专题13多元复合函数和隐函数的求导方法与技巧 1.docx
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专题13多元复合函数和隐函数的求导方法与技巧1
2021考研高等数学17堂课
主讲武忠祥教授
专题13：
多元复合函数与隐函数求导的方法和技巧
（一）复合函数求导法
设u=u（x,y）,v=v（x,y）可导,z=
f（u,v）在相应点有连续一阶偏导数,则
∂z=∂f∂u+∂f∂vz
∂x∂u∂x∂v∂x
∂z=∂f∂u+∂f∂vuv
∂y∂u∂y
∂v∂y
xyxy
（二）全微分形式不变性
设z=f（u,v）,u=u（x,y）,v=v（x,y）都有连续一阶偏导数.则
dz=∂zdx+∂zdy,dz=∂zdu+∂zdv
∂x∂y∂u∂v
（三）隐函数求导法
1）由一个方程所确定的隐函数
设F（x,y,z）有连续一阶偏导数,Fz'≠0,z=z（x,y）由F（x,y,z）=0所确定.
方法:
（1）公式:
∂z=-Fx',
∂z=-Fy';
∂xFz'∂yFz'
（2）等式两边求导
F'+F'∂z=0,F'+F'∂z=0.
xz∂xyz∂y
（3）利用微分形式不变性:
Fx'dx+Fy'dy+Fz'dz=0
2）由方程组所确定的隐函数（仅数一要求）
⎧F（x,y,u,v）=0
设u=u（x,y）,v=v（x,y）由⎨
⎩G（x,y,u,v）=0
所确定
方法:
⎧F'+F'∂u+F'∂v=0
（1）等式两边求导
⎪xu∂x
⎨∂u
v∂x
∂v
⎩
⎪Gx'+Gu'∂x+Gv'∂x=0
（2）利用微分形式不变性
⎧Fx'dx+Fy'dy+Fu'du+Fv'dv=0
⎨G'dx+G'dy+G'du+G'dv=0
⎩xyuv
1.复合函数偏导数与全微分
【例1】设z=
x
cos（y-1）-（y-1）cosx
∂z
∂y
则
1+sinx+sin（y-1）
（0,1）
=.
（-1）
x
=
【例2】设函数z=（1+x）y，则dz
y
（1,1）
.（1+2ln2）（dx-dy）
∂2F
∂x2
=⎰
xysint
【例3】设函数F（x,y）01+t2dt，则
x=0y=2
=.
【解1】
∂F=ysinxy，
∂x1+x2y2
∂2F=
∂x2
y2cos（xy）（1+x2y2）-2xy3sinxy
，
（1+x2y2）2
∂2F
∂x2
故
x=0y=2
=4.
∂2F
∂x2
【解2】
∂F=ysinxy
∂x1+x2y2
xx2
=
2sin2x
=
，Fx（x,2）1+4x2
2sin2x4x
x=0y=2
F（0,2）=lim
x→0x（1+4x
=lim=4
）x→0x（1+4x2）
22xy
∂z∂z
【例4】设z=（1+xy）
求及.
∂x∂y
【解1】由原题设可知z=exyln（1+x2y2），两端对x,y分别求偏导.
【解2】由原题设知lnz=xyln（1+x2y2），两端对x,y分别求偏导.
【解3】令u=1+x2y2,v=xy，则z=uv，由复合函数求导法可知
∂z=∂z∂u+∂z∂v=vuv-12xy2+uvlnu⋅y
∂x∂u∂x∂v∂x
=（1+x2
y2）
xy2x2y32
++
[1+x2y2yln（1x
y2）].
同理可得
∂z.
∂y
【注】解法3也可用于一元幂指函数，如y=（1+x2）sinx，可令
u=1+x2,v=sinx.
【例5】（2007年1）设f（u,v）为二元可微函数，z=f（xy
yx
），则∂z=.
∂x
1
2
[yxy-1f+yxlnyf]
【例6】设函数f（u,v）满足f（x+y,
y）=x2
x
-y2,则
∂f
∂v
与
u=1v=1
u=1v=1
依次是（）
（A）
1,0.
2
（B）0,1.
2
y
∂f
∂u
（C）-
1,0.
2
（D）0,-1.
2
【解1】令x+y=u,
x
=v,则
x=u
1+v
y=
uv
1+v
ç
2
⎪
故f（u,v）=⎛u⎫
⎛uv
-
ç
⎫u2（1-v）
2
=
⎪
⎝1+v⎭
∂f2u（1-v）∂f
⎝1+v⎭
2u2
1+v
所以∂u=
1+v
=0,
∂v=-（1+v）2
∂f
∂v
2
=-1
∂f
∂u
u=1v=1
u=1v=1
y1
【解2】令x+y=u,=v,则当u=1,v=1时，x=y=.等式f（x+y,y）=x2-y2两端
x2x
分别对x,y求偏导得
fu+fv（-
f+f1
y）=2xx2
=-2y
uv（x）
1
⎧fu（1,1）-2fv（1,1）=1
f
⎩u
v
将x=y=代入上式得
2
⎨（1,1）+2f（1,1）=-1
1
由此解得fu（1,1）=0,fv（1,1）=-2.
∂f∂f
【例7】设函数z=
f（x,y）在点（1,1）处可微，且f（1,1）=1,∂x
（1,1）
=2,∂y
（1,1）
=3,
ϕ（x）=
f（x,f（x,x））.
求dϕ3（x）dx
..
x=1
【解】
ϕ
（1）=
f（1,f（1,1））=
f（1,1）=1,
dϕ3（x）
=⎡3ϕ2（x）dϕ（x）⎤
dxx=1⎢⎣
dx⎥⎦
x=1
=3ϕ2（x）[f'（x,f（x,x））+f'（x,f（x,x））（f'（x,x）+f'（x,x））]
12
=3⋅1⋅[2+3（2+3）]=51.
12x=1
3⎛y⎫
∂z∂2z
∂2z
【例8】设z=x
fçxy,x⎪，f具有连续二阶偏导数，求∂y,∂y2及∂x∂y.
⎝⎭
【解】
∂z=x4f'+x2f',
∂y12
xxf+f+xxf+f=
∂2z=4⎡'1'⎤2⎡'1'⎤
5'+
3'+'
∂y2
⎣⎢11
x12⎥⎦
⎣⎢21
x22⎥⎦
xf11
2xf12
xf22,
∂2z=
3'+4⎡
'-y
'⎤+
'+2⎡
'-y'⎤
∂x∂y
4xf1
x⎢⎣yf11
x2f12⎥⎦
2xf2
x⎢⎣yf21
x2f22⎥⎦
=4x3f'+2xf'+x4yf'-yf'.
1211
x+y-2
22
∂u∂2u
【例9】设u=
f（x,y,z）,z=⎰0
etdt.求
∂x,∂x∂y,其中f有二阶连续偏导数.
【例10】设z=
∂2z
f（x+y,x-y,xy），其中f具有二阶连续偏导数，求dz与∂x∂y.
∂z∂z
【解】由于=f'+f'+yf'，=f'-f'+xf'，所以
∂x123∂y123
dz=∂zdx+∂zdy=（f'+f'+yf'）dx+（f'-f'+xf'）dy
∂x
∂2z=
∂y
'-'+
1231
'+'-'+'+'+
23
'-'+'
∂x∂y
f11
f12
xf13
f21
f22
xf23
f3y（f31
f32
xf33）
=f1'1'+（x+y）f1'3'-f2''2+（x-y）f2''3+xyf3'3'+f3'.
【例11】设函数z=
f（xy,yg（x）），其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g（x）可导且在
∂2z
∂x∂y
x=1处取得极值g
（1）=1.求
.
x=1y=1
【解1】由z=
f（xy,yg（x））知
∂z=yf'+yg'（x）f',
∂x12
上式两端对y求偏导得
∂2z='+'+
'+'
'+''+'
∂x∂y
f1y[xf11
g（x）f12]
g（x）f2
yg（x）[xf21
g（x）f22].
由题意g
（1）=1,g'
（1）=0,在上式中令x=1,y=1得
【解2】由z=
=
∂2z
∂x∂y
x=1y=1
f（xy,yg（x））知
f1'（1,1）+
f1'1（1,1）+
f1'2（1,1）.
∂z=yf'+yg'（x）f',
∂x12
由题意g
（1）=1,g'
（1）=0,在上式中令x=1得
zx（1,y）=yf1'（y,y）
上式两端对y求偏导得
zxy（1,y）=f1'（y,y）+y[f1'1'（y,y）+f2''2（y,y）]
令y=1得
=
∂2z
∂x∂y
x=1y=1
f1'（1,1）+
f1'1（1,1）+
f1'2（1,1）.
⎨
⎧u=x-2y,
【例12】设变换
⎩v=x+ay
可把方程6
∂2z+
∂x2
∂2z
∂x∂y
∂2z
-
=
∂y20简化为
∂2z
∂u∂v
=0，求常数a.
【解1】将z视为以u,v为中间变量的x,y的复合函数，由题设可得
∂z∂z∂z
∂z=-∂z∂z∂2z
∂2z∂2z∂2z
∂x=∂u+∂v,
∂y2∂u+a∂v,
∂x2=∂u2+2∂u∂v+∂v2,
∂2z=
∂2z
∂2z
2∂2z
∂2z
∂2z
∂2z
∂2z
∂y2
4∂u2-4a∂u∂v+a
∂v2,
∂x∂y=-2∂u2+（a-2）∂u∂v+a∂v2.
将上述结果代入原方程，经整理后得
z2
∂2
（10+5a）∂u∂v+（6+a-a
∂2z
）∂v2=0.
依题意a应满足
6+a-a2=0
且10+5a≠0,
解之得
a=3.
【解2】将z视为以x,y为中间变量的u,v的复合函数，由题设可得
x=au+2v,
a+2
y=-u+v.
a+2
∂z∂z∂x∂z∂ya∂z1∂z
ç
⎪
ç
从而∂u=∂x∂u+∂y∂u=a+2⋅∂x-a+2∂y,
∂2z=
1
a⎛∂2z∂x+
∂2z
∂y⎫
⎪
⎭
⎝
-
⎛∂2z
∂x+
∂2z∂y⎫
∂u∂v
a+2ç∂x2∂v
∂x∂y∂v⎪
a+2ç∂y∂x∂v
∂y2∂v⎪
⎝
⎭
=2a∂2z+
a-2∂2z-1
∂2z
（a+2）2∂x2
（a+2）2∂x∂y
a+2∂y2.
∂2z
∂2z
∂2z
∂2z
由∂u∂v=0得，2a∂x2+（a-2）∂x∂y-∂y2=0.
∂2z
∂2z
∂2z
2aa-2-1
依题意6∂x2+∂x∂y-∂y2=0,可知6=1
故a=3.
=-1
2∂z
2∂z2
1111
【例13】已知函数z=z（x,y）满足x
∂ψ
∂x+y
∂y=z.设
u=x,v=-,ψ=-
yxzx
对函数ψ=ψ（u,v），求证∂u=0.
⎧u=x
⎪
⎧x=u,
⎪11
【证】由⎨v=1-1,
解得⎨y=u.
这样ψ=-便是u,v的复合函数，对u求偏
zzx
⎩⎪yx
⎩⎪1+uv
导数得
∂ψ=-1（∂z∂x+∂z∂y）+1
∂uz2
∂x∂u
∂y∂uu2
=-1（∂z+∂z
1）+1,
z2∂x
1y
∂y（1+uv）2u2
利用=
1+uv
和z（x,y）满足的等式，有
x
∂ψ=-1
（x2∂z+y2∂z）+1
=-1+1
=0.
∂uz2x2∂x
∂yu2
x2u2
2.隐函数的偏导数与全微分
【例1】若函数z=z（x,y）由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则
dz=.
（0,0）
【解1】将x=0,y=0代入ex+2y+3z+xyz=1中得e3z=1,则z=0
方程ex+2y+3z+xyz=1两端微分得
ex+2y+3z（dx+2dy+3dz）+yzdx+xzdy+xydz=0
将x=0,y=0,z=0代入上式得
dx+2dy+3dz=0
1
则dz
（0,0）
=-（dx+2dy）.
3
【解2】将x=0,y=0代入ex+2y+3z+xyz=1中得e3z=1,则z=0
dz（0,0）=zx（0,0）dx+zy（0,0）dy
在ex+2y+3z+xyz=1中令y=0得，ex+3z=1,两边对x求导得
x
ex+3z（1+3z）=0,
z（0,0）=-1
x3
在ex+2y+3z+xyz=1中令x=0得，e2y+3z=1,两边对y求导得
y
e2y+3z（2+3z）=0,
z（0,0）=-2
y3
1
则dz
（0,0）
=-（dx+2dy）..
3
【例2】设函数z=z（x,y）由方程F⎛y,z⎫=0确定，其中F为可微函数，
ç⎪
x
x
⎝⎭
且F'≠0，则x∂z+y∂z=（）．
2∂x∂y
（A）x（B）z（C）-x（D）-z
-yF-zF1F
∂zx21
x22∂zx1
【解】
∂x=-
1,∂y=-1,
xF2xF2
∂∂-yF-zF
yF
xz+y
z=-
x1x
2-x1
∂x∂y
1F1F
x2x2
=z
故应选（B）.
【例3】设u=f（x,y,z）有连续的一阶偏导数，又函数y=y（x）及z=z（x）分别由下列两
式确定：
exy-xy=2和
ex=⎰x-zsintdt,
du
求.
dx
【解1】
du=∂f
+∂fdy+∂fdz.
0t
（1）
dx∂x
∂ydx
∂zdx
由exy-xy=2两边对x求导，得
⎭
⎭
⎝
⎝
exy⎛y+xdy⎫-⎛y+xdy⎫=0,
即dy=-y.
dxx
çdx⎪ç
dx⎪
又由ex=⎰x-zsintdt两边对x求导，得
0t
ex=
sin（x-z）x-z
ç
⋅⎛1-
⎝
dz⎫,即
d⎪x
⎭
dz=1-dx
ex（x-z）sin（x-z）.
将其代入
（1）式，得
⎣
du=∂f-y∂f+⎡
-ex（x-z）⎤∂f
dx∂xx∂y
⎦
∂f∂f∂f
⎢1sin（x-z）⎥∂z.
【解2】
du=∂xdx+∂ydy+∂zdz
（1）
等式exy-xy=2两端微分得
exy（ydx+xdy）-（ydx+xdy）=0,
dy=-ydx
x
等式ex=⎰x-zsintdt两端微分得
0t
exdx=
sin（x-z）x-z
（dx-dz）
即dz=（1-
ex（x-z）sin（x-z）
）dx.
将其代入
（1）式，得
∂fy∂f⎡ex（x-z）⎤∂f
du=[∂x-x∂y+⎢1-sin（x-z）⎥∂z]dx
⎣⎦
⎦
⎣
du=∂f-y∂f+⎡-ex（x-z）⎤∂f
dx∂xx∂y⎢1sin（x-z）⎥∂z.
【例4】设z=z（x,y）是由方程x2+y2-z=ϕ（x+y+z）所确定的函数，其中具有二阶导数，且ϕ'≠-1.
1⎛∂z∂z⎫∂u
（I）求dz；（II）记u（x,y）=ç-⎪，求.
x-y∂x∂y∂x
⎝⎭
【解1】（I）设F（x,y,z）=x2+y2-z-ϕ（x+y+z），则
Fx'=2x-ϕ',
Fy'=2y-ϕ',
Fz'=-1-ϕ'.
z
∂zFx'∂z
Fy'
由公式
∂x=-F',
∂y=-F',得
z
∂z=2x-ϕ',∂z=2y-ϕ'.
∂x1+ϕ'∂y1+ϕ'
所以
dz=∂zdx+∂zdy=1[（2x-ϕ'）dx+（2y-ϕ'）dy].
∂x∂y1+ϕ'
（II）
2
由于u（x,y）=1+ϕ'，所以
∂u=-2⎛1+∂z⎫ϕ'=-2（2x+1）ϕ'.
⎝
⎭
∂x（1+ϕ'）2ç∂x⎪（1+ϕ'）2
【解2】（I）对等式x2+y2-z=ϕ（x+y+z），两端求微分，得
2xdx+2ydy-dz=ϕ'⋅（dx+dy+dz）.
解出dz，得
dz=2x-ϕ'dx+2y-ϕ'dy.
1+ϕ'1+ϕ'
（II）同解1.
【例5】设z=z（x,y）是由方程f（y-x,yz）=0所确定的隐函数，其中函数f对各个变量
∂z∂2z
具有连续的二阶偏导数，求∂x及∂x2.
【解】方程f（y-x,yz）=0的两边对x求导，得
-f'+yf'∂z=0,①
1
解得∂z=
∂x
2∂x
f1'.②
yf2'
①两边再对x求导，得
f'-
'∂z-
'∂z+
2'∂z2+
'∂2z=
11yf12∂x
yf21∂x
yf22（∂x）
yf2∂x20,
∂2z
解出∂x2，并将②式代入，得
2
∂2z=1
-2'
∂z2+
'+'
∂z-'
∂x2
yf'[
yf22（∂x）
y（f12
f21）∂x
f11]
1
2
='[-y
f2'2
'2
f
1
2'2
+y（f1'2+
f2'1）
f1'-
'
f1'1]
yf2
yf2
yf2
2
=1（-f'2f'
+2f'f'f'-f'2f'）.
思考题
yf'3
122
1212
111
1∂z
1∂z
1.设函数f（u）可导，z=
f（siny-sinx）+xy则
cosx
⋅∂x
+
cosy∂y
=.
y2∂z∂z
2.设函数f（u）可导，z=yf（x）则2x∂x+y∂y=.
3.设函数
f（u,v）具有2阶连续偏导数，函数g（x,y）=xy-f（x+y,x-y）,求
∂2g+
∂x2
∂2g
∂x∂y
∂2g
+
∂y2.
∂2u∂2u∂u∂u
4.已知函数u（x,y）满足2∂x2
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