圆锥曲线范围最值定值定点定直线问题.docx
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圆锥曲线范围最值定值定点定直线问题
圆锥曲线专题
（一）范围、最值问题
22
Xy
1•已知A（4,0）,B（2,2）是椭圆1内的两个点，M是椭圆上的动点，则a的最大值
259
为，最小值为.
22
2•已知动点P（x,y）在椭圆—=1上，若A（3,0）,AM=1,PMAM=0,则PM的最小值2516
为
2
3•已知抛物线C:
y=2px（p0）的焦点为F,过点F垂直于x轴的直线与抛物线C相交于
A,B两点,抛物线C在A,B两点处的切线及直线AB所围成的三角形面积为4.
（1）求抛物线C的方程.
（2）设M,N是抛物线C上异于原点O的两个动点，且满足kOMk°N=kcAkOB,求厶OMN面
积的取值范围.
22
4.在平面直角坐标系中，过椭圆C:
x^=1（ab0）右焦点的直线x，y-i3=0交椭
ab
1
圆C与A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为一.
2
（1）求椭圆C的方程.
（2）C,D为椭圆C上两点，若四边形ACBD的对角线CD—AB，求四边形ACBD面积的最大
值.
22
5•设圆xy2x-15=0的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，I交圆A于C,D
两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（1）证明：
EA+|EB为定值，并写出点E的轨迹方程•
（2）设点E的轨迹为曲线G，直线I交G于M,N两点，过B且与I垂直的直线与圆A
交于P,Q两点，求四边形MNPQ面积的取值范围•
22
6•已知F为椭圆e：
°2-yr=1（ab0）的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等
ab
边三角形，直线--上=0与椭圆E有且仅有一个交点M.
42
（1）求椭圆E的方程.
（2）设直线-y=0与y轴交于P,过点P的直线I与椭圆E交于两个不同点A,B,若
42
2
a|pm|=|pa|pb，求实数几的取值范围.
（二）定值问题
x2y21一
7•已知椭圆C:
—22=1（ab0）的离心率为一，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径
ab2
的圆与直线x-y=0相切•
（1）求椭圆C的标准方程•
b2
⑵若直线I:
^kxm与椭圆C相交于A,B两点，且koAkoB=-丐，求证:
AOB的面积
a
为定值•
22
，经过点（1,1）,且斜率为
Xy
8•已知椭圆C：
r2T（ab■0）经过点A（0,-1）,且离心率为
ab
的直线与椭圆C交于不同的两点P,Q（均异于点A）,求证:
直线AP与AQ的斜率之和为定值
1•设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.
（1）求证：
ANBM为定值.
（2）求四边形ABMN面积的最小值
22
C：
笃与=1（ab0），过点M（.6,1）•ab
（1）求椭圆C的方程.
228"""■
（2）已知圆x八3相切的直线1与椭圆C交于A,B两点，证明：
0AOB为定值•
（1）求椭圆C的方程;
（2）若P,Q是C上的两个动点，且使.PAQ的角平分线总是垂直于x轴,试判断直线PQ的
斜率是否为定值
12.已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点，P（2,4）在抛物线上
（1）求抛物线的标准方程及准线方程；
（2）
A,B,求证:
直线AB的斜率为
过点P作两条倾斜角互补的直线与抛物线分别交于不同点
定值.
22
xy
13.已知椭圆C：
二2=1（a
ab
b0）的离心率为3,过点M（2,1）,O为原点，平行于OM的
直线I交C于不同的两点A,B.
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明:
MA,MB的斜率之和为定值
22
14.（2018•合肥二模）已知点A（1,0）和动点B,以线段AB为直径的圆内切于圆0：
X-y=4.
（1）求动点B的轨迹方程
（2）已知点P（2,0）,Q（2,-1）,经过点Q的直线I与动点B的轨迹交于M,N,求证:
直线PM和直线PN的斜率之和为定值.
22rz
15.已知椭圆C：
X2=1（ab0）的离心率为，且以焦点为直径的圆的内接正方形
ab2
面积为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线丨：
y二kx•2与椭圆C相交于A,B，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD
的斜率之和为定值？
若存在，求出点D的坐标及定值；若不存在，请说明理由•
22
16.已知圆C:
xy=4与x轴交于R,F2（F2在原点右侧），动点P到尺丁2的距离之和为
1
定值2a（a-2），且co^—F|PF2的最小值为-—.
3
（1）求动点P的轨迹方程；
■2I
（2）过F2且斜率不为0的直线I与点P的轨迹交于A,B,若存在点E,使得EA-EAAB是与直线l的斜率无关的定值，则称E为“恒点”，问在x轴上是否存在这样的“恒点”？
若存在,
求出该点坐标；若不存在,请说明理由
（三）定点问题
17.已知椭圆
2
当=1（ab0）过点M（、6,1）,b
（1）求椭圆C的标准方程•
（2）已知点P（..6,0）若AB为椭圆上的两个动点且PAPB--2，求证:
直线AB恒过定
占
八、、-
22
18.已知椭圆C：
—2-1（ab0）的离心率为
ab
2,左右焦点分别为
2
F1,F2，点P（2,.3）,
点F2在线段PF1的中垂线上.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）设直线I:
y=kx•m与C交于M,N,直线F2M与F2N的倾斜角互补，求证:
直线I过定点.
2
19.（2018•合肥三模）已知抛物线C:
y=2px（p0）的焦点为F,以抛物线上动点M为圆心
的圆过点F,若圆M的面积最小值为二.
（1）求p的值;
（2）当点M的横坐标为1且位于第一象限时，过M作抛物线的两条弦MA,MB,且满足
.AMF二/BMF，若直线AB恰好与圆M相切,求直线AB的方程.
22
xy
20.已知离心率为e的椭圆M：
二2^1（a-b・0）,过点A（-2,0）和P（1,e）.ab
（1）求椭圆M的标准方程.
（2）设点B是椭圆M的右顶点，直线h过点B且垂直于x轴，点Q是椭圆上异于A,B的任意
一点，直线AQ交h于点N,设经过N且垂直于BQ的直线为J，求证:
直线J过定点•
22
21.在平面直角坐标系中，直线・、2x-y，m=0不过原点，且与椭圆—X1有两个不同
42
的公共点A,B.
（1）求m的取值集合M.
（2）是否存在定点P使得-m・M，都有直线PA,PB的倾斜角互补，若存在，求出所有定点P
的坐标;若不存在，请说明理由.
（四）定直线问题
22.已知F1（-1,0）,F2（1,0）,动点M到点F2的距离是22,线段MF1的中垂线交线段MF?
于
点P.
（1）当点M变化时,求动点P的轨迹G的方程；
（2）直线I与曲线G相切于点N,过F2作NF2的垂线与直线I相交于点Q,求证:
点Q落在一
条定直线m上，并求直线m的方程.
2
23.设点P是抛物线E:
x=2y上的动点，且位于第一象限,E在点P处的切线I与椭圆
22
C:
x4y=1交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线0D与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
（1）求证：
点M在定直线；
（2）直线I与y轴交于点G,求-PF^的最大值及取得最大值时点P的坐标•
SPDM
22
24.已知椭圆C：
jX2岭=1（ab0）的左右顶点分别为AA，左右焦点分别为斤丁2,离
ab
1
心率为一，F2为线段AB的中点•
2
（1）求椭圆C的标准方程•
（2）若过点B且斜率不为0的直线I与椭圆C交于M,N两点，已知直线AM与AN相交于
点G,试判断点G是否在定直线上？
若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由•
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