中考数学专题复习第十三讲反比例函数含详细参考答案.doc
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2019年中考数学专题复习
第十三讲反比例函数
【基础知识回顾】
一、反比例函数的概念：
一般地：
函数y（k是常数，k≠0）叫做反比例函数
【名师提醒：
1、在反比例函数关系式中：
k≠0、x≠0、y≠0
2、反比例函数的另一种表达式为y=（k是常数，k≠0）
3、反比例函数解析式可写成xy=k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于】
二、反比例函数的图象和性质：
1、反比例函数y=（k≠0）的图象是，它有两个分支，关于对称
2、反比例函数y=（k≠0）当k>0时它的图象位于象限，在每一个象限内y随x的增大而当k<0时，它的图象位于象限，在每一个象限内，y随x的增大而
【名师提醒：
1、在反比例函数y=中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴
2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】
3、反比例函数中比例系数k的几何意义：
双曲线y=（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线
两垂线与坐标轴围成的矩形面积为，即如图：
S矩形ABOC=
S△AOB=
【名师提醒：
k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】
三、反比例函数解析式的确定
因为反比例函数y=（k≠0）中只有一个待定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法
一、反比例函数的应用
解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的
【重点考点例析】
考点一：
反比例函数的图象和性质
例1（2018•通辽）已知抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx-k与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【思路分析】依据抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，即可得到k＜0，进而得出一次函数y=kx-k的图象经过第一二四象限，反比例函数y=的图象在第二四象限．
【解答】解：
∵抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，
∴△=4-4（k+1）＞0，
解得k＜0，
∴一次函数y=kx-k的图象经过第一二四象限，
反比例函数y=的图象在第二四象限，
故选：
D．
【点评】此题主要考查了反比例函数、二次函数、一次函数图象，运用“当△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．
例2（2018•郴州）参照学习函数的过程与方法，探究函数y=（x≠0）的图象与性质．
因为y=＝1−，即y=-+1，所以我们对比函数y=-来探究．
列表：
x
…
-4
-3
-2
-1
-
1
2
3
4
…
y=-
…
1
2
4
-4
-1
1
-
-
…
y=
…
2
3
5
-3
-1
0
…
描点：
在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；
（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）
②y=的图象是由y=-的图象向平移个单位而得到；
③图象关于点中心对称．（填点的坐标）
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值．
【思路分析】
（1）用光滑曲线顺次连接即可；
（2）利用图象法即可解决问题；
（3）根据中心对称的性质，可知A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，由此即可解决问题；
【解答】解：
（1）函数图象如图所示：
（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；
②y=的图象是由y=-的图象向上平移1个单位而得到；
③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）
故答案为增大，上，1，（0，1）
（3）∵x1+x2=0，
∴x1=-x2，
∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，
∴y1+y2=2，
∴y1+y2+3=5．
【点评】本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
考点二：
反比例函数图象的坐标特征
例3（2018•广州）设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与原点的距离为y1．
（1）求y1关于x的函数解析式，并画出这个函数的图象；
（2）若反比例函数y2=的图象与函数y1的图象相交于点A，且点A的纵坐标为2．
①求k的值；
②结合图象，当y1＞y2时，写出x的取值范围．
【思路分析】
（1）写出函数解析式，画出图象即可；
（2）①分两种情形考虑，求出点A坐标，利用待定系数法即可解决问题；
②利用图象法分两种情形即可解决问题；
【解答】解：
（1）由题意y1=|x|．
函数图象如图所示：
（2）①当点A在第一象限时，由题意A（2，2），
∴2=，
∴k=4．
同法当点A在第二象限时，k=-4，
②观察图象可知：
当k＞0时，x＞2时，y1＞y2或x＜0时，y1＞y2．
当k＜0时，x＜-2时，y1＞y2或x＞0时，y1＞y2．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征，正比例函数的应用等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
考点三：
反比例函数解析式的确定
例4（2018•岳阳）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．
【思路分析】
（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；
（2）作AD⊥BC于D，则D（2，b），即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程求得b的值，进而求得a的值，根据待定系数法，可得答案．
【解答】解：
（1）由题意得，k=xy=2×3=6
∴反比例函数的解析式为y=．
（2）设B点坐标为（a，b），如图
，
作AD⊥BC于D，则D（2，b）
∵反比例函数y=的图象经过点B（a，b）
∴b=，
∴AD=3-．
∴S△ABC=BC•AD
=a（3-）=6
解得a=6
∴b==1
∴B（6，1）．
设AB的解析式为y=kx+b，
将A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得，
解得，
直线AB的解析式为y=-x+4．
【点评】本题考查了反比例函数，利用待定系数法求反比例函数的解析式，正确利用a，b表示出BC，AD的长度是关键．
考点四：
反比例函数k的几何意义
例5（2018•烟台）如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k=．
【思路分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
【解答】解：
过点P做PE⊥y轴于点E
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BD⊥x轴
∴ABDO为矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6
∵P为对角线交点，PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为3
即DO•EO=3
∴设P点坐标为（x，y）
k=xy=-3
故答案为：
-3
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及平行四边形的性质．
考点五：
反比例函数与一次函数的交点问题
例6（2018•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cos∠OAB═，反比例函数y=的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线EB的解析式；
（3）求S△OEB．
【思路分析】
（1）利用待定系数法求反比例函数的解析式；
（2）根据点A的坐标可求得直线OA的解析式，联立直线OA和反比例函数解析式列方程组可得点E的坐标，再利用待定系数法求BE的解析式；
（3）根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：
（1）∵A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴，
∴AB=6，
∵cos∠OAB═=，
∴，
∴OA=10，
由勾股定理得：
OB=8，
∴A（8，6），
∴D（8，），
∵点D在反比例函数的图象上，
∴k=8×=12，
∴反比例函数的解析式为：
y=；
（2）设直线OA的解析式为：
y=bx，
∵A（8，6），
∴8b=6，b=，
∴直线OA的解析式为：
y=x，
则，
x=±4，
∴E（-4，-3），
设直线BE的解式为：
y=mx+n，
把B（8，0），E（-4，-3）代入得：
，
解得：
，
∴直线BE的解式为：
y=x-2；
（3）．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式及计算图形面积的问题．解题的关键是：
确定交点的坐标．
考点六：
反比例函数的应用
例7（2018•乐山）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【思路分析】
（1）应用待定系数法分段求函数解析式；
（2）观察图象可得；
（3）代入临界值y=10即可．
【解答】解：
（1）设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0）
∵线段AB过点（0，10），（2，14）
代入得
解得，
∴AB解析式为：
y=2x+10（0≤x＜5）
∵B在线段AB上当x=5时，y=20
∴B坐标为（5，20）
∴线段BC的解析式为：
y=20（5≤x＜10）
设双曲线CD解析式为：
y=（k2≠0）
∵C（10，20）
∴k2=200
∴双曲线CD解析式为：
y=（10≤x≤24）
∴y关于x的函数解析式为：
，
（2）由
（1）恒温系统设定恒温为20°C
（3）把y=10代入中，解得，x=20
∴20-10=10
答：
恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【点评】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．
考点七：
反比例函数综合题
例8（2018•武汉）已知点A（a，m）在双曲线y=上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B．
（1）如图1，当a=-2时，P（t，0）是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C，
①若t=1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y=经过点C，求t的值．
（2）如图2，将图1中的双曲线y=（x＞0）沿y轴折叠得
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