一元一次方程.docx

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一元一次方程

3.1.1一元一次方程

（1）

【教学目标】

1、了解什么是方程，什么是一元一次方程；

2、通过“列算式”和“列方程”解决问题的方法，感受方程是应用广泛的数学工具；

3、初步学会分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，渗透建立方程模型的思想；

4、经历从生活中发现数学和应用数学解决实际问题的过程，树立多种方法解决问题的创新意识，品尝成功的喜悦，增强用数学的意识，激发学习数学的热情。

【教学重点与难点】

重点：

1、了解什么是方程、一元一次方程；

2、分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程。

难点：

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程。

【探索1】

1、问题章前图中的汽车匀速行驶途径王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示（王家庄10：

00，青山13：

00，秀水15：

00），翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米。

王家庄到翠湖的路程有多远？

你会用算术方法解决这个实际问题吗？

试试看

你能列出方程吗？

分析：

设王家庄到翠湖的路程为x千米，根据提意画出示意图：

X千米

50千米70千米

王家庄青山翠湖秀水

示意图有助于分析问题。

由图中可以用含x的式子表示关于路程的数量。

王家庄距青山______千米，王家庄距秀水______千米。

从章前图的时间表中可以得出时间的数量：

从王家庄到青山行车3小时，王家庄到秀水行车5小时。

根据此列出方程。

解：

设王家庄到翠湖的路程为x千米，根据提意，可列方程

=

①

那在方程中，

表示什么意义？

呢？

（

的意义是从王家庄到青山这段路程的车速，

的意义是从王家庄到秀水这段路程的车速。

）

以后我们再学习如何解方程中的x。

小学我们主要用算术方法解题，但有时用算术方法不容易列出来；而方程解决问题则方便得多，以后你们自己去慢慢体会。

我们在列方程是通常用x,y,z等字母表示未知数。

2、思考：

对于上面的问题，你能列出其他方程吗？

如果能，你依据的是哪个相等关系？

（

，依据的是从王家庄到翠湖的车速与从青山到秀水的车速相等。

）

【探索2】

引出方程的概念：

像

=

这个等式中含有未知数，这个含有未知数的等式叫做方程。

思考：

在前面学过整式、等式和方程，它们有什么区别和联系呢？

例如2

＋3x;3＋（-2）＝1;a＋b＝b＋a;2x－5＝65.

（2

＋3x是整式，它不含等号；而3＋（-2）＝1，a＋b＝b＋a，2x－5＝65.都是等式，因为它们都含有等号，而且等号两边是整式。

）

结论：

等式不一定是方程，而方程一定是等式。

方程中一定有未知数，而等式中不一定有未知数。

如3＋（-2）＝1，a＋b＝b＋a是等式，但不是方程，而2x－5＝65既是等式又是方程。

【小结】

列方程是本节课重点，掌握列方程解决实际问题方法步骤：

设未知数──用含未知数的式子表示问题中的数量关系。

找出相等关系──列出方程。

其中找相等关系是关键也是一个难点，这个相等关系要能够表示应用题全部含义的相等关系，也就是题目中给出的条件应予充分利用，不能把同一条件重复利用。

3.1.1一元一次方程

（2）

【教学目标】

1、通过观察，归纳一元一次方程的概念。

2、根据方程解的概念，会估算出简单的一元一次方程的解。

3、通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。

【探索1】

列方程时，要先设字母表示未知数，通常用x、y、z等字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式即方程。

例题：

P80例1根据下列问题，设未知数列出方程：

（1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？

（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？

（3）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？

分析：

（1）如果设正方形的边长为xcm，设未知数后找等量关系就可以列出方程，那么等量关系是什么？

方程如何列呢？

（2）要列出方程，就需要抓住题目中的等量关系。

而这个题目中的等量关系：

1700+将使用时间=2450，设x月后这台计算机的使用时间达到2450小时，那么在x月里这台计算机使用了150x小时。

将它们代入等量关系即可得到方程1700+150x=2450。

（3）设这个学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为（1－0.52）x。

根据等量关系：

男生人数+女生人数=总人数，可列出方程0.52x－（1－0.52）x＝80。

观察所列的几个方程，有什么共同点？

结论：

只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。

例如方程2x-3=3x+1，

-3=2y等都是一元一次方程，而x+y=5，x2+3x=2都不是一元一次方程。

归纳：

上面的分析过程可以表示如下：

设未知数列方程

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

列方程是解决问题的重要方法，利用方程可以解出未知数。

把x=6这个结果代人方程4x=24中，看一看会有什么结果？

（x=6时方程左右两边相等。

）

同样x=5时方程1700+150x=2450两边也相等。

像这样使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。

思考：

x=1000和x=2000中那一个是方程0.52x－（1－0.52）x＝80的解？

3.1.2等式的性质

【教学目标】

1、通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。

2、培养学生观察、分析、归纳、概括的思维能力，同时培养学生积极探究，勇于创新的学习态度。

渗透数学来源于实践的观点。

【教学重难点】

重点：

等式的两条性质

难点：

用等式的性质解简单方程

【探索1】

1、观察课本图3．1-2，由它你能发现什么规律？

从左往右看，发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量，天平还保持平衡。

从右往左看，是在平衡的天平的两边都减去同样的量，结果天平还是保持平衡。

等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质。

问题1：

在平衡的天平的左、右两边都加（或减）同样的量，天平的左、右两边始终保持平衡。

我们可以用a＝b表示一般的等式，怎样用式子表示呢？

________

等式的性质1：

等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

2、观察课本图3．1-3，由它你能发现什么规律？

可以发现，如果把平衡的天平两边的量都乘以（或除以）同一个量，天平还保持平衡。

类似可以得到等式性质2：

等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于0的数，结果仍相等。

问题2：

我们可以用a＝b表示一般的等式，怎样用式子表示呢？

1、

_____2.如果

，那么

____

等式的性质2：

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

例题：

P83例2利用等式的性质解下列方程。

（1）x＋7＝26

（2）－5x＝20（3）

分析：

所谓“解方程”，就是要求出方程的解“x＝？

”因此我们需要把方程转化为“x＝a（a为常数）”的形式。

问题1：

怎样才能把方程x＋7＝26转化为x＝a的形式？

问题2：

式子－5x表示什么？

我们把其中的－5叫做这个式子的系数，你能用等式的性质把方程－5x＝20转为x＝a的形式吗？

问题3：

用同样的方法给出方程的解

问题4：

请你归纳一下解一元一次方程的依据和结果的形式。

结论：

解一元一次方程的依据是等式的性质；结果的形式是x＝a（a为常数）

为了结果的准确性，一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等。

3.2解一元一次方程

（一）

（1）

【教学目标】

1、会利用合并同类项解一元一次方程。

2、通过对实例的分析，体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。

【重、难点与关键】

重点：

会列一元一次方程解决实际问题，并会合并同类项解一元一次方程。

难点：

会列一元一次方程解决实际问题。

【探索1】

公元825年左右，中亚细亚数学家阿尔、花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》．“对消”与“还原”是什么意思呢？

让我们先讨论下面内容，然后再回答这个问题。

（1）如何根据实际问题列一元一次方程？

（2）如何解一元一次方程？

问题1：

某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的两倍，今年购买数量又是去年的两倍，前年这个学校购买了多少台计算机？

分析：

年份

前年

去年

今年

总数

购买数量

x台

2x台

4x台

140

相等关系

前年购买数量+去年购买数量+今年购买数量＝140

思考：

1、在解方程时运用了我们以前学过的哪个知识？

2、在解方程中合并同类项起到了什么作用？

总结：

1、实际问题转化为方程问题。

2、“合并”是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近x=a的形式。

合并应注意：

①只有同类项才能合并。

②合并时系数的合并，字母及字母指数不变。

③如果系数相加后为0，则结果为0。

例题：

P89例1解方程

7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3（运用了合并同类项）

3.2解一元一次方程

（一）

（2）

【教学目标】

1、理解移项法，并知道移项法的依据，会用移项法则解方程。

2、经历运用方程解决实际问题的过程，发展抽象、概括、分析问题和解决问题的能力，认识用方程解决实际问题的关键是建立相等关系。

【重、难点与关键】

重点：

运用方程解决实际问题，会用移项法则解方程。

难点：

对立相等关系。

【探索1】

问题2：

把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本，如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？

设这个班有x名学生。

每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这批书共（3x+20）本。

每人分4本，需要4x本，减去缺的25本，这批书共（4x-25）本。

本题还可以画示意图，帮助我们分析：

这批书的总数有几种表示法？

它们之间有什么关系？

本题哪个相等关系可作为列方程的依据呢？

（这批书的总数是一个定值。

）从而列出方程。

（注意变化中的不变量，寻找隐含的相等关系，从本题列方程的过程，可以发现：

“表示同一个量的两个不同式子相等。

）

思考：

方程3x+20=4x-25的两边都有含x的项（3x和4x）和不含字母的常数项（20和-25），怎样才能使它向x=a（常数）的形式转化呢？

思考：

上面解方程中“移项”起了什么作用？

（通过移项，含未知数的项和常数项分别于方程的左右两边，使方程更接近于x=a的形式。

）

引出了移项的概念：

把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

移项应注意：

①所移动的是方程中的项。

②并且从方程的一边移到另一边，而不是在方程的一边交换两项的位置。

③移项时要变号，不变号不能移项。

在解方程时，要弄清什么时候要移项，移哪些项，目的是什么？

解方程时经常要“合并”和“移项”，前面提到的古老的代数书中的“对消”和“还原”，指的就是“合并”和“移项”。

如果把上面的问题2的条件不变，“这个班有多少学生”改为“这批书有多少本？

”你会解吗？

试试看。

例题：

P91例2解方程

3x+7=32-2x（运用了移项和合并同类项）

【练习】P91练习

补充练习：

1、小李去商店买练习本，如果多买一些就打8折，于是小李买了20本，结果便宜了1.6元，原来每本价格是多少元？

2、解方程。

（1）8=7-2y；

（2）

=

-

；

（3）5x-2=7x+8；（4）1-

x=3x+

；

（5）2x-

=-

+2；（6）-

x+6=4x+1；

（7）

-x=0.5x-3．

3、设m=3x-2，n=-2x+3，当x为何值时m=n？

3.2解一元一次方程

（一）（3）

【教学目标】

1、掌握用一元一次方程解决实际问题的方法步骤，并会验证解的合理性。

2、进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会运用方程解决实际问题的一般过程。

【重、难点与关键】

重点：

经历运用方程解决实际问题的过程，发展抽象、概括、分析问题的能力，进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，认识方程模型的重要性。

难点：

寻找“相等关系”列出一元一次方程。

【探索1】

方程的多种用法：

许多问题用列方程的方式来解答，便会变得简单许多。

生活中处处有方程。

例题：

P91例3

有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，-243，…，其中某三个相邻数的和事-1701，这三个数各是多少？

（分析：

从符号和绝对值两方面观察，这列数有什么规律？

要解决这个问题，首先观察这一列数，按什么规律排列的，若找到规律，就可以设这三个数中的一个为x，根据这个规律，可以用x表示其余两个数，再根据这三个数的和是-1701，列出方程。

）

可以从符号和绝对值两方面观察：

从符号看：

正、负插开，后一个数的符号与它前一个数的符号相反．

从绝对值看：

1×3=3，3×3=9，9×3=27，27×3=81，…

即后一个数的绝对值是前一个数绝对值的3倍。

综合符号、绝对值两方面，这列数的规律是：

前一个数乘以-3得后一个数。

从而列出方程。

【探索2】

例4：

根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题。

方式一

方式二

月租费

30元/月

0

本地通话费

0.30元/分

0.40元/分

（1）一个月内在本地通话200分和350分，按方式一需交费多少元？

按方式二呢？

（2）对于某个本地通话时间，会出现两种计费方式收费一样多吗？

思考：

你知道怎样选择计费方式更省钱吗？

分析：

（1）本地通话200分，按方式一需交费30+0.30×200=90（元），按方式二需交费0.40×200=80（元），本地通话350分，按方式一需交费30+0.30×350=135（元）；按方式二需交费0.4×350=140（元）．算出上面计算结果可看到月通话200分时，按方式二计费省钱，月通话300分时按方式一交费，省钱。

（2）设月累计通话t分，则按方式一要交费（30+0.3t）元，按方式二要交费0.4t元，如果两种计费方式的收费一样，则30+0.3t=0.4t。

归纳：

用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：

3.3解一元一次方程

（二）

（1）

【教学目标】

1、掌握用一元一次方程解决实际问题的方法，会用分配律，去括号解决关于含括号的一元一次方程。

2、经历应用方程解决实际问题的过程，发展分析问题，解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用．

【重、难点与关键】

重点：

列方程解决实际问题，会解含有括号的一元一次方程。

难点：

列方程解决实际问题。

【探索1】

我们已经学习了运用一元一次方程解决一些比较简单的实际问题．本节继续讨论如何列、解一元一次方程的问题．当问题中数量关系较复杂时，列出的方程的形式也会较复杂，解方程的步骤也相应更多些．

问题：

某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000度，全年用电15万度，这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？

你会用方程解这道题吗？

提出问题：

1．本问题的等量关系是什么？

2．如果设上半年每月平均用电x度，那么怎样表示下半年每月平均用电量、上半年共用电量和下半年共用电量。

3．根据等量关系，列出方程。

4．怎样解这个方程。

思路点拨：

本问题的等量关系是：

上半年用电量（度）＋下半年用电量（度）＝150000

设上半年每月平均用电x度，则下半年每月平均用电（x-2000）度，上半年共用电6x度，下半年共用电6（x-2000）度，列出方程

6x+6（x-2000）=150000

思考：

本题还有其他列方程的方法吗？

用其他方法列出的方程应怎样解？

点拨：

如果设去年下半年平均每月用电x度，那么怎样列方程呢？

这个方程的解是问题的答案吗？

设去年下半年平均每月用电x度，则上半年平均每月用电（x+2000）度，列方程，6（x+2000）+6x=150000。

方法一叫直接设元法，方程的解就是问题的答案；方法二是间接设元法，方程的解并不是问题答案，需要根据问题中的数量关系求出最后答案．

方程中有带括号的式子时，利用分配律去括号是常用的化简步骤．

例题：

P97例1解方程：

3x-7（x-1）=3-2（x+3）。

方程中有带括号的式子时，去括号是常用的步骤。

【练习】P97练习，P102习题3．3第5题。

补充练习：

1、解方程：

（1）10y-2（7y-2）=5（4y+3）-2y

（2）2（6-0.5y）=-3（2y-1）

（3）4-2（3x-1）=x+3

（4）3（5x-1）-2（3x+2）=6（x-1）+2

（5）30%x+70%（200-x）=200×54%

3.3解一元一次方程

（二）

（2）

【教学目标】

1、进一步掌握列一元一次方程解应用题的方法步骤。

2、通过分析行程问题中顺流速度、逆流速度、水流速度、静水中的速度的关系，以及零件配套问题中的等量关系，进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程模型的作用。

【重、难点与关键】

重点：

分析问题中的数量关系，找出能够表示问题全部含义的相等关系，列出一元一次方程，并会解方程。

难点：

找出能够表示问题全部含义的相等关系，列出方程。

【探索1】

提问：

1、行程问题中的基本数量关系是什么？

路程=速度×时间

可变形为：

速度=

．

2、相遇问题或追及问题中所走路程的关系？

相遇问题：

双方所走的路程之和＝全部路程＋原来两者间的距离。

（原来两者间的距离）

追及问题：

快速行进路程＝慢速行进路程＋原来两者间的距离。

或快速行进路程－慢速行进路程＝原路程（原来两者间的距离）。

例题：

P97例2：

一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。

分析：

（1）顺流行驶的速度、逆流行驶的速度、水流速度，船在静水中的速度之间的关系如何？

顺流行驶速度＝船在静水中的速度＋水流速度

逆流行驶速度＝船在静水中的速度－水流速度

（2）设船在静水中的平均速度为x千米/时，由此填空（课本第97页）．

（3）问题中的相等关系是什么？

（一般情况下，船返回是按原路线行驶的，因此可以认为这船的往返路程相等。

）

说明：

课本中，移项及合并，得0.5x=13.5是把含x的项移到方程右边，常数项移到左边后合并，得13.5=0.5x，再根据a=b就是b=a，即把方程两边同时对调，这不是移项。

例题：

P98例3：

某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？

分析：

已知条件：

（1）分配生产螺钉和生产螺母人数共22名。

（2）每人每天平均生产螺钉1200个，或螺母2000个。

（3）一个螺钉要配两个螺母．

（4）为使每天的产品刚好配套，应使生产的螺母数量与螺钉数量之间有什么样关系？

螺母的数量应是螺钉数量的两倍，这正是相等关系．

本题的关键是要使每天生产的螺钉、螺母配套，弄清螺钉与螺母之间的数量关系．

3.3解一元一次方程

（二）（3）

【教学目标】

1、使学生掌握去分母解方程的方法，总结解方程的步骤。

2、经历去分母解方程的过程，体会把“复杂”转化为“简单”，把“新”转化为“旧”的转化的思想方法。

【重、难点与关键】

重点：

掌握去分母解方程的方法。

难点：

求各分母的最小公倍数，以及去分母时，有时要添括号。

【探索1】

下面我们来讨论英国伦敦博物馆保存的一部极其珍贵的文物──纸莎草文书中的一个有关数学的问题．

问题：

一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，你知道这个数是多少？

用现在的数学符号表示，这道题就是方程：

x+

x+

x+x=33

当时的埃及人如果把问题写成这种形式，它一定是“最早”的方程．

上面这个方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化成整数，则可使解方程中的计算更方便些．

只要将方程两边同乘以42，就可化去方程中的分母．

42×

x+42×

x+42×

x+42x=42×33

即28+21x+6x+42x=1386

系数化为1，得x=

为更全面地讨论问题，再以方程

-2=

为例，看看解有分数系数的一元一次方程的步骤．

我们知道，等式两边乘同一个数，结果仍相等，由此能否去掉这个方程的所有分母呢？

要乘的这个数是多少比较合适呢？

这个数就是方程中各分母的最小公倍数10，方程两边同乘以10．

于是方程左边变为：

10×（

-2）=10×

-10×2=5（3x+1）-10×2

去了分母，方程右边变为什么？

你算一算。

例题：

P100例4解方程

注意：

（1）去分母所选的乘数应是所有分母的最小公倍数，不应遗漏；

（2）用分母的最小公倍数去乘方程的两边时，不要漏掉等号两边不含分母的项，如上面方程中的“2”．

（3）去掉分母以后，分数线也同时去掉，分子上的多项式用括号括起来．

回顾解以上方程的全过程，表示了一元一次方程解法的一般步骤，通过去分母──去括号──移项──合并──系数化为1等步骤，就可以使一元一次方程逐步向着x=a的形式转化．

这个过程主要依据等式的性质和运算律等．

解方程：

3.3解一元一次方程

（二）（4）

【教学目标】

1、进一步掌握利用一元一次方程解决实际问题，培养分析问题，解决问题的能力。

2、经历分析工程问题中的数量关系，运用方程解决实际问题的过程，进一步体会“建模”思想。

【重、难点与关键】

重点：

工程中的工作量、工作效率和工作时间的关系，以及找出相等关系．

难点：

把全部工作看作1．

【探索1】

提问：

1、工程问题有哪三个基本量？

这些基本量之间有怎样的关系？

工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝

。

2．一件工作，如果甲单独做2小时完成，那么甲独做1小时完成全部工作量的多少？

答：

，

也称为1小时的工作效率，即1小时完成全部工作的

，如果一件工作甲独做a小时完成，那么甲独做1小时完成全部工作量的

，

称为1小时的工作效率。

例题：

P101例5：

整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计算由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作？

分析：

这里可以把工作总量看作1，由一个人独做要40小时完成，那么每人做1小时的工作量是多少？

（

）一个人独做4小时做的工作量是多少？

（

）设先安排x人工作，那么x人工作4小时的工作量是多少？

（

）再增加2人和x人一起做8小时，完成工作量为多少？

[

]

本题的相等关系是什么？

这项工作分两段完成，两段完成的工作量之和为全部工作量1。

【练习】P103习题3.3第13题．（本题难度较大）

分析：

销售总金额=单价×销售量，这里可把原来单价、销售量看作1，单价降价10%，那现价为（1-10%）．

补充练习：

1、抗洪抢险中修补一段大堤，甲队单独施工12天完成，乙人单独施工8天完成；现在由甲队先工作两天，剩下的由两队合作完成，还需几天完成？

2、某