重庆市学年高一下学期期中考试数学文试题Word版含答案 2.docx
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重庆市学年高一下学期期中考试数学文试题Word版含答案2
重庆市南开2017-2018学年高一下学期期中考试
数学（文）试题
一、选择题（每小题5分，总计60分）
1、在等差数列｛an｝中，若a2＝3，a5＝9，则公差d＝（）
A、1B、2C、3D、4
2、若a﹤b﹤c，则下列结论中正确的是（）
A、
B、
C、
D、
3、已知非零向量
，则
∥
是
，
方向相同的是（）
A、充分不必要条件B、必要不充分条件
C、充要条件D、既不充分也不必要条件
4、在等差数列｛an｝中，a1+a11=8，数列｛bn｝是等比数列，且b7=a7，则b6·b8的值为（ ）
A、2 B、4 C、8 D、16
5、某人在地上画了一个角∠BDA＝60°，他从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点N，则N与D之间的距离为（ ）
A、14米 B、15米 C、16米 D、17米
6、已知数列｛an｝的前ｎ项和为Sn=2n2-3n（
），则a7-a2=（）
A、20 B、15 C、10 D、-5
7、在△ABC中，点D在边AB上，
，若
，
，则
＝（ ）
A、
B、
C、
D、
8、若向量
，
满足：
，
，
，则
＝（ ）
A、2 B、
C、1 D、
9、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若∠C=120°,C=
，则（ ）
A、
B、
C、
D、a与b的大小关系不能确定
10、在△ABC中,
，则△ABC的形状一定是（ ）
A、等边三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形
11、已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且an＝n
，则S2016＝（）
A、3024B、1007C、2015D、2016
12、设D、E为线段AB，AC上的点，满足AD＝BD，AE＝2CE，且
，记
为
与
的夹角，则下述判断正确的是（）
A、cos
的最小值为
B、cos
的最小值为
C、sin（
）的最小值为
D、sin（
）的最小值为
二、填空题（每小题5分，总分20分）
13、已知M（3，-2），N（-5，-1），且P是MN的中点，则P点的坐标为。
14、设Sn为等比数列｛an｝的前n项和，若8an-a5＝0，则
＝。
15、一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68km的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船航行的速度为km/h。
16、已知数列｛an｝的前n项和为Sn，S1＝2，Sn＝6，且Sn－Sn-2＝3n（n≥3），则数列｛an｝
的通项公式an＝。
三、解答题
17、（本小题10分）已知向量
（1，2），
＝（-3，4）。
（1）求
与
的夹角的正弦值；
（2）若
，求实数
的值。
18、（本小题12分）已知正实数x，y满足等式
。
（1）求xy的最小值；
（2）若3x+y≥m2-m恒成立，求实数m的取值范围。
19、（本小题12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知向量
，
，若
，
共线，且B为钝角。
（1）证明：
B－A＝
（2）若b＝
，a＝2，求△ABC面积。
20、（本小题12分）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5＝50，a1,a4,a13
成等比数列。
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）设（
）是首项为1，公比为3的等比数列，求数列｛bn｝的前n项和Tn。
21、（本小题12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足2bsin（C+
）＝a+c。
（1）求角B的大小；
（2）若点M为BC中点，且AM=AC，求sin∠BAC。
22、（本小题12分）已知数列｛an｝的前n项和为Sn，a1＝1，且2nSn+1-2（n+1）Sn＝n2+n
（
），数列｛bn｝满足bn+2－2bn+1＝0（
），b3＝5，其前9项和为63．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）令cn=
，数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有Tn-2n∈[a，b]，求b-a的最小值。
四、附加题（每小题5分，总共15分）
23、已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若S4≤4，S5≥15，则a4的最小值为。
24、在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A-C＝90º，
则cosB＝。
25、已知O为正三角形ABC内一点，且满足
，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为。
重庆市南开2017-2018学年高一下学期期中考试
数学（文）试题答案
1B2C3B4D5C6A7B8B9A10C11A12C
13、
14、515、
16、
17、
（1）
（2）
＝-1
18、
（1）xy≥3，所以最小值为3
（2）
＝6，所以
所以
19、
（1）证明：
共线，所以，
又由正弦定理得：
即
又因为B为钝角，所以，
所以B＝
即B－A＝
因为a＝2，b＝2
所以，
所以tanA＝
所以A＝
又B＝A+
＝
，所以，C＝
20、
21、
解：
（I）2bsin（C+
）=a+c⇒2b（
sinC+
cosC）=a+c
⇒
bsinC+bcosC=a+c
⇒
sinBsinC+sinBcosC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC
⇒
sinBsinC=cosBsinC+sinC，（sinC≠0）
⇒
sinB=cosB+1，
⇒3sin2B=cos2B+1+2cosB，
⇒2cos2B+cosB-1=0，
⇒cosB=
或-1（由于B∈（0，π），舍去），
⇒B=
（Ⅱ）设AB=c、BC=a，
在△ABC中，由余弦定理得：
AC2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，
在△ABM中同理可得：
AM2=（
）2+c2-2•
ccosB=
+c2-
ac，
因为AM=AC，所以：
a2+c2-ac=
+c2-
ac，
化简得3a=2c，代入AC2=a2+c2-2accosB，可得：
AC2=a2+（
）2-a•
=
a2，
解得：
AC=
a，
在△ABC中，由正弦定理得
，解得：
sin∠BAC=
．
22、
解：
（1）∵2nSn+1-2（n+1）Sn=n（n+1）（n∈N*），
∴
，∴数列{
}是等差数列，首项为1，公差为
，
∴
=1+
（n−1），
∴Sn=
．∴当n≥2时，Sn−1＝
，
an=Sn-Sn-1=
−
=n，当n=1时也成立．∴an=n．
∵数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0（n∈N*），
∴数列{bn}是等差数列，设公差为d，∵前9项和为63，
∴
=9b5=63，解得b5=7，又b3=5，
∴d=
=1，
∴bn=b3+（n-3）d=5+n-3=n+2，∴bn=n+2．
因此：
an=n，bn=n+2．
（2）cn=
=
=2+2（
），
∴数列{cn}的前n项和为
Tn=2n+2[（1−
）+（
−
）+（
−
）+…+（
−
）+（
−
）]
=2n+2（1+
−
−
）
=3+2n-2（
+
）．
∴Tn-2n=3−2（
+
）．
设An=3−2（
+
），
∵An+1-An=3−2（
+
）-3+2（
+
）=2（
−
）＞0，
∴数列{An}单调递增，
∴（An）min=A1=
．
而An＜3，
∴
≤An＜3．
∵对任意正整数n，都有Tn-2n∈[a，b]，
∴∴a≤
，b≥3，
∴b-a的最小值=3−
=
．
23、已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若S4≤4，S5≥15，则a4的最小值为。
解：
∵S4=2（a1+a4）≤4，
∴a1+a4=a3-2d+a3+d=2a3-d≤2，
∵S5=5a3≥15，∴a3≥3，
∵2a3-d≤2，
∴d-2a3≥-2，
又∵a3≥3，∴2a3≥6，
∴d≥4，∴a4=a3+d≥7，
∴a4的最小值是7．
24、
25、
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