中考数学几何体型100道题.docx

1、中考数学几何体型100道题中考数学平面几何 100 题难度排行:红字偏难，黑字为常见难度1. 在锐角ABC 中，ABAC，AB 是 BC 边上的高，P 是线段 AD 上一点，过 P 作 PEAC，垂足为 E，作 PFAB，垂足为 F，O1,O2 分别是BDF，CDE 外心.证明:O1.O2.E.F 共圆的充要条件为 P 是ABC 的垂心.2. 设 H 是ABC 的垂心,D.E.F 分别是ABC 外接圆上三点，且ADBECF，S.T.U 分别为 D.E.F 关于 BC.CA.AB 的对称点， 证明:S.T.U.H 四点共圆3. 在PAB 中，E.F 分别是边 PA.PB 上的点，在 AP.BP

2、的延长线上分别取点 C.D 使得 PCAE，PDBF，点 M.N 分别是PCD，PEF 的垂心，证明:MNAB4. 过ABC 外心 O 任作直线，交边 AB.AC 于 M.N；E.F 分别是BN.CM 的中点.证明:EOFA5. P 为ABC 内一点， D.E.F 分别是 BC.CA.AB 上的点， 且PDBC,PECA,PFAB,ABC 内 的 一 点 H 满 足 HAB PAC，HCBPCA，证明:DEEF，当且仅当 H 是BDF 垂心.6. 锐角ABC 三边长互不相等，其垂心为 H,D 是 BC 中点，直线BH 与 AC 交于 E,直线 CH 与 AB 交于 F，直线 AH 与 BC 交

3、于 T，BDE 与CDF 交于 G，直线 AG 与BDE.CDF 分别交于 M.N， 证明:(1)AH 平分MTN，(2)ME.NF.AH 三线共点.7. 凸四边形 ABCD 的外接圆圆心为 O,已知 ACBD，且 AC 与 BD 交于 E，若 P 为 ABCD 内部一点，且PAB+PCBPBC+PDC90，证明:P.O.E 共线8. 与等腰ABC 两腰 AB.AC 都相切的圆交 BC 与 K 和 L，联结AK，交圆于一点另一点 M,点 P.Q 分别是点 K 关于点 B 和点 C 的对称点，证明:PMQ 的外接圆和圆相切9. 在ABC 中，D 是 BC 边上一点，O1.O2.分别是BAD.AC

4、D 外心，O是经过 A.O1.O2 三点的圆的圆心.记ABC 的九点圆心为 V,作 OEBC 于 E，证明:VEAD10. 在ABC 中，ABAC，内心为 I，内切圆分别切BC.CA.AB 于D.E.F，M 是BC 中点，AH 是高，直线 AI 与DE.DF 分别交于K.L，证明:M.L.H.K 四点共圆11. O 为ABC 外接圆 AM.AD 分别为中线与角平分线，过 B.C 分别作切线相交于 P，AP 交 BC 于 E，交O 于 F，证明:D 是AMF内心.12. 锐角ABC，点 D.E.F 分别是 BC.CA.AB 上的高的垂足，I1， I2，I3 分别是AEF，BDF，CDE 的内心，

5、L1 是I2 与圆 I3 不同于 BC 的外公切线，类似定义 L2.L3，证明:L1，L2.L3 共点，且此点是I1I2I3 外心13. 锐角ABC 中，ABAC，M 为边 BC 中点，点 D 和点 E 分别是ABC 外接圆弧 BAC 和 BC 中点，F 为ABC 内切圆在 AB 上的切点，AE 和 BC 交于 G，N 点在线段 EF 上，满足 NBAB，证明:若 BNEM，则 DFFG14. 两圆内切.ABCD 为大圆上顺次四点，AC.BD 分别切小圆于E.F，B 与小圆在 AC 同侧，证明:EF 过ABC 内心15. 在ABC 中，D.E 分别在 AB.AC 上，EDBC，BD.CE 交于

6、 F， 证明:AEF.ADF，EFB，DFC 四个外心共圆16. D.E.F 分别在ABC 边 BC.CA.AB 上，并且 AD.BE.CF 交于一点 G，AFG，BFG，BGD，GDC，CGE，AGE 的外心分别为 Oi(i1，2，3，4，5，6)，且他们互不相同，证明:Oi 六点共圆的充要条件为 G 是ABC 重心17. O 是ABC 的外接圆，D 在弧 AB 上，CAD，CBD 的内心分别为 E.F，DEF 与O 的另一个交点为 X，证明:当 D 点在弧 AB 上运动时，X 是一个定点18. 四边形 ABCD 的边 AD.BC 交于 P，AB 与 CD 不平行，ABP，CDP 的外心分别

7、为 O1，O2,垂心分别为 H1，H2，O1H1,O2H2 中点分别为 E1，E2，过 E1.E2 分别作 CD.AB 的垂线.证明:两条垂线和H1H2 共点19. ABC 外心为 O，BO 与 AC 交于 F，CO 与 AB 交于 E，EF 的垂直平分线交BC 于D，DE 与BF 交于M，DF 与CE 交于N，若 EM.FN的垂直平分线交于 EF 上一点 K，证明:BAC9020. 点 P 在以ABC 垂心 H 为圆心的圆上运动，P 在三边的射影分别是 D.E.F，证明:sin(2A)PD2+sin(2B)PE2+sin(2C)PF2为定值.21. ABC 内接于圆 O，I 为内心，M 为弧

8、 BC 中点，A是 A 关于 O 的对径点，D 为ABC 内切圆和 BC 的切点，AEBC 于 E， 直线 AD 和 ME 交于 K，证明:DMIK22. P 为ABC 内一点，满足PACPCBPBA30，证明:ABC 为等边三角形23. 在ABC 中，点 A1 在边 BC 上，点 B1 在边 AC 上，点 P 和点 Q 分别在 AA1 和 BB1 上，且 PQAB，在直线 PB1 上取点 P1 使得 B1 严格位于 P 和 P1 之间，且PP1CBAC，类似地，在直线 QA1 上取点 Q1 使得使得 A1 严格位于点 Q 和点 Q1 之间，且CQ1QCBA，证明:P.Q.P1.Q1 共圆24

9、. 凸五边形 ABCDE 内接于O，且 ABCDEA，对角线 BE.CE 相交于点 P，点 H 为ABE 垂心，M.N 分别是 BC.DE 中点，G 是AMN 重心，直线 PH，OG 相交于 T，证明:ATCD25. 在锐角三角形 ABC 中，ABAC，点 E.F 分别在 AC.AB 上，满足 BF+CEBC，点 IB，IC 分别是B,C 内的旁心，直线 EIC， FIB 相交于点 T，点 K 为弧 BAC 中点，直线 KT 与ABC 的外接圆交于 K.P，证明:T.F.P.E 四点共圆.26. 等腰ABC 中，ABAC，AC 边上一点 D 及 BC 延长线上一点 E，满足 2ADCEDCBC

10、，以 AB 为直径的圆与线段 DE 交于一点 F，证明:BCFD 共圆27. 在ABC 平面内，存在唯一一组点(P.Q)使得 P.Q 关于ABC 互为等角共轭，且满足 PA+QAPB+QBPC+QC28. 在ABC 中，P1,P2 为一组等角共轭点，点 P1 在 BC.CA.AB 上的射影分别是 D1.E1.F1，直线 D1P1 与 E1F1 交于点 K1，直线 AK1 与BC 交于点 X1 类似定义 X2，证明 BX1CX229. ABC 的内切圆I 分别与 BC.CA.AB 相切于 D.E.F 联结 AD 交I 于点 P ， 联结 BP 交I 于点 H ， 证明:PHDEDF EFDPDH

11、30. 在ABC 中，以 AB.AC 为直径的圆1，2，M 是BAC 角平分线 AD 的中点，BK 的延长线分别交1，2 于 E.F，CK 的延长线分别交1，2 于点 F.G 证明:AEF 和AFG 外切31. 在 ABC 中 ， A ， B 均 为 锐 角 ， CDAB 于 ， 且CD2BC2+AC2CD2AC2BC2，证明:ACB9032. ABC 和ABC共外接圆，P 为外接圆上任一点，证明:P 关于ABC 和 P 关于ABC的西姆森线平行的充要条件是BCBC33. 凸四边形 ABCD 中，对角线 BD,AC 交于 M，AMB，CMD 的垂心分别是 S.R ， AMD,BMC 的重心分别

12、是 I.Q ， 证明:IQSR34. ABC 中，ADBC 于 D，BFAC 于 E，CGAB 于 F，联DE.EF.DF，证明:AEF，BDE，CDF 的欧拉线共点，且交点在九点圆上35. ABC 中，AYBC 于 Y，记 O 为外心，AO 交 BC 于 X，过 B.C 引外接圆切线交于 L，D 为内切圆在 BC 上的切点，I 为内心，PQ 是过OI 的外接圆直径(P.Q 端点)，证明:PXYQ 共圆当且仅当ADL共线36. ABC 中，P 为BAC 平分线上一点，O1,O2,O3 分别是APB，APC，BPC 外心，K 为O1O2O3 外心，证明:OKAP(其中 O 是ABC 外心)37.

13、 圆 O1,O2 相交于 A.B 两点，CD 是两圆靠近 B 的外公切线，P 是圆 O1 上一点，Q 是圆 O2 上一点，PC.QD 延长线交于 R，若 AR平分PAQ，证明:PQCD 或 PBQ 共线38. 已知圆 O1 和圆 O2 相交于 P.Q 两点，O 是连心线 O1O2 的中点， 过 P 作两条不重合的割线 AB 和 CD，(其中 A.C 在圆 O1 上，B.D 在圆 O2 上)，联结 AD 并取其中点 M，联 CB 并取其中点 N，证明:O到直线 MN 的距离小于 O 到 PQ 的距离.39. 四边形 ABCD 内接于圆，O 是外心，E 是对角线交点，P 是平面内任一点，O1,O2

14、,O3,O4 分别是PAB，PBC，PCD，PDA 外心，证明:OE,O1O3,O2O4 共点40. 平面内有七个圆，其中六个圆含于一个大圆内，且没个圆都和大圆相切，六个圆两两相切，记六个圆在大圆上的切点依次为Ai(i1.2.3.4.5.6)，证明:A1A4.A2A5.A3A6 共点41. ABC 内切圆与 BC.AC.AB 相切于点 D.E.F，一圆与ABC 内切圆切于 D，与ABC 外接圆切于 K，M.N 类似定义，证明:DK， EM.FN 共点，且此点在DEF 的欧拉线上42. 圆 O1，O2 分别是ABC 的 C-旁切圆，B-旁切圆，O1 与 AC.BC分别相切于 G.H，圆 O2 分

15、别与 AB.BC 相切于 L.K，直线 O1L 和直线 O2G 相交于 P，证明:APGL43. 从圆外一点 P 作圆的切线 PA.PB，AA,BB分别是圆的两条直径，点 C.D 分别在切线 PA.PB 上，过 C 且垂直于 AB 的直线与ABB的平分线交于 C，过 D 且垂直于 AB 的直线与AAB 的平分线交于 D，证明:C,D，A共线当且仅当CDB共线44. 四条直线相交成四个三角形，这四个三角形的垂心共线45. 已知ABC， A1,A2,A3 分别在高线 AD.BE.CF 上若 SABC SABC1+SBCA1+SCAB1，证明:A1B1C1 外接圆通过ABC 的垂心46. 四边形 A

16、BCD 内接于圆， E 为 BC 上一点， E 在直线AB.BD.AC.CD 上的射影分别是 M.N.Q.P，直线 MN 与 PQ 交于点 K，直线 EK 与 AD 交于 F，证明:KEKF47. 等腰三角形ABC 中，ABAC，三角形内存在一点 P 使得PBC45，PCB15，且 APBP+CP，求ABC48. 在梯形 ABCD 中，ADBC，P 为 BC 上任一点，PEAC 交 AB 于 E，PFBD 交 CD 于 F，EF 分别交 BD.AC 于点 G.H，证明:EGFH49. 在不等腰锐角三角形ABC 中，三条高线 AD.BE.CF 的中点依次为 P.S.T，内心为 I，外心为 O，内

17、切圆I 与边 BC.CA.AB 分别相切于 M.N.L，证明:PM.SN.TL 共点，且此交点和 OI 共线 50. ABC 中，M 是 BC 中点，点 E.F 分别是 M 关于 AC.AB 的对称点，直线 FB.EC 交于 P，点 Q 满足 QAQM，QAP90， O 是PEF 外心，证明:AOOQ51. ABC 中，ABAC，BAC 的角平分线交 BC 于 D，线段 AD的垂直平分线与 AB.AC 分别交于 E.F，点 X 在 BC 上，且 BXCFXCBE，AX 交ABC 外接圆于 Y,已知 BCa，CAb，AB c，求ADY 外接圆半径52. ABC 中，BCCAAB，BE.CF 是角

18、平分线，外接圆弦BQEF,QPAC,证明:PCPA+PB53. 已知ABC 为给定三角形，D 在 BC 上,E 在 AB 上，F 在 AC 上，且DEF 为正三角形，求 SDEF 最小值54. 设 F 是双曲线定点，A 是右焦点，HIJ 的内切圆是以 A 为圆心 AF 为半径的圆.过 H.I 作双曲线的切线交于 K，证明:KAJ 共线 55. 已知正XYZ 的顶点分别在ABC 的边 BC.CA.AB 上，证明:ABC 的内心在XYZ 的内切圆的内部56. ABC 内接于圆 O，ABC90，M 是边 BC 中点，点 P 在ABC 内，满足 PBPC，过 P 作 AP 的垂线，D.E 是该垂线上不

19、同于 P 的两点，满足 BDBP，CECP，若四边形 ADOE 是平行四边形，证明:OPEAMB57. 设 A 为外一点，直线 AB.AC 分别与圆相切于 B.C 两点，设 P 是劣弧 BC 上的一个动点，过点 P 作的切线分别于AB.AC 相交于点 D.E，直线 BP.CP 分别与BAC 的内角平分线交于点 U.V，过点 P 作 AB 的垂线，与直线 DV 交于 M，过点 P 作AC 的垂线，与直线 EU 交于点 N，证明:存在一个与点 P 无关的定点 L，使得 MNL 共线58. ABC 中，ABAC,M 是边 BC 的中点，M 以 BC 为直径， 直线 AB.AC 分别与M 交于点 D(

20、异于 B)，E(异于 C)，已知在ABC 内的点 P 满足PABACP，CAPABP，BC 2DEMP，在M 外的点 X 满足 XMAP，XBACXCAC， 证明:BXC+BAC9059. 锐角三角形 ABC 中，ABAC，AD 是 BC 边上的高，D 是垂足，I 是ABC 内心，J 是 A-旁心，点 E 在边 AB 上，点 F 在 AB 延长线上满足 BEBFBD，证明:在ABC 外接圆上存在两点P.Q(可以重合)，满足 PBQC，并且PEIQFJ60. 锐角ABC 中，作出角平分线 BL，D.E 分别是ABC 外接圆上弧 AB 和弧 BC 中点，线段 BD 的延长线上取一点 P，在线段 B

21、E 的延长线上取一点 Q，使得APBCQB90，证明:线段 BL 的中点与 P.Q 共线61. 锐角ABC 内有 P.Q 两点满足ACPBCQ， CAPBAQ，过点 P 作 BC.CA.AB 的垂线，垂足为 D.E.F，证明:DEF90当且仅当 Q 是BFD 垂心62. 在ABC 周围作 3 个任意三角形DBC，ECA，FAB，他们 的 顶 点 围 成 DEF ， 再 向 DEF 周 围 作 三 个 三 角 形AFE,BDF，CED 相应地，使他们与DBC，ECA，FAB 顺向相似，证明:ABCABC63. 圆周上有 ABCD 四点，证明:其中一点关于另三点围成的三角形的三条西姆森线共点64.

22、 设O1,O2 交于 P.Q 两点，过点 P 任作两条直线 APB，CPD， 其中A.C 在O1 上，点 B.D 在O2 上，M.N 分别是AD.BC 中点,O为 O1O2 中点，APC为锐角，设 h 为点 O 到 MN 的距离，K 为 PQ 中点，证明:hOKcos65. 锐角ABC 中，I 是内心 ABAC，ABC 的内切圆与边BC.CA.AB 分别相切于点 D.E.F 过 D 点且垂直于 EF 的直线与 另一个交点为 R.直线 AR 与另一个交点为 P，PCE 和PBF 的外接圆交于另一点Q.证明:直线DI 和PQ 的交点在过A 且垂直于 AI 的直线上.66. 在ABC 中，I 为内心

23、，T 为 AI 与 BC 的交点，J 为 A-胖切圆与边 BC 的切点，AJT 的外接圆和ABC 的外接圆第二个交点为 F，过 I 作 ISAT，与 BC 交于点 S，AS 与ABC 外接圆的第二个交点为 E，证明:EFBC.67. 已知五角星形 ABCDEFGHIJ，IBC，JBA，EAG，FED，HDC 的外接圆轮回相交，两两交点分别是 K.O.N.M.L，记 LB 和 AN 交于 Q 类似定义 T.S.R.P，记 JO 与 FN 交于 U 类似定义W.Z.V.A1.证明:KONMLQTSRPUWZVA1 共圆XAY 为一个固定的角，B.C 分别是射线 AX.AY 上的动点，XAY 内有一点 P 满足 PA.PB.PC 的长均为定值，求ABC 的最大值答：设 P 是ABC 内的任意点，O.OA.OB.OC 分别是ABC,PBC， PCA，PAB 外心，OBC,OCA,OAB 分别是POBOC，POCOA，POAOB的外心， O，O分别是OAOBOC ， OBCOCAOAB 外心， 证明:OPOO68. 设ABC 的外心为 O，在A 的角平分线上取一点 P，分别作P 在 AB.BC.CA.上的射影 D.E.F，若DEF 的外接圆交 BC 于另外一点 G，设 H 为EFG 垂心，求证:O.P.H 共线