ln(1 x )

11、，以下同方法1.【答案】1【详解】将f(x) x2(x )展开为余弦级数f(x)an cosnx( x )，其中 an0o f (x)cos nxdx 所以 a2cos2xdx乂勺前“ 1x2si n2xo sin2x 2xdx|xd cos2xxcos2x 0o cos2 xdx【答案】【详解】n维向量空间中，从基n到基2,n的过渡矩阵P满足1, 2 , , n =n因此过渡矩阵P为:P=n1n 根据定义，R2的基到基的过渡矩阵为P=2 121【答案】-4【分析】本题为已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x, y)，求满足一定条件的概率Pg(X,Y) z。 连续型二维随机变量 (X,Y)

12、概率的求解方法y xF(x, y) f(u,v)dudv,此题可转化为二重积分 Pg(X,Y)【详解】图中阴影区域为积分区域z0 f (x, y)dxdy 进行计算.g(x,y) Z0由题设，有PX Y 1 f (x,y)dxdy2 dxx6xdyy1(6x 12x2)dx【答案】(39.51,40.49).【分析】可以用两种方法求解:2(1)已知方差 1 ,对正态总体的数学期望 进行估计因为X : N( ,1)，设有n个样本，样本均值X1 一 Xi，则 X : N( n i 1丄)，将其标准化,n由公式X E(X)D(X)n N(0,1)X得： N(0,1)u 12U2 .n)-可确定临界值

13、u ,进而确定相应的2置信区间(XU2.n，X(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下，求期望值的置信区间问题由教材上已经求出的置信区间(x u2,n，xu乡石),其中PU,U : N(0,1),可以直接得出答案.【详解】方法1 :由题设，10.95，可见 0.05.查标准正态分布表知分位点u 1.96.本题 n 16, x 40.2即 P39.51根据P1.9640.49 0.95 ,故方法2:由题设，1PUu20.95,Pu2查得u 1.96.16,0.95，有 P1.960.95 ,的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49) u_ 2 (u_)2 21 0.95, (u )

14、 0.9752x 40代入(x得置信区间(39.51,40.49) 二、选择题(1)【答案】(C)【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值 点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的 点有3个(导函数与x轴交点的个数)；x 0是导数 不存在的点.对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正, 是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：x 0 .左侧

15、一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 x 0为极大值点.故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选 (C).【答案】(D)【详解】方法1 ：推理法由题设lim bn 1，假设lim bncn存在并记为A，则lim Cn lim nn a ,这与n n n n bn【答案】(A)【详解】由limx 0, yf(x,y) xy0/2 2、20 (x y )1 f(x,y)xy(1)(x2y2)2，其中limx 0y 0由f(x,y)在点(0,0)连续知,f(0,0) 0.x充分小，x0，有 f (x, y)2 2(1 )(2x ) 0;x充分小，x 0，有f (x, y)x2 (1 )(2x2

16、)2 0lim cn矛盾，故假设不成立，lim bncn不存在.n所以选项(D)正确.方法2:排除法取an1 nbn工，满足lim ann n0,lim bn 1n,而d1Q0 b , (A)不正确；取bnnn1,Gn 2 ,满足 lim bnn1,lim cnn,而b101 C1 , (B)不正确；取an1qn 2，满足 lim an0,lim Cn,而 liman Cn1 , (C)不正确.n n n故点(0,0)不是f (x, y)的极值点，应选(A).(极值的定义)(4)【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理： 若向量组I : 1, 2, , r可由向量组II : 1,

17、2, s线性表示，则当r s时，向量组I必线性相关. 或其逆否 命题：若向量组I : 1, 2, , r可由向量组II : 1, 2, , s线性表示，且向量组I线 性无关，则必有r s 可见正确选项为(D)本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：0101 0,1 0 , 21,则10 1 0 2，但 1 ：,2线性无关，排除(A)；0111 0,2 0, 10则1,2可由1线性表示，但1线性无关，排除(B);1101 _ ,1 _ , 21可由1, 2线性表示，但1线性无关，排除(C).001【答案】(B)【分析】本题可找反例用排除法进行分析，但、 两个命题的反例比较复杂一些，

18、关键是抓住、，迅速排除不正确的选项.【详解】若AX 0与BX 0同解，则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同， 即n-秩(A)= n-秩(B),但反过来，若秩得秩(A)=秩(B )，命题成立，可排除(A), (C);(A)=秩(B)，则不能推出 AX0与BX 0同解，通过举一反例证也卄 1 000明，若A,B 门，则秩(A)=秩(B )=1，但AX 0与BX 0不同解,0 001可见命题不成立，排除(D).故正确选项为(B).【答案】(C).【分析】求解这类问题关键在于了解产生 2变量、t变量、F变量的典型模式.2(1)分布：设Xi,X2,L ,Xn相互独立且均服从标准正态分布，则随机变量

19、nZ X：服从自由度为n的2分布记做Z : 2(n).i 12(2)t分布：设X1 : N(0,1) , X2 (n)，且X1,X2相互独立，则随机变量r X1Z I服从自由度为n的t分布.记做Z : t(n)X/nF分布：设X : 2(n 1),Y :2(压)，且X,Y相互独立，则随机变量 Z 耳1服丫/从F分布，其第一、二自由度分别为n1, n2.记做 Z : F (n“ n2).【详解】其实，由 F分布的性质以及t分布和F分布的关系得,(1)如果统计量 T : t(n)，则有T : F(1,n)；1(2)如果统计量F: F(n1,n2)，则有匸:F(n2,n1). 由以上两条性质可以直接

20、得出本题的答案为 (C).先由t分布的定义知X U : t(n)，其中 U N(0,1),V (n)，于是1 V/ 丫 丄二 x2 U2由F分布的定义知分母中只含有一个标准正态分布的平方，所以U2 2(1).Y F (n,1).故应选(C).三【分析】圆锥体体积公式:V 3 r2 h ；旋转体的体积:(1)连续曲线yf(x)，直线x a、x b所围成的图形绕直线x X。旋转一周而成的立体的体积V12f (x) x0 dx连续曲线xg(x)，直线y c、y d所围成的图形绕直线y y0旋转一周而成的立体的体积V22g(y) yo dy【详解】为了求D的面积，首先要求出切点的坐标,设切点的横坐标为

21、X。,则曲线y ln x在点(xo，ln X。)处的切线方程是:y1In x (x x).X0切线的斜率为1y x 一，由于该切线过原点，将 (0,0)点代入切线方程，得Inx0 1 0 ,X0从而X。 e.所以该切线的方程为1 y -x.e（1）利用平面图形D的面积公式S(y) (y) dy，得1 1A 0（ey ey）dy -e 1.（2）旋转体体积可用一大立体 （圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解, 可画一草图.切线y曲线yV2Ox1x与x轴及直线xe1 2 1 (e ey) dy - 0 3In x与x轴及直线10 (eey)2dye所围成的三角形绕直线 x e旋转所得的

22、圆锥体积为:e所围成的图形绕直线 x e旋转所得的旋转体体积为:1(e20 2e eye2y)dy/ 2(e y2eey尹）因此所求旋转体的体积为3V V1 V2(eey)2dy严2 12e 3).四【分析】幕级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、 求导或积分等，转化为可利用已知幕级数展开的情形.另外，由于函数展开成的幕级数， 经两边求导或积分（其中一边是逐项求导或逐项积分 ） 后，其新的展开式收敛区间不变，但在收敛区间端点处，求导 （积分）后的展开式成立与否，要另行单独处理，设已有f (x) an(x x)nn 0收敛区间为（沧 R,x0 R）.如果在x X。R

23、处级数收敛，并且f （x）（左）连续，则展开式成立的范围可扩大到x沧 R处，在x x0 R处亦有类似的结论，不过此时f (x)(左)连续应改称（右）连续.【详解】本题可先求导,1 2x2(1 2x) 2(1 2x)f (x)1 2x22x基本求导公式1 2x1 2x1 2x1 2x4 _2 12(1 4x2) 1 4x2 1 4x21 1对于函数 二，可以利用我们所熟悉的函数的幕级数展开:14x1 x11 xx2 Ln nx L x(1 x1)1 xn 0所以1(4x2)nn n 2n(1) 4 x1 4x21 (把x换成4x2)1 4x2n 0n 0有f (x)2 -12n n 2n2 (

24、1) 4 x ,1x (-1,).14x2n 022对上式两边求积分，得x xf (x) f(0) 0f(t)dt 2 0 ( 1)n4nt2n dtn 0又因为f(0)-，所以4f (x) f (0)1 2x arcta n1 2xx c2 ( 1)n4n t dt0n 0dtH(1)n4nx2n 12n0 2n1 1，x ( 2,2)，(2n2n1,x12,2)(*)1处，右边级数成为2(1)nn 0 2 n 11,收敛(利用莱布尼茨定理)，左边函数f (x)连2续，所以成立范围可扩大到 x1处.而在x2处，右边级数虽然收敛，但左边函数f (x)不连续，所以成立范围只能是x ( -,1.2

25、 2为了求(丄，令n 0 2 n 1丄代入(*)得21)2 ( 1)4n 1 ( 1)n2)4 n 0 2n 1 22n 1 4 n 0 2n 1再由f（2）0，得丄-仁丄)-n 0 2 n 1 - 2 -五【详解】（1）方法1用格林公式证明由曲线为正向封闭曲线，自然想到用格林公式因为积分区域D关于y x对称，所以sin y(e eDsin x、)dxdyx与y互换(esinyDsin x、)dxdysin y .xe dysin xye dxLxesin ydysin x -ye dxP? Pdx Qdy Dxdxdy . y所以sin y . sinLxe dy yexdx(esinyDsin x、e )dxdy所以sin y . sinLxe dy yexdx(e sin ye )dxdyD方法2:化为定积分证明所以左边右边(2)方法1 :（因为asi nx _Lye dx= 0sin y Ixe dy ye用格林公式证明sin y ixe dy yeesin ydy0 .e sinxdx =0si nx(e esin x、)dxsin xLyesin xdxsin xdxdx =xeLsin ye dy0 . sin x |e dx=sin x0(esin x、e )dxsin y sin