构造函数导数单调性.docx
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构造函数导数单调性
构造函数（导数单调性）
一、选择题
1.已知函数f（x），g（x）在区间[a，b]上均有f′（x）
A．f（x）＋f（b）≥g（x）＋g（b）
B．f（x）－f（b）≥g（x）－g（b）
C．f（x）≥g（x）
D．f（a）－f（b）≥g（b）－g（a）
2.
（）
′（）（）
的导函数，且
′（）<
，f
（1）
1
，则不等式
（
）<
＋的解集
已知函数
fx
定义在R上，fx是fx
fx
＝
fx
为（）
A．{x|x<－1}
B．{x|x>1}
C．{x|x<－1或x>1}
D．{x|－1
3.f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）＋f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a
则必有（）
A．bf（b）≤af（a）
B．bf（a）≤af（b）
C．af（a）≤bf（b）
D．af（b）≤bf（a）
4.若定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）>f（x），则f（2015）与f（2013）e2的大小关系
为（）
A．f（2015）
B．f（2015）＝f（2013）e2
C．f（2015）>f（2013）e2
D．不能确定
5.已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f
（1）＝1，f′（x）>1，则f（x）>x的解集是（）
A．（0,1）
B．（－1,0）∪（0,1）
C．（1，＋∞）
D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
6.设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x>0时，xf′（x）－f（x）<0，则使得f（x）>0
成立的x的取值范围是（
）
A．（－∞，－1）∪（0,1）
B．（－1,0）∪（1，＋∞）
C．（－∞，－1）∪（－1,0）
D．（0,1）∪（1，＋∞）
7.已知函数f（x）（x∈R）满足f′（x）>f（x），则（
）
A．f
（2）2
B．f
（2）≤e（0）
f
C．f
（2）＝e2f（0）
D．f
（2）>e2f（0）
8.已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f
（1）
＝2，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）<1（x∈R），则
不等式f（x））
A．（1，＋∞）
B．（－∞，－1）
C．（－1,1）
D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
9.（）
的定义域为
（
－
1）
2
∈
′（）>2
（
）>2
x＋
4
的解集为
（）
函数fx
R，f
＝，对任意x
R，fx
，则fx
A．（－
1,1）
B．（－1，＋∞）
C．（－∞，－
1）
D．（－∞，＋∞）
10.
（
）
、g
（
）
分别是定义在
R上的奇函数和偶函数，当x
<0
′（）
（）
（）′（）>0
，且g
（
－
3）
设fx
x
时，fxg
x
＋fxgx
＝0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是（
）
A．（－
3,0）∪（3，＋∞）
B．（－3,0）∪（0,3）
C．（－∞，－
3）∪（3，＋∞）
D．（－∞，－3）∪（0,3）
11.
设函数F（x）＝
是定义在
R上的函数，其中f（x）的导函数
f′（x）满足f′（x）立，则（
）
A．f
（2）>e2f（0）
，f（2016）>e2016f（0）
B．f
（2）e2016f（0）
C．f
（2），f（2016）D．f
（2）>e2f（0）
，f（2016）12.
函数f（x）的定义域为R，f（－2）＝2
017，对任意x∈R，都有f′（x）<2x成立，则不等式
f（x）>x2＋2
013的解集为（
）
A．（－
2,2）
B．（－2，＋∞）
C．（－∞，－
2）
D．（－∞，＋
∞）
13.设f（x），g（x）是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′（x）g（x）－f（x）g′（x）<0，则当a
（）
A．f（x）g（x）>f（b）g（b）B．f（x）g（a）>f（a）g（x）C．f（x）g（b）>f（b）g（x）D．f（x）g（x）>f（a）g（a）
14.定义域为R的可导函数y＝f（x）的导函数f′（x）满足f（x）>f′（x），且f（0）＝2，则不等式f（x）<2ex的解
集为（）
A．（－∞，0）
B．（－∞，2）
C．（0，＋∞）
D．（2，＋∞）
15.已知函数
y＝f（x）是定义在实数集
R
上的奇函数，且当
x∈（－∞，0）时，xf′（x）′（）
（）
的导函数
）
，若
a＝
f
（）
，b＝f
（1）
，c＝
（log2
）f（log
2
），则
a，b，c的大小关系是
fx是
fx
（）
A．c>a>b
B．c>b>a
C．a>b>c
D．a>c>b
16.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（－1）＝－1，且当x>0时，有xf′（x）>f（x），则不等式f（x）>x的
解集是（）
A．（－1,0）
B．（1，＋∞）
C．（－1,0）∪（1，＋∞）
D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
17.
已知定义域为
（）
的导函数为
y＝f
′（）
≠0′（）
>0
，若a＝f
（1）
，b
R的奇函数y＝fx
x，当x
时，fx＋
2（
－
2）
，c＝
（ln）
（ln）
，则a，b，c的大小关系正确的是
（）
＝－f
f
A．a
B．b
C．a
D．c
18.已知定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）为其导函数，且f（x）
A．
f（）
B．
f（）>
f（）
C．
f（）>f（）
D．f
（1）<2f（）·sin1
19.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f
（1）＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式f（x）>0
的解集是（）
A．（－1,0）∪（1，＋∞）
B．（－1,0）∪（0,1）
C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
D．（－∞，－1）∪（0,1）
20.已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）
1，则不等式f（x）A．（－2，＋∞）
B．（0，＋∞）
C．（1，＋∞）
D．（4，＋∞）
21.函数f（x）的定义域为R，f（－2）＝2013，对任意x∈R，都有f′（x）<2x成立，则不等式f（x）>x2＋2
009的解集为（）
A．（－2,2）
B．（－2，＋∞）
C．（－∞，－2）
D．（－∞，＋∞）
22.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）
，则等于（）
A．a2
B．
C．9
D．
23.定义在（0，＋∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足>－x，则下列不等式成
立的是（）
A．3f
（2）<2f（3）
B．3f（3）>4f（4）
C．3f（4）<4f（3）
D．f
（2）<2f
（1）
24.已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x≠0时，f′（x）＋>0，若a＝f（），b＝－
2f（－2），c＝ln2f（ln2），则下列关于a，b，c的大小关系正确的是（）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>b>a
D．b>c>a
25.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：
①f（x）＝（a>0，且a≠1）；
②g（x）≠0；
③f（x）·g′（x）>f′（x）·g（x）．
若＋＝，则a等于（）
A．
B．
C．2
D．2或
26.已知f（x）是定义在R上的函数，且满足
f
（1）＝5，对任意实数
x都有f′（x）<3，则不等式f（x）<3x＋
2的解集为（
）
A．（－∞，0）
B．（0，＋∞）
C．（－∞，1）
D．（1，＋∞）
二、填空题
27.已知函数
f（x）是定义在
R上的奇函数，其中
f
（1）＝0，且当x>0时，有
>0，则不等式
f（x）>0的解集是________．
28.
已知函数
（
）
满足
（）
（
）
，且当
x
∈（
∞0）
（
）
′（）<0
，a＝
2
0.1·（20.1）
，b＝
（ln
f
x
fx
＝f
－x
－，
时，f
x
＋xfx
f
2）·f（ln2），c＝（log2）·f（log2
），则a，b，
c的大小关系是
________．
29.
（）
是定义在
（0
，＋
∞）
′（）（
）≥0
m，n，若m
≥
fx
上的非负可导函数，且满足
xfx－fx
，对任意正数
n，
则mf（n）与nf（m）的大小关系是mf（n）________nf（m）（请用≤，≥或＝）
30.函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝1，对任意x∈R，f′（x）>3，则f（x）>3x＋4的解集为________．
31.定义在R上的函数f（x）满足f
（1）＝1，且对任意x∈R都有f′（x）<，则不等式f（lgx）>的解集
为________．
32.
设函数f（x）是定义在（－
∞，0）上的可导函数，其导函数为
f′（x），且有3f（x）＋xf′（x）>0，则不等式
（x＋2015）3f（x＋2015）＋27
f（－3）>0的解集是________．
33.
已知可导函数f（x）（x∈R）的导函数f′（x）满足f′（x）>f（x），则不等式f（x）>f（0）ex的解集是________．
34.设f（x）是定义在（－π，0）∪（0，π）上的奇函数，其导函数为
f′（x），当0sinxf（x）>0，则不等式f（x）cosx<0的解集为________．
35.
已知函数y＝f（x），对于任意的x∈[0，）满足f′（x）cosx＋f（x）sinx>0，则下列不等式中成立的有
________．
①
f（）f（）；③f（0）<
f（）；④f（）<
f（）．
三、解答题
答案解析
1.【答案】B
【解析】据题意，由f′（x）
（
）≥（）
，即
（）
（
）≥（
）
（）
，移项整理得：
（）
（
b
）≥（）
－
由单调性知识知，必有Fx
Fb
fx
－gx
f
b
－gb
fx
－f
gx
g（b）．
2.【答案】B
【解析】f（x）<＋，
∴f（x）－<，
令g（x）＝f（x）－，g
（1）＝，
∴g（x）（1），∵g′（x）＝f′（x）－<0，
∴g（x）为减函数，∴x>1.
3.【答案】A
【解析】设g（x）＝xf（x），x∈（0，＋∞），
则g′（x）＝xf′（x）＋f（x）≤0，
∴g（x）在区间x∈（0，＋∞）单调递减或g（x）为常函数，∵a
4.【答案】C
【解析】令F（x）＝e－xf（x），
F′（x）＝e－xf′（x）－e－xf（x）＝e－x（f′（x）－f（x）），
∵f′（x）>f（x），∴F′（x）>0，∴F（x）在R上为增函数，
∴F（2015）>F（2013），
∴e－2015f（2015）>e－2013f（2013），
∴f（2015）>f（2013）e2.
5.【答案】C
【解析】设g（x）＝f（x）－x，
因为f
（1）＝1，f′（x）>1，
所以g
（1）＝f
（1）－1＝0，g′（x）＝f′（x）－1>0，
所以g（x）在R上是增函数，且g
（1）＝0.
所以f（x）>x的解集，即g（x）>0的解集（1，＋∞）．
6.【答案】A
【解析】记函数
（）
＝
′（）
，因为当x
>0
′（）（
）<0
，故当x
>0
时，
gx
，则gx＝
时，xfx－fx
′（）<0
，所以
（）
在
（0
∞）
（）（
∈
）
（
）
是偶函
gx
gx
，＋上单调递减；又因为函数
fx
x
R
是奇函数，故函数gx
（
）
（
－
∞0）
上单调递增，且
（
－
1）
＝g
（1）
＝
0.
当
0<
x
<1
（
x
）>0
（
）>0
；当x
<
数，所以gx
在
，
g
时，g
，则fx
－
1
（
）<0
（
）>0
，综上所述，使得
（
x
）>0
成立的x的取值范围是
（
∞
1）∪（0,1）
．
时，gx
，则fx
f
－，－
7.【答案】D
（
）
＝
′（）
>0
，
【解析】设F
x
，则Fx＝
∴F（x）在R上为增函数，故F
（2）>F（0），
∴>，
即f
（2）>e2f（0）．
8.【答案】A
【解析】不等式f（x）
由题意g′（x）＝f′（x）－1<0，g
（1）＝f
（1）－1＝1，
故原不等式?
g（x）（1），故x>1.
9.【答案】B
【解析】令g（x）＝f（x）－（2x＋4），
则g′（x）＝f′（x）－2>0，故g（x）在R上单调递增．
又g（－1）＝f（－1）－2＝0，故当x>－1时，g（x）>0，即f（x）>2x＋4.10.【答案】D
【解析】设F（x）＝f（x）g（x），
∵当x<0时，F′（x）＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）>0，
∴F（x）在x<0时为增函数．
∵F（－x）＝f（－x）g（－x）
＝－f（x）·g（x）＝－F（x），
故F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上亦为增函数．已知g（－3）＝0，必有F（－3）
＝－F（3）＝0.
构造如图的F（x）的图象，可知F（x）<0的解集为
x∈（－∞，－3）∪（0,3）．
11.【答案】C
【解析】∵函数F（x）＝的导数
F′（x）＝＝<0，
∴函数F（x）＝是定义在R上的减函数，
∴F
（2）（2）
同理可得f（2016）
12.【答案】C
【解析】令F（x）＝f（x）－x2－2013，
则F′（x）＝f′（x）－2x<0，∴F（x）在R上为减函数，
又F（－2）＝f（－2）－4－2013＝20
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