届湖北名校华中师大一附中上学期高三期中检测 数学理.docx
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届湖北名校华中师大一附中上学期高三期中检测数学理
2019届湖北名校华中师大一附中上学期高三期中检测
数学理
时限：
120分钟满分：
150分
第I卷（选择题共60分）
注意事项：
务必将每小题的答案填在答题卡的相应位置.答在试卷上无效.
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项代号涂填在选择题的答题卡内．
1．集合
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2．复数
，其中
为虚数单位，则
的虚部为（）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
4.在
中，
，
是直线
上的一点，若
，则实数
的值为（）
A．
B．
C.
D.
5.已知函数
的图像向左平移
个单位后得到
的图像，则
的值为（）
A.
B.
C.
D.
6．
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．以下四个命题：
①命题“若
”的逆否命题为“若
”；
②“
”是“
”的充分不必要条件；
③若
为假命题，则
均为假命题；
④对于命题
.
其中,假命题的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．已知函数
，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
9.若
，且
，则
的最小值为（）
A．
B．
C．
D．
10．已知定义域为
的奇函数
的导函数为
，当
时，
，
若
，则
的大小关系正确的是（）
A．
B．
C．
D．
11.在锐角
中，
分别为
三边
所对的角．若
，且满足关系式
，则
的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
12．对于任意的实数
，总存在三个不同的实数
，使得
成立，则实数
的取值范围是（）
A.
B．
C．
D．
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡内相应题号对应的横线上.
13．已知
，
，且
，则向量
在
方向上的投影为:
__________.
14．等差数列
、
的前
项和分别为
和
，若
，则
_____.
15．某船只在海面上向正东方向行驶了
迅速将航向调整为南偏西
，然后沿着新的方向行驶了
，此时发现离出发点恰好
，那么
的值为：
____________.
16．已知函数
，数列
的通项公式为
，若数列
是单调递减数列，则实数
的取值范围是：
____________.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知等差数列
的前
项和为
，公差
，且
，
，公比为
的等比数列
中，
．
（1）求数列{
}，{
}的通项公式
，
；
（2）若数列{
}满足
，求数列{
}的前
项和
．
18．（本小题满分12分）已知函数
.
（1）求函数
的单调减区间；
（2）已知
的内角
的对边分别为
．若
，锐角
满足
，且
，求
的值．
19．（本小题满分12分）如图，已知等边
的边长为
，圆
的半径为
，
为圆
的任意一条直径．
（1）判断
的值是否随点
的变化而变化，请说明理由；
（2）求
的最大值．
20．（本小题满分12分）如图，四棱锥
，侧面
是边长为
的正三角形且与底面垂直，底面
是
的菱形，
为棱
上的动点且
．
（1）求证：
为直角三角形；
（2）试确定
的值，使得二面角
的平面角余弦值为
．
21．（本小题满分12分）已知点
，
是抛物线
上相异两点，且满足
．
（1）若
的中垂线经过点
，求直线
的方程；
（2）若
的中垂线交
轴于点
，求
的面积的最大值及此时直线
的方程．
22.（本小题满分12分）已知函数
，其中
e是自然对数
（1）求
的极小值；
（2）当
时，设
为
的导函数，若函数
有两个不同的零点
，且
，求证：
．
华中师大一附中2018—2019学年度上学期高三理数期中检测答案
一选择题：
1．D2．A3．B4．B5．C6．C7．A8．D9．C10．B11．D12．A
二填空题：
13．
14．
15．3或616．
17．解：
（1）因为
为等差数列，所以
又
又公差
所以
所以
所以
解得
所以
因为公比为
的等比数列
中，
所以，当且仅当
时成立.此时公比
所以
（2）由
由
故
的前
项和
18．解：
（1）
由
的单调递减区间为
。
（2）由
为锐角，
又
，由正弦定律：
又
且
由余弦定律知：
19．解：
（1）
的值不会随点
的变化而变化。
（2）由
（1）知：
，故
，又设
，
，此时
，此时，
∥
。
20．解：
（I）取
中点
连结
，依题意可知
均为正三角形，所以
又
平面
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
因为
所以
，即
从而
为直角三角形.
（II）[向量法]由（I）可知
又平面
平面
平面
平面
平面
，所以
平面
.
以
为原点，建立空间直角坐标系
如图所示,则
由
可得点
的坐标
所以
设平面
的法向量为
，则
即
解得
，令
，得
，
显然平面
的一个法向量为
依题意
，
解得
或
（舍去），所以，当
时，二面角
的余弦值为
.
[传统法]由（I）可知
平面
所以
所以
为二面角
的平面角，即
在
中，
所以
，
由正弦定理可得
，即
解得
，又
所以
所以，当
时，二面角
的余弦值为
.
21．解：
（
）方法一（I）当
垂直于
轴时，显然不符合题意，
所以可设直线
的方程为
，代入方程
得：
∴
得：
∴直线
的方程为
∵
中点的横坐标为1，∴
中点的坐标为
∴
的中垂线方程为
∵
的中垂线经过点
，故
，得
∴直线
的方程为
（Ⅱ）由（I）可知
的中垂线方程为
，∴
点的坐标为
因为直线
的方程为
∴
到直线
的距离
由
得，
，
∴
设
则
，
，
，由
，得
在
上递增，在
上递减，当
时，
有最大值
得：
时，
直线
方程为
法二：
（Ⅰ）当
垂直于
轴时，显然不符合题意，当
不垂直于
轴时，根据题意设
的中点为
，则
由
、
两点得
中垂线的斜率为
，由
，得
∴直线
的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线
的方程为
中垂线方程为
，中垂线交
轴于点
点
到直线
的距离为
由
得：
，
当
时，
有最大值
，此时直线
方程为
22．解：
（1）
①当
时，
恒成立
为增函数，无极小值
②当
时，令
，解得
在
单调递减，在
单调递增
有极小值为
（2）解：
有两个不同的零点
考虑：
，设
，因为
在
单调递减，在
单调递增
再考虑
设
，则
设
在
单调递减
，进而
综上可得：
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