专题13多元复合函数和隐函数的求导方法与技巧 1.docx

1、专题13多元复合函数和隐函数的求导方法与技巧 12021 考研高等数学 17 堂课主讲 武忠祥 教授专题 13：多元复合函数与隐函数求导的方法和技巧(一) 复合函数求导法设u = u(x, y), v = v(x, y) 可导, z =f (u, v) 在相应点有连续一阶偏导数,则z = f u + f v z x u x v xz = f u + f v u v y u yv yx y x y(二) 全微分形式不变性设 z = f (u, v), u = u(x, y), v = v(x, y) 都有连续一阶偏导数.则dz = z dx + z dy , dz = z du + z dv x

2、 y u v(三) 隐函数求导法1)由一个方程所确定的隐函数设 F (x, y, z) 有连续一阶偏导数, Fz 0, z = z(x, y) 由 F (x, y, z) = 0 所确定.方法:（1）公式:z = - Fx , z = - Fy ; x Fz y Fz（2）等式两边求导F + F z =0, F + F z =0. x z x y z y（3）利用微分形式不变性:Fxdx + Fydy + Fzdz =02)由方程组所确定的隐函数（仅数一要求）F (x, y, u, v) = 0设u = u(x, y), v = v(x, y) 由G(x, y, u, v) = 0所确定方法:

3、 F + F u + F v = 0（1）等式两边求导 x u x uv xvGx + Gu x + Gv x = 0（2）利用微分形式不变性 Fxdx + Fydy + Fudu + Fvdv = 0Gdx + Gdy + Gdu + Gdv = 0 x y u v1.复合函数偏导数与全微分【例 1】设 z =xcos( y -1) - ( y -1) cos xzy,则1 + sin x + sin( y -1)(0,1)= .(-1)x=【例 2】设函数 z = (1 + x ) y ，则 dzy(1,1). (1+ 2 ln 2)(dx - dy)2Fx2= xy sin t【例 3】

4、设函数 F (x, y) 0 1 + t 2 d t ，则x=0 y=2= .【解 1】F = y sin xy ，x 1 + x2 y22F =x2y2 cos(xy)(1 + x2 y2 ) - 2xy3 sin xy，(1 + x2 y2 )22Fx2故x=0 y=2= 4.2Fx2【解 2】F = y sin xyx 1 + x2 y2xx 2=2sin 2x=， Fx (x,2) 1 + 4x22sin 2x 4xx=0 y=2F (0,2) = limx0 x(1 + 4x= lim = 4) x0 x(1 + 4x2 )2 2 xyz z【例 4】设 z = (1 + x y )

5、,求 及 .x y【解 1】 由原题设可知 z = exy ln(1+x2 y 2 ) ，两端对 x, y 分别求偏导.【解 2】 由原题设知ln z = xy ln(1 + x2 y2 ) ，两端对 x, y 分别求偏导.【解 3】 令u = 1+ x2 y2 , v = xy ，则 z = uv ，由复合函数求导法可知z = z u + z v = vuv-1 2xy2 + uv ln u y x u x v x= (1 + x2y2 )xy 2x2 y3 2+ +1 + x2 y2 y ln(1 xy2 ).同理可得z .y【注】解法 3 也可用于一元幂指函数，如 y = (1 + x2

6、 )sin x ，可令u = 1 + x2,v = sin x.【例 5】（2007 年 1） 设 f (u,v) 为二元可微函数， z = f (x y, y x)，则 z = .x12 yxy-1 f + yx ln yf 【例 6】设函数 f (u, v) 满足 f (x + y,y ) = x2x-y2, 则fv与u =1 v=1u=1 v=1依次是( )（A）1 ,0.2（B） 0, 1 .2yfu（C） -1 ,0.2（D） 0,- 1 .2【解 1】令 x + y = u,x= v, 则x = u1 + v, y =uv1+ v2故 f (u, v) = u uv- u2 (1

7、- v)2= 1+ v f 2u(1 - v) f 1+ v 2u21+ v所以 u =1+ v= 0, v = - (1 + v)2fv2= - 1fuu =1 v=1u=1 v=1y 1【解 2】令 x + y = u, = v, 则当u = 1, v = 1时，x = y = . 等式 f (x + y, y ) = x2 - y2 两端x 2 x分别对 x, y 求偏导得fu + fv (-f + f 1y ) = 2x x2= -2 yu v ( x )1 fu (1,1) - 2 fv (1,1) = 1f uv将 x = y = 代入上式得2 (1,1) + 2 f (1,1)

8、= -11由此解得 fu (1,1) = 0, fv (1,1) = - 2 .f f【例 7】设函数 z =f (x, y) 在点(1,1) 处可微，且 f (1,1) = 1, x(1,1)= 2, y(1,1)= 3, (x) =f (x, f (x, x).求 d 3(x) d x. .x =1【解】 (1) =f (1, f (1,1) =f (1,1) = 1,d 3(x)= 3 2 (x) d(x) d x x =1 d x x =1= 3 2 (x) f (x, f (x, x) + f (x, f (x, x)( f (x, x) + f (x, x)1 2= 3 12 +

9、3(2 + 3) = 51.1 2 x =13 y z 2z 2 z【例 8】设 z = xf xy, x ， f 具有连续二阶偏导数，求 y , y2 及 xy . 【解】z = x4 f + x2 f ,y 1 2x xf + f + x xf + f = 2 z = 4 1 2 1 5 +3 + y2 11x 12 21x 22 x f112x f12xf22 ,2 z =3 + 4 - y + + 2 - y xy4x f1x yf11x2 f12 2xf2x yf21x2 f22 = 4x3 f + 2xf + x4 yf - yf .1 2 11x+ y - 222u 2u【例 9

10、】设u =f (x, y, z), z = 0e t dt . 求x , xy ,其中 f 有二阶连续偏导数.【例 10】设 z = 2 zf (x + y, x - y, xy) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求d z 与 xy .z z【解】 由于 = f + f + yf ， = f - f + xf ，所以 x 1 2 3 y 1 2 3d z = z d x + z d y = ( f + f + yf ) d x + ( f - f + xf ) d y x 2 z =y - +1 2 3 1 + - + + +2 3 - + xyf11f12xf13f21f22xf23f3 y

11、( f31f32xf33 )= f11 + (x + y) f13 - f22 + (x - y) f23 + xyf33 + f3 .【例 11】设函数 z =f (xy, yg(x) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x) 可导且在2 zxyx = 1 处取得极值 g (1) = 1. 求.x =1 y =1【解 1】 由 z =f (xy, yg(x) 知z = yf + yg(x) f ,x 1 2上式两端对 y 求偏导得 2 z = + + + + + xyf1 yxf11g(x) f12 g (x) f2yg (x)xf21g(x) f22 .由题意 g(1) = 1,

12、 g(1) = 0, 在上式中令 x = 1, y = 1 得【解 2】 由 z =2 zxyx =1 y =1f (xy, yg(x) 知f1(1,1) +f11(1,1) +f12 (1,1).z = yf + yg(x) f ,x 1 2由题意 g(1) = 1, g(1) = 0, 在上式中令 x = 1 得zx (1, y) = yf1( y, y)上式两端对 y 求偏导得zxy (1, y) = f1( y, y) + y f11( y, y) + f22 ( y, y)令 y = 1 得=2 zxyx =1 y =1f1(1,1) +f11 (1,1) +f12 (1,1).u

13、= x - 2 y,【例 12】设变换v = x + ay可把方程62 z +x22zxy2 z-=y2 0 简化为2zuv= 0 ，求常数 a.【解 1】将 z 视为以u, v 为中间变量的 x, y 的复合函数，由题设可得z z z z = - z z 2z 2z 2 z 2 zx = u + v ,y 2 u + a v ,x2 = u2 + 2 uv + v2 ,2 z =2 z2 z2 2z2 z2 z2 z2 zy24 u2 - 4a uv + av2 ,xy = -2 u2 + (a - 2) uv + a v2 .将上述结果代入原方程，经整理后得z 22(10 + 5a) uv

14、 + (6 + a - a2z) v2 = 0.依题意 a 应满足6 + a - a2 = 0且 10 + 5a 0,解之得a = 3.【解 2】将 z 视为以 x, y 为中间变量的u, v 的复合函数，由题设可得x = au + 2v ,a + 2y = - u + v .a + 2z z x z y a z 1 z从而 u = x u + y u = a + 2 x - a + 2 y ,2 z =1a 2 z x + 2 zy - 2 zx +2 z y uva + 2 x2 vxy v a + 2 yx vy2 v = 2a 2 z +a - 2 2 z - 12 z(a + 2)2

15、 x2(a + 2)2 xya + 2 y2 .2z2 z2 z2 z由 uv = 0 得， 2a x2 + (a - 2) xy - y2 = 0.2 z2 z2 z2a a - 2 -1依题意6 x2 + xy - y2 = 0, 可知 6 = 1故 a = 3.= -12 z2 z 21 1 1 1【例 13】已知函数 z = z(x, y) 满足 xx + yy = z . 设u = x, v = - , = -yx z x对函数 = (u, v) ，求证 u = 0.u = xx = u, 1 1【证】 由v = 1 - 1 ,解得 y = u .这样 = - 便是u, v 的复合函

16、数，对u 求偏zzx y x 1 + uv导数得 = - 1 ( z x + z y ) + 1 u z2x uy u u2= - 1 ( z + z 1 ) + 1 ,z2 x1 yy (1 + uv)2 u2利用 =1 + uv和 z(x, y) 满足的等式，有x = - 1(x2 z + y2 z ) + 1 = - 1 + 1= 0.u z2 x2 xy u2x2 u22. 隐函数的偏导数与全微分【例 1】若函数 z = z(x, y) 由方程ex+2 y+3z + xyz = 1确定，则dz = .(0,0)【解 1】将 x = 0, y = 0 代入ex+2 y+3z + xyz

17、= 1中得e3z = 1, 则 z = 0方程ex+2 y+3z + xyz = 1两端微分得ex+2 y+3z (dx + 2dy + 3dz) + yzdx + xzdy + xydz = 0将 x = 0, y = 0, z = 0 代入上式得dx + 2dy + 3dz = 01则 dz(0,0)= - (dx + 2dy).3【解 2】将 x = 0, y = 0 代入ex+2 y+3z + xyz = 1中得e3z = 1, 则 z = 0dz (0,0) = zx (0,0)dx + zy (0,0)dy在ex+2 y+3z + xyz = 1中令 y = 0 得， ex+3z

18、= 1, 两边对 x 求导得xex+3z (1+ 3z ) = 0,z (0,0) = - 1x 3在ex+2 y+3z + xyz = 1中令 x = 0 得， e2 y+3z = 1, 两边对 y 求导得ye2 y+3z (2 + 3z ) = 0,z (0,0) = - 2y 31则 dz(0,0)= - (dx + 2dy).3【例 2】设函数 z = z(x, y) 由方程 F y , z = 0 确定，其中 F 为可微函数， xx 且 F 0 ，则 x z + y z = （ ） 2 x y（A）x （B） z （C） - x （D） - z-y F - z F 1 Fz x2 1

19、x2 2 z x 1【解】x = -1 , y = - 1 ,x F2 x F2 - y F - z F y Fx z + yz = -x 1 x2 - x 1x y1 F 1 F x 2 x 2= z故应选（B）.【例 3】设u = f (x, y, z) 有连续的一阶偏导数，又函数 y = y(x) 及 z = z(x) 分别由下列两式确定：exy - xy = 2 和ex = x - z sin t d t,d u求 .d x【解 1】d u = f+f d y + f d z . 0 t(1)d x xy d xz d x由exy - xy = 2 两边对 x 求导，得exy y +

20、x d y - y + x d y = 0,即 d y = - y .d x x d x d x 又由ex = x- z sin t d t 两边对 x 求导，得0 tex =sin(x - z) x - z 1 -d z , 即d xd z = 1 - d xex (x - z) sin(x - z) .将其代入(1)式，得d u = f - y f + -ex (x - z) fd x x x yf f f1 sin(x - z) z .【解 2】du = x dx + y dy + z dz(1)等式exy - xy = 2 两端微分得exy ( ydx + xdy) - ( ydx +

21、 xdy) = 0,dy = - y dxx等式ex = x- z sin t d t 两端微分得0 tex dx =sin(x - z) x - z(dx - dz)即 dz = (1-ex (x - z) sin(x - z)dx.将其代入(1)式，得f y f ex (x - z) fdu = x - x y + 1 - sin(x - z) z dx d u = f - y f + - ex (x - z) fd x x x y 1 sin(x - z) z .【例 4】设 z = z(x, y) 是由方程 x2 + y2 - z = (x + y + z) 所确定的函数，其中 具有二

22、阶导数，且 -1.1 z z u（I）求d z ； （II）记u(x, y) = - ，求 .x - y x y x 【解 1】 （I）设 F (x, y, z) = x2 + y2 - z - (x + y + z) ，则Fx = 2x - ,Fy = 2 y - ,Fz = -1 - .zz Fx z Fy由公式x = - F ,y = - F , 得zz = 2x - , z = 2 y - .x 1 + y 1 + 所以d z = z d x + z d y = 1 (2x - ) d x + (2 y - ) d y. x y 1 + （II）2由于u(x, y) = 1 + ，所以

23、u = - 2 1 + z = - 2(2x + 1) .x (1 + )2 x (1 + )2【解 2】 （I）对等式 x2 + y2 - z = (x + y + z) ，两端求微分，得2x d x + 2 y d y - d z = (d x + d y + d z).解出d z ，得d z = 2x - d x + 2 y - d y.1 + 1 + （II）同解 1.【例 5】设 z = z(x, y) 是由方程 f ( y - x, yz) = 0 所确定的隐函数，其中函数 f 对各个变量z 2z具有连续的二阶偏导数，求 x 及 x2 .【解】方程 f ( y - x, yz) =

24、 0 的两边对 x 求导，得- f + yf z = 0, 1解得 z =x2 xf1 . yf2两边再对 x 求导，得f - z - z +2 z 2 + 2z =11 yf12 xyf21 xy f22 ( x )yf2 x2 0,2z解出 x2 ，并将式代入，得22z = 1- 2 z 2 + + z - x2yf y f22 ( x )y( f12f21 ) xf11 12= - yf222f12 2+ y( f12 +f21 )f1 -f11 yf2y f2yf22= 1 (- f 2 f + 2 f f f - f 2 f ).思考题yf 31 221 2 121 111 z1 z1.设函数 f (u) 可导， z =f (sin y - sin x) + xy 则cos x x+cos y y= .y2 z z2.设函数 f (u) 可导， z = yf ( x ) 则2x x + y y = .3.设函数f (u, v) 具有 2 阶连续偏导数，函数 g( x, y) = xy - f ( x + y, x - y), 求 2g +x22gxy2 g+y2 .2u 2u u u4.已 知函数 u( x, y) 满足 2 x2