中考数学几何体型100道题.docx

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中考数学几何体型100道题

中考数学平面几何100题

难度排行:

红字偏难，黑字为常见难度

1.在锐角△ABC中，AB＜AC，AB是BC边上的高，P是线段AD上一点，过P作PE⊥AC，垂足为E，作PF⊥AB，垂足为F，O1,O2分别是△BDF，△CDE外心.证明:

O1.O2.E.F共圆的充要条件为P是△ABC的垂心.

2.设H是△ABC的垂心,D.E.F分别是△ABC外接圆上三点，且AD∥BE∥CF，S.T.U分别为D.E.F关于BC.CA.AB的对称点，证明:

S.T.U.H四点共圆

3.在△PAB中，E.F分别是边PA.PB上的点，在AP.BP的延长线上分别取点C.D使得PC＝AE，PD＝BF，点M.N分别是△PCD，

△PEF的垂心，证明:

MN⊥AB

4.过△ABC外心O任作直线，交边AB.AC于M.N；E.F分别是BN.CM的中点.证明:

∠EOF＝∠A

5.P为△ABC内一点，D.E.F分别是BC.CA.AB上的点，且PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,△ABC内的一点H满足∠HAB＝

∠PAC，∠HCB＝∠PCA，证明:

DE⊥EF，当且仅当H是△BDF垂心.

6.锐角△ABC三边长互不相等，其垂心为H,D是BC中点，直线BH与AC交于E,直线CH与AB交于F，直线AH与BC交于T，

BDE与○CDF交于G，直线AG与○BDE.○CDF分别交于M.N，证明:

（1）AH平分∠MTN，

（2）ME.NF.AH三线共点.

7.凸四边形ABCD的外接圆圆心为O,已知AC≠BD，且AC与BD交于E，若P为ABCD内部一点，且∠PAB+∠PCB＝∠PBC+∠PDC＝90°，证明:

P.O.E共线

8.与等腰△ABC两腰AB.AC都相切的圆ω交BC与K和L，联结AK，交圆ω于一点另一点M,点P.Q分别是点K关于点B和点C的对称点，证明:

△PMQ的外接圆和圆ω相切

9.在△ABC中，D是BC边上一点，O1.O2.分别是△BAD.△ACD外心，O′是经过A.O1.O2三点的圆的圆心.记△ABC的九点圆心为V,作O′E⊥BC于E，证明:

VE∥AD

10.在△ABC中，AB＞AC，内心为I，内切圆分别切BC.CA.AB于D.E.F，M是BC中点，AH是高，直线AI与DE.DF分别交于K.L，证明:

M.L.H.K四点共圆

11.○O为△ABC外接圆AM.AD分别为中线与角平分线，过B.C分别作切线相交于P，AP交BC于E，交○O于F，证明:

D是△AMF内心.

12.锐角△ABC，点D.E.F分别是BC.CA.AB上的高的垂足，I1，I2，I3分别是△AEF，△BDF，△CDE的内心，L1是○I2与圆I3不同于BC的外公切线，类似定义L2.L3，证明:

L1，L2.L3共点，且此点是△I1I2I3外心

13.锐角△ABC中，AB＜AC，M为边BC中点，点D和点E分别是△ABC外接圆弧BAC和BC中点，F为△ABC内切圆在AB上的切点，AE和BC交于G，N点在线段EF上，满足NB⊥AB，证明:

若BN＝EM，则DF⊥FG

14.两圆内切.ABCD为大圆上顺次四点，AC.BD分别切小圆于E.F，B与小圆在AC同侧，证明:

EF过△ABC内心

15.在△ABC中，D.E分别在AB.AC上，ED∥BC，BD.CE交于F，证明:

△AEF.△ADF，△EFB，△DFC四个外心共圆

16.D.E.F分别在△ABC边BC.CA.AB上，并且AD.BE.CF交于一点G，△AFG，△BFG，△BGD，△GDC，△CGE，△AGE的外心分别为Oi（i＝1，2，3，4，5，6），且他们互不相同，证明:

Oi六点共圆的充要条件为G是△ABC重心

17.○O是△ABC的外接圆，D在弧AB上，△CAD，△CBD的内心分别为E.F，○DEF与○O的另一个交点为X，证明:

当D点在弧AB上运动时，X是一个定点

18.四边形ABCD的边AD.BC交于P，AB与CD不平行，△ABP，

△CDP的外心分别为O1，O2,垂心分别为H1，H2，O1H1,O2H2中点分别为E1，E2，过E1.E2分别作CD.AB的垂线.证明:

两条垂线和H1H2共点

19.△ABC外心为O，BO与AC交于F，CO与AB交于E，EF的垂直平分线交BC于D，DE与BF交于M，DF与CE交于N，若EM.FN的垂直平分线交于EF上一点K，证明:

∠BAC＝90°

20.点P在以△ABC垂心H为圆心的圆上运动，P在三边的射影分别是D.E.F，证明:

sin（2A）·PD2+sin（2B）·PE2+sin（2C）·PF2为定值.

21.△ABC内接于圆O，I为内心，M为弧BC中点，A′是A关于O的对径点，D为△ABC内切圆和BC的切点，AE⊥BC于E，直线A′D和ME交于K，证明:

DM⊥IK

22.P为△ABC内一点，满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA＝30°，证明:

△ABC为等边三角形

23.在△ABC中，点A1在边BC上，点B1在边AC上，点P和点Q分别在AA1和BB1上，且PQ∥AB，在直线PB1上取点P1使得B1严格位于P和P1之间，且∠PP1C＝∠BAC，类似地，在直线QA1上取点Q1使得使得A1严格位于点Q和点Q1之间，且∠CQ1Q＝∠CBA，证明:

P.Q.P1.Q1共圆

24.凸五边形ABCDE内接于○O，且AB＝CD＝EA，对角线BE.CE相交于点P，点H为△ABE垂心，M.N分别是BC.DE中点，G是△AMN重心，直线PH，OG相交于T，证明:

AT⊥CD

25.在锐角三角形ABC中，AB＞AC，点E.F分别在AC.AB上，满足BF+CE＝BC，点IB，IC分别是∠B,∠C内的旁心，直线EIC，FIB相交于点T，点K为弧BAC中点，直线KT与△ABC的外接圆交于K.P，证明:

T.F.P.E四点共圆.

26.等腰△ABC中，AB＝AC，AC边上一点D及BC延长线上一点E，满足2AD·CE＝DC·BC，以AB为直径的圆ω与线段DE交于一点F，证明:

BCFD共圆

27.在△ABC平面内，存在唯一一组点（P.Q）使得P.Q关于△ABC互为等角共轭，且满足PA+QA＝PB+QB＝PC+QC

28.在△ABC中，P1,P2为一组等角共轭点，点P1在BC.CA.AB上的射影分别是D1.E1.F1，直线D1P1与E1F1交于点K1，直线AK1与BC交于点X1类似定义X2，证明BX1＝CX2

29.△ABC的内切圆○I分别与BC.CA.AB相切于D.E.F联结AD交○I于点P，联结BP交○I于点H，证明:

PH·DE·DF＝EF·DP·DH

30.在△ABC中，以AB.AC为直径的圆ω1，ω2，M是∠BAC角平分线AD的中点，BK的延长线分别交ω1，ω2于E.F，CK的延长线分别交ω1，ω2于点F.G证明:

○AEF和○AFG外切

31.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，CD⊥AB于，且

CD2·BC2+AC2·CD2＝AC2·BC2，证明:

∠ACB＝90°

32.△ABC和△AB′C′共外接圆，P为外接圆上任一点，证明:

P关于△ABC和P关于△AB′C′的西姆森线平行的充要条件是BC∥B′C′

33.凸四边形ABCD中，对角线BD,AC交于M，△AMB，△CMD的垂心分别是S.R，△AMD,△BMC的重心分别是I.Q，证明:

IQ⊥SR

34.△ABC中，AD⊥BC于D，BF⊥AC于E，CG⊥AB于F，联DE.EF.DF，证明:

△AEF，△BDE，△CDF的欧拉线共点，且交点在九点圆上

35.△ABC中，AY⊥BC于Y，记O为外心，AO交BC于X，过B.C引外接圆切线交于L，D为内切圆在BC上的切点，I为内心，PQ是过OI的外接圆直径（P.Q端点），证明:

PXYQ共圆当且仅当ADL共线

36.△ABC中，P为∠BAC平分线上一点，O1,O2,O3分别是△APB，

△APC，△BPC外心，K为△O1O2O3外心，证明:

OK∥AP（其中O是△ABC外心）

37.圆O1,O2相交于A.B两点，CD是两圆靠近B的外公切线，P是圆O1上一点，Q是圆O2上一点，PC.QD延长线交于R，若AR平分∠PAQ，证明:

PQ∥CD或PBQ共线

38.已知圆O1和圆O2相交于P.Q两点，O是连心线O1O2的中点，过P作两条不重合的割线AB和CD，（其中A.C在圆O1上，B.D在圆O2上），联结AD并取其中点M，联CB并取其中点N，证明:

O到直线MN的距离小于O到PQ的距离.

39.四边形ABCD内接于圆，O是外心，E是对角线交点，P是平面内任一点，O1,O2,O3,O4分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA外心，证明:

OE,O1O3,O2O4共点

40.平面内有七个圆，其中六个圆含于一个大圆内，且没个圆都和大圆相切，六个圆两两相切，记六个圆在大圆上的切点依次为Ai（i＝1.2.3.4.5.6），证明:

A1A4.A2A5.A3A6共点

41.△ABC内切圆与BC.AC.AB相切于点D.E.F，一圆与△ABC内切圆切于D，与△ABC外接圆切于K，M.N类似定义，证明:

DK，EM.FN共点，且此点在△DEF的欧拉线上

42.圆O1，O2分别是△ABC的C-旁切圆，B-旁切圆，O1与AC.BC分别相切于G.H，圆O2分别与AB.BC相切于L.K，直线O1L和直线O2G相交于P，证明:

AP⊥GL

43.从圆Ω外一点P作圆Ω的切线PA.PB，AA′,BB′分别是圆Ω的两条直径，点C.D分别在切线PA.PB上，过C且垂直于AB的直线与∠ABB′的平分线交于C′，过D且垂直于AB的直线与∠A′AB的平分线交于D′，证明:

C,D′，A′共线当且仅当C′DB′共线

44.四条直线相交成四个三角形，这四个三角形的垂心共线

45.已知△ABC，A1,A2,A3分别在高线AD.BE.CF上若S△ABC＝S△ABC1+S△BCA1+S△CAB1，证明:

△A1B1C1外接圆通过△ABC的垂心

46.四边形ABCD内接于圆，E为BC上一点，E在直线AB.BD.AC.CD上的射影分别是M.N.Q.P，直线MN与PQ交于点K，直线EK与AD交于F，证明:

KE＝KF

47.等腰三角形ABC中，AB＝AC，三角形内存在一点P使得∠PBC

＝45°，∠PCB＝15°，且AP＝BP+CP，求∠ABC

48.在梯形ABCD中，AD∥BC，P为BC上任一点，PE∥AC交AB于E，PF∥BD交CD于F，EF分别交BD.AC于点G.H，证明:

EG＝FH

49.在不等腰锐角三角形ABC中，三条高线AD.BE.CF的中点依次为P.S.T，内心为I，外心为O，内切圆○I与边BC.CA.AB分别相切于M.N.L，证明:

PM.SN.TL共点，且此交点和OI共线

50.△ABC中，M是BC中点，点E.F分别是M关于AC.AB的对称点，直线FB.EC交于P，点Q满足QA＝QM，∠QAP＝90°，O是△PEF外心，证明:

AO⊥OQ

51.△ABC中，AB＞AC，∠BAC的角平分线交BC于D，线段AD

的垂直平分线与AB.AC分别交于E.F，点X在BC上，且BX·CF＝XC·BE，AX交△ABC外接圆于Y,已知BC＝a，CA＝b，AB＝c，求△ADY外接圆半径

52.△ABC中，BC＞CA＞AB，BE.CF是角平分线，外接圆弦BQ∥EF,QP∥AC,证明:

PC＝PA+PB

53.已知△ABC为给定三角形，D在BC上,E在AB上，F在AC上，且△DEF为正三角形，求S△DEF最小值

54.设F是双曲线定点，A是右焦点，△HIJ的内切圆是以A为圆心AF为半径的圆.过H.I作双曲线的切线交于K，证明:

KAJ共线

55.已知正△XYZ的顶点分别在△ABC的边BC.CA.AB上，证明:

△ABC的内心在△XYZ的内切圆的内部

56.△ABC内接于圆O，∠ABC＞90°，M是边BC中点，点P在△ABC内，满足PB⊥PC，过P作AP的垂线，D.E是该垂线上不同于P的两点，满足BD＝BP，CE＝CP，若四边形ADOE是平行四边形，证明:

∠OPE＝∠AMB

57.设A为○Ω外一点，直线AB.AC分别与圆Ω相切于B.C两点，设P是劣弧BC上的一个动点，过点P作Ω的切线分别于AB.AC相交于点D.E，直线BP.CP分别与∠BAC的内角平分线交于点U.V，过点P作AB的垂线，与直线DV交于M，过点P作AC的垂线，与直线EU交于点N，证明:

存在一个与点P无关的定点L，使得MNL共线

58.△ABC中，AB＞AC,M是边BC的中点，○M以BC为直径，直线AB.AC分别与○M交于点D（异于B），E（异于C），已知在△ABC内的点P满足∠PAB＝∠ACP，∠CAP＝∠ABP，BC²＝2DE·MP，在○M外的点X满足XM∥AP，XB·AC＝XC·AC，证明:

∠BXC+∠BAC＝90°

59.锐角三角形ABC中，AB＜AC，AD是BC边上的高，D是垂足，I是△ABC内心，J是A-旁心，点E在边AB上，点F在AB延长线上满足BE＝BF＝BD，证明:

在△ABC外接圆上存在两点P.Q（可以重合），满足PB＝QC，并且△PEI∽△QFJ

60.锐角△ABC中，作出角平分线BL，D.E分别是△ABC外接圆上弧AB和弧BC中点，线段BD的延长线上取一点P，在线段BE的延长线上取一点Q，使得∠APB＝∠CQB＝90°，证明:

线段BL的中点与P.Q共线

61.锐角△ABC内有P.Q两点满足∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠BAQ，过点P作BC.CA.AB的垂线，垂足为D.E.F，证明:

∠DEF＝90°当且仅当Q是△BFD垂心

62.在△ABC周围作3个任意三角形△DBC，△ECA，△FAB，他们的顶点围成△DEF，再向△DEF周围作三个三角形△A′FE,△B′DF，△C′ED相应地，使他们与△DBC，△ECA，△FAB顺向相似，证明:

△A′B′C′∽△ABC

63.圆周上有ABCD四点，证明:

其中一点关于另三点围成的三角形的三条西姆森线共点

64.设○O1,O2交于P.Q两点，过点P任作两条直线APB，CPD，其中A.C在○O1上，点B.D在○O2上，M.N分别是AD.BC中点,O为O1O2中点，∠APC＝θ为锐角，设h为点O到MN的距离，K为PQ中点，证明:

h＝OK·cosθ

65.锐角△ABC中，I是内心AB≠AC，△ABC的内切圆ω与边BC.CA.AB分别相切于点D.E.F过D点且垂直于EF的直线与ω另一个交点为R.直线AR与ω另一个交点为P，△PCE和△PBF的外接圆交于另一点Q.证明:

直线DI和PQ的交点在过A且垂直于AI的直线上.

66.在△ABC中，I为内心，T为AI与BC的交点，J为A-胖切圆与边BC的切点，△AJT的外接圆和△ABC的外接圆第二个交点为F，过I作IS⊥AT，与BC交于点S，AS与△ABC外接圆的第二个交点为E，证明:

EF∥BC.

67.已知五角星形ABCDEFGHIJ，△IBC，△JBA，△EAG，△FED，

△HDC的外接圆轮回相交，两两交点分别是K.O.N.M.L，记LB和AN交于Q类似定义T.S.R.P，记JO与FN交于U类似定义W.Z.V.A1.证明:

KONMLQTSRPUWZVA1共圆∠XAY为一个固定的角，B.C分别是射线AX.AY上的动点，∠XAY内有一点P满足PA.PB.PC的长均为定值，求△ABC的最大值

答：

设P是△ABC内的任意点，O.OA.OB.OC分别是△ABC,△PBC，

△PCA，△PAB外心，OBC,OCA,OAB分别是△POBOC，△POCOA，△POAOB的外心，O′，O′分别是△OAOBOC，△OBCOCAOAB外心，证明:

OP∥OO′′

68.设△ABC的外心为O，在∠A的角平分线上取一点P，分别作P在AB.BC.CA.上的射影D.E.F，若△DEF的外接圆交BC于另外一点G，设H为△EFG垂心，求证:

O.P.H共线