高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形45简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公.docx

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高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形45简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公

【2019最新】精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4-5简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公式教师用书理苏教

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，（C（α－β））

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ，（C（α＋β））

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ，（S（α－β））

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ，（S（α＋β））

tan（α－β）＝，（T（α－β））

tan（α＋β）＝.（T（α＋β））

2.二倍角公式

sin2α＝2sinαcosα，（S2α）

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，（C2α）

tan2α＝.（T2α）

【知识拓展】

1.降幂公式：

cos2α＝，sin2α＝.

2.升幂公式：

1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.

3.辅助角公式：

asinx＋bcosx＝sin（x＋φ），其中sinφ＝，cosφ＝.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）存在实数α，β，使等式sin（α＋β）＝sinα＋sinβ成立.（　√　）

（2）在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定.（　×　）

（3）若α＋β＝45°，则tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.（　√　）

（4）对任意角α都有1＋sinα＝（sin＋cos）2.（　√　）

（5）y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.（　×　）

（6）在非直角三角形中，tanA＋tanB＋tanC

＝tanAtanBtanC.（　√　）

1.tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝.

答案　

解析　∵tan60°＝tan（20°＋40°）＝，

∴tan20°＋tan40°＝tan60°（1－tan20°tan40°）

＝－tan20°tan40°，

∴原式＝－tan20°tan40°＋tan20°tan40°＝.

2.（2016·四川）cos2－sin2＝.

答案　

解析　由题意可知，cos2－sin2＝cos＝（二倍角公式）.

3.（2016·全国丙卷改编）若tanθ＝－，则cos2θ＝.

答案　

解析　tanθ＝－，则cos2θ＝cos2θ－sin2θ

＝＝＝.

4.（2015·江苏）已知tanα＝－2，tan（α＋β）＝，则tanβ的值为.

答案　3

解析　tanβ＝tan[（α＋β）－α]

＝＝＝3.

5.（2016·全国甲卷改编）函数f（x）＝cos2x＋6cos的最大值为.

答案　5

解析　由f（x）＝cos2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sinx＝－22＋，所以当sinx＝1时函数的最大值为5.

第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

题型一　和差公式的直接应用

例1　（2016·盐城模拟）已知α为锐角，cos（α＋）＝.

（1）求tan（α＋）的值；

（2）求sin（2α＋）的值.

解　

（1）因为α∈（0，），所以α＋∈（，），

所以sin（α＋）＝＝，

所以tan（α＋）＝＝2.

（2）因为sin（2α＋）＝sin2（α＋）

＝2sin（α＋）cos（α＋）＝，

cos（2α＋）＝cos2（α＋）

＝2cos2（α＋）－1＝－，

所以sin（2α＋）＝sin[（2α＋）－]

＝sin（2α＋）cos－cos（2α＋）sin＝.

思维升华　

（1）使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.

（2）使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.

（1）（2016·全国丙卷改编）若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝.

（2）计算：

的值为.

答案　

（1）　

（2）

解析　

（1）tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝

＝＝.

（2）＝

＝＝＝.

题型二　和差公式的综合应用

命题点1　角的变换

例2　

（1）设α、β都是锐角，且cosα＝，sin（α＋β）＝，则cosβ＝.

（2）（2016·镇江期末）由sin36°＝cos54°，可求得cos2016°的值为.

答案　

（1）　

（2）－

解析　

（1）依题意得sinα＝＝，

cos（α＋β）＝±＝±.

又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cosα>cos（α＋β）.

因为>>－，所以cos（α＋β）＝－.

于是cosβ＝cos[（α＋β）－α]

＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα

＝－×＋×＝.

（2）由sin36°＝cos54°，得sin36°＝2sin18°cos18°＝cos（36°＋18°）＝cos36°cos18°－sin36°sin18°＝（1－2sin218°）·cos18°－2sin218°cos18°＝cos18°－4sin218°·cos18°，即4sin218°＋2sin18°－1＝0，解得sin18°＝＝，cos2016°＝cos（6×360°－144°）＝cos144°＝－cos36°＝2sin218°－1＝－.

命题点2　三角函数式的变形

例3　

（1）（2016·无锡调研）若tanα＝，tan（α－β）＝－，则tan（β－2α）＝.

答案　－

解析　方法一　因为tanα＝，

所以tan2α＝＝＝.

又tan（α－β）＝＝＝－，

故tanβ＝1.

所以tan（β－2α）＝＝＝－.

方法二　tan（β－2α）＝－tan（2α－β）＝－tan（α＋α－β）

＝－＝－＝－.

（2）求值：

－sin10°（－tan5°）.

解　原式＝－sin10°（－）

＝－sin10°·

＝－sin10°·

＝－2cos10°＝

＝

＝

＝＝.

引申探究

化简：

（0<θ<π）.

解　∵0<<，∴＝2sin，

又1＋sinθ－cosθ＝2sincos＋2sin2

＝2sin（sin＋cos）

∴原式＝

＝－cosθ.

思维升华　

（1）解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

（2）常见的配角技巧：

2α＝（α＋β）＋（α－β），α＝（α＋β）－β，β＝－，α＝＋，＝（α＋）－（＋β）等.

（1）（2016·泰州模拟）若sin（＋α）＝，则cos（－2α）＝.

（2）（2016·南京模拟）化简（tanα＋）·sin2α－2cos2α＝.

（3）计算：

sin50°（1＋tan10°）＝.

答案　

（1）－　

（2）－cos2α　（3）1

解析　

（1）∵sin（＋α）＝，∴cos（－α）＝，

∴cos（－2α）＝cos2（－α）＝2×－1＝－.

（2）原式＝·sin2α－2cos2α

＝1－2cos2α＝－cos2α.

（3）sin50°（1＋tan10°）＝sin50°（1＋）

＝sin50°×

＝sin50°×

＝＝＝＝1.

8.利用联系的观点进行角的变换

典例　

（1）设α为锐角，若cos（α＋）＝，则sin（2α＋）的值为.

（2）若tanα＝2tan，则＝.

思想方法指导　三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件.常见的变角技巧有＝（α－）－（－β）；α＝（α－β）＋β；α＋＝（α＋）－；15°＝45°－30°等.

解析　

（1）∵α为锐角且cos（α＋）＝>0，

∴α＋∈（，），∴sin（α＋）＝.

∴sin（2α＋）＝sin[2（α＋）－]

＝sin2（α＋）cos－cos2（α＋）sin

＝sin（α＋）cos（α＋）－[2cos2（α＋）－1]

＝××－[2×（）2－1]

＝－＝.

（2）＝

＝＝

＝

＝

＝＝3.

答案　

（1）　

（2）3

1.（2016·苏州暑假测试）已知α∈（0，π），cosα＝－，则tan（α＋）＝.

答案　

解析　由α∈（0，π），cosα＝－，得tanα＝－，

则tan（α＋）＝＝＝.

2.（2016·盐城三模）若角α＋的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝x上，则tanα的值为.

答案　－

解析　若角α＋的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝x上，则tan（α＋）＝，

又tan（α＋）＝，所以tanα＝－.

3.（2015·重庆改编）若tanα＝，tan（α＋β）＝，则tanβ＝________.

答案　

解析　tanβ＝tan[（α＋β）－α]＝＝＝.

4.（2016·江苏启东中学阶段检测）若α、β均为锐角，且cosα＝，cos（α＋β）＝－，则cosβ＝.

答案　

解析　由于α、β都是锐角，所以α＋β∈（0，π），

又cosα＝，cos（α＋β）＝－，

所以sinα＝，sin（α＋β）＝，

所以cosβ＝cos[（α＋β）－α]

＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα

＝－×＋×＝.

5.的值是.

答案　

解析　原式＝

＝

＝＝.

6.已知锐角α，β满足sinα－cosα＝，tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，则α，β的大小关系是.

答案　β<α

解析　∵α为锐角，sinα－cosα＝>0，∴α>.

又tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，

∴tan（α＋β）＝＝，

∴α＋β＝，又α>，∴β<<α.

7.化简·＝.

答案　

解析　原式＝tan（90°－2α）·

＝··

＝··＝.

8.（2016·江苏无锡普通高中期末）已知sin（α－45°）＝－且0°<α<90°，则cos2α的值为.

答案　

解析　因为sin（α－45°）＝－且0°<α<90°，

所以cos（α－45°）＝＝.

cos2α＝sin（90°－2α）＝－sin（2α－90°）

＝－sin[2（α－45°）]＝－2sin（α－45°）cos（α－45°）

＝－2×（－）×＝.

*9.（2016·南京模拟）已知cos（＋θ）cos（－θ）＝，则sin4θ＋cos4θ的值为.

答案　

解析　因为cos（＋θ）cos（－θ）

＝（cosθ－sinθ）（cosθ＋sinθ）

＝（cos2θ－sin2θ）＝cos2θ＝.

所以cos2θ＝.

故sin4θ＋cos4θ＝（）2＋（）2

＝＋＝.

10.将函数y＝cosx＋sinx（x∈R）的图象向左平移m（m>0）个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是.

答案　

解析　y＝cosx＋sinx＝2sin（x＋），

所以此函数的图象向左平移m（m>0）个单位长度后得到y＝2sin（x＋m＋）的图象，由题意得m＋＝＋kπ（k∈Z），∵m>0，∴m＝＋kπ（k∈Z且k≥0），

∴m的最小值是.

11.已知α∈（，π），sinα＝.

（1）求sin（＋α）的值；

（2）求cos（－2α）的值.

解　

（1）因为α∈（，π），sinα＝，

所以cosα＝－＝－.

故sin（＋α）＝sincosα＋cossinα

＝×（－）＋×＝－.

（2）由

（1）知sin2α＝2sinαcosα

＝2××（－）＝－，

cos2α＝1－2sin2α＝1－2×（）2＝，

所以cos（－2α）＝coscos2α＋sinsin2α

＝（－）×＋×（－）＝－.

12.已知α∈（0，），tanα＝，求tan2α和sin（2α＋）的值.

解　∵tanα＝，

∴tan2α＝＝＝，

且＝，即cosα＝2sinα，

又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，

而α∈（0，），∴sinα＝，cosα＝.

∴sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，

cos2α＝cos2α－sin2α＝－＝，

∴sin（2α＋）＝sin2αcos＋cos2αsin

＝×＋×＝.

*13.已知cos（＋α）cos（－α）＝－，α∈（，）.

（1）求sin2α的值；

（2）求tanα－的值.

解　

（1）cos（＋α）·cos（－α）

＝cos（＋α）·sin（＋α）

＝sin（2α＋）＝－，

即sin（2α＋）＝－.

∵α∈（，），∴2α＋∈（π，），

∴cos（2α＋）＝－，

∴sin2α＝sin[（2α＋）－]

＝sin（2α＋）cos－cos（2α＋）sin＝.

（2）∵α∈（，），∴2α∈（，π），

又由

（1）知sin2α＝，∴cos2α＝－.

∴tanα－＝－＝

＝＝－2×＝2.