《第21章一元二次方程》单元测试4含答案解析.docx

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《第21章一元二次方程》单元测试4含答案解析

《第21章一元二次方程》单元测试（4）含答案解析

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）

1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）

A．（x+1）2=2（x+1）B．

C．ax2+bx+c=0D．x2+2x=x2﹣1

2．下列方程是一元二次方程的一样形式的是（　　）

A．（x﹣1）2=16B．3（x﹣2）2=27C．5x2﹣3x=0D．

x2+2x=8

3．已知x1、x2是方程x2﹣5x+10=0的两根，则x1+x2=，x1x2=（　　）

A．﹣5，﹣10B．﹣5，10C．5，﹣10D．5，10

4．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（　　）

A．x2﹣x+1=0B．x2﹣2x+3=0C．x2+x﹣1=0D．x2+4=0

5．方程（x+1）（x﹣3）=0的解是（　　）

A．x=1，x=3B．x=4，x=﹣2C．x=﹣1，x=3D．x=﹣4，x=2

6．用配方法解3x2﹣6x=6配方得（　　）

A．（x﹣1）2=3B．（x﹣2）2=3C．（x﹣3）2=3D．（x﹣4）2=3

7．方程2x2+6x+5=0的根的情形是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．无法判定

8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，按照题意，列出方程为（　　）

A．x（x+1）=1035B．x（x﹣1）=1035×2C．x（x﹣1）=1035D．2x（x+1）=1035

9．若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　）

A．2005B．2003C．﹣2005D．4010

10．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（　　）

A．﹣2B．﹣1C．0D．1

11．某市2004年底已有绿化面积300公顷，通过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（　　）

A．300（1+x）=363B．300（1+x）2=363C．300（1+2x）=363D．363（1﹣x）2=300

12．甲、乙两个同学分不解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，乙把常数项看错了，解得两根为+2和﹣2，则原方程是（　　）

A．x2+4x﹣15=0B．x2﹣4x﹣15=0C．x2+4x+15=0D．x2﹣4x﹣15=0

二、填空题（24分）

13．把一元二次方程3x（x﹣2）=4化为一样形式是　　．

14．方程x2﹣3x+1=0的一次项系数是　　．

15．关于x的方程x2+5x﹣m=0的一个根是2，则m=　　．

16．方程x2﹣16=0的解为　　．

17．请写出一个有一根为x=2的一元二次方程　　．

18．关于x的方程

是一元二次方程，那么m=　　．

19．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范畴是　　．

20．制造一种商品，原先每件成本为100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分数是　　．

三、解答题

21．解方程：

（1）（x﹣5）2=16（直截了当开平方法）；

（2）x2﹣4x+1=0（配方法）；

（3）x2+3x﹣4=0（公式法）；

（4）x2+5x﹣6=0（因式分解法）．

22．已知：

x1、x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值．

23．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0．

（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根．

（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．

24．如图，一块长和宽分不为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米，求截去正方形的边长．

25．今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．

（1）求降低的百分率；

（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？

（3）小红所在的乡约有16000农民，咨询该乡农民明年减少多少农业税？

26．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发觉，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

《第21章一元二次方程》

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）

1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）

A．（x+1）2=2（x+1）B．

C．ax2+bx+c=0D．x2+2x=x2﹣1

【考点】一元二次方程的定义．

【专题】运算题．

【分析】利用一元二次方程的定义判定即可．

【解答】解：

下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2=2（x+1），

故选A．

【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练把握一元二次方程的定义是解本题的关键．

2．下列方程是一元二次方程的一样形式的是（　　）

A．（x﹣1）2=16B．3（x﹣2）2=27C．5x2﹣3x=0D．

x2+2x=8

【考点】一元二次方程的一样形式．

【分析】按照一元二次方程是一样形式是ax2+bx+c=0（a≠0）可直截了当得到答案．

【解答】解：

一元二次方程是一样形式是ax2+bx+c=0（a≠0），只有C符合．

故选：

C．

【点评】此题要紧考查了一元二次方程的一样形式，关键是把握任何一个关于x的一元二次方程通过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一样形式．

3．已知x1、x2是方程x2﹣5x+10=0的两根，则x1+x2=，x1x2=（　　）

A．﹣5，﹣10B．﹣5，10C．5，﹣10D．5，10

【考点】根与系数的关系．

【分析】若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣

，x1x2=

，按照以上内容得出即可．

【解答】解：

∵x1、x2是方程x2﹣5x+10=0的两根，

∴x1+x2=5，x1x2=10，

故选D．

【点评】本题考查了根与系数的关系：

若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣

，x1x2=

．

4．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（　　）

A．x2﹣x+1=0B．x2﹣2x+3=0C．x2+x﹣1=0D．x2+4=0

【考点】根的判不式．

【分析】只要判定每个方程的根的判不式的值与零的关系就能够了．

【解答】解：

A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，没有实数根；

B、△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，没有实数根；

C、△=12﹣2×1×（﹣1）=3＞0，有实数根；

D、△=0﹣4×1×4=﹣16＜0，没有实数根．

故选C．

【点评】总结：

一元二次方程根的情形与判不式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

5．方程（x+1）（x﹣3）=0的解是（　　）

A．x=1，x=3B．x=4，x=﹣2C．x=﹣1，x=3D．x=﹣4，x=2

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】按照题意，转化成两个一元一次方程，再求解即可．

【解答】解：

按照题意得，x+1=0，x﹣3=0，

解得x1=﹣1，x2=3．

故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直截了当开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要按照方程的特点灵活选用合适的方法．

6．用配方法解3x2﹣6x=6配方得（　　）

A．（x﹣1）2=3B．（x﹣2）2=3C．（x﹣3）2=3D．（x﹣4）2=3

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】按照配方法的一样步骤，可得答案．

【解答】解：

系数化为1，得

x2﹣2x=2，

配方，得

（x﹣1）2=3，

故选：

A．

【点评】本题考查了配方法，配方是解题关键．

7．方程2x2+6x+5=0的根的情形是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．无法判定

【考点】根的判不式．

【分析】按照方程的系数结合根的判不式的符号得出方程解的情形是解题的关键．

【解答】解：

∵在方程2x2+6x+5=0中，

△=62﹣4×2×5=﹣4＜0，

∴方程2x2+6x+5=0没有实数根．

故选C．

【点评】本题考查了根的判不式，按照根的判不式＜0得出方程无解是解题的关键．

8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，按照题意，列出方程为（　　）

A．x（x+1）=1035B．x（x﹣1）=1035×2C．x（x﹣1）=1035D．2x（x+1）=1035

【考点】由实际咨询题抽象出一元二次方程．

【专题】其他咨询题．

【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．

【解答】解：

∵全班有x名同学，

∴每名同学要送出（x﹣1）张；

又∵是互送照片，

∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=1035．

故选C．

【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．运算全班共送多少张，第一确定一个人送出多少张是解题关键．

9．若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　）

A．2005B．2003C．﹣2005D．4010

【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．

【专题】整体思想．

【分析】按照一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=

，x1x2=

．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解．

【解答】解：

α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则有α+β=﹣2．

α是方程x2+2x﹣2005=0的根，得α2+2α﹣2005=0，即：

α2+2α=2005．

因此α2+3α+β=α2+2α+（α+β）=α2+2α﹣2=2005﹣2=2003．

故选B．

【点评】本题考查了根与系数的关系与方程根的定义，要求能将根与系数的关系、方程根的定义与代数式变形相结合解题．

10．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（　　）

A．﹣2B．﹣1C．0D．1

【考点】根的判不式．

【分析】按照一元二次方程的根的判不式，建立关于k的不等式，求出k的取值范畴．

【解答】解：

∵a=1，b=﹣（2k﹣1），c=k2，方程有两个不相等的实数根

∴△=b2﹣4ac=（2k﹣1）2﹣4k2=1﹣4k＞0

∴k＜

∴k的最大整数为0．

故选C．

【点评】总结：

一元二次方程根的情形与判不式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

11．某市2004年底已有绿化面积300公顷，通过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（　　）

A．300（1+x）=363B．300（1+x）2=363C．300（1+2x）=363D．363（1﹣x）2=300

【考点】由实际咨询题抽象出一元二次方程．

【专题】增长率咨询题．

【分析】明白2004年的绿化面积通过两年变化到2006，绿化面积成为363，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意可列出方程．

【解答】解：

设绿化面积平均每年的增长率为x，

300（1+x）2=363．

故选B．

【点评】本题考查的是个增长率咨询题，关键是明白增长前的面积通过两年变化增长后的面积可列出方程．

12．甲、乙两个同学分不解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，乙把常数项看错了，解得两根为+2和﹣2，则原方程是（　　）

A．x2+4x﹣15=0B．x2﹣4x﹣15=0C．x2+4x+15=0D．x2﹣4x﹣15=0

【考点】根与系数的关系．

【分析】按照根与系数的方程，由甲把一次项系数看错可得到常数项c，由乙把常数项看错可得到一次项系数b，因此可确定原一元二次方程．

【解答】解：

∵甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，

∴﹣3×5=c，即c=﹣15，

∵乙把常数项看错了，解得两根为2和2，

∴2+2=﹣b，即b=﹣4，

∴原方程为x2﹣4x﹣15=0．

故选B．

【点评】本题考查了根与系数的关系：

若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣

，x1x2=

．

二、填空题（24分）

13．把一元二次方程3x（x﹣2）=4化为一样形式是　3x2﹣6x﹣4=0　．

【考点】一元二次方程的一样形式．

【分析】一元二次方程的一样形式是：

ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0，去括号，移项把方程的右边变成0即可．

【解答】解：

把一元二次方程3x（x﹣2）=4去括号，移项合并同类项，转化为一样形式是3x2﹣6x﹣4=0．

【点评】本题需要同学们熟练把握一元二次方程一样形式的概念，在去括号时要注意符号的变化．

14．方程x2﹣3x+1=0的一次项系数是　﹣3　．

【考点】一元二次方程的一样形式．

【分析】由一元二次方程的一样形式找出一次项系数即可．

【解答】解：

方程x2﹣3x+1=0的一次项系数为﹣3．

故答案为：

﹣3

【点评】此题考查了一元二次方程的一样形式，一元二次方程的一样形式是：

ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）专门要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一样形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分不叫二次项系数，一次项系数，常数项．

15．关于x的方程x2+5x﹣m=0的一个根是2，则m=　14　．

【考点】一元二次方程的解．

【分析】一元二次方程的根确实是一元二次方程的解，确实是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用那个数代替未知数所得式子仍旧成立．

【解答】解：

把x=2代入方程：

x2+5x﹣m=0可得4+10﹣m=0，

解得m=14．

故应填：

14．

【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．

16．方程x2﹣16=0的解为　x=±4　．

【考点】解一元二次方程-直截了当开平方法．

【分析】移项，再直截了当开平方求解．

【解答】解：

方程x2﹣16=0，

移项，得x2=16，

开平方，得x=±4，

故答案为：

x=±4．

【点评】本题考查了直截了当开方法解一元二次方程．用直截了当开方法求一元二次方程的解的类型有：

x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：

要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

17．请写出一个有一根为x=2的一元二次方程　x2﹣2x=0　．

【考点】一元二次方程的解．

【专题】开放型．

【分析】由于x=2时，x（x﹣2）=0，则方程x（x﹣2）=0满足条件．

【解答】解：

当x=2时，x（x﹣2）=0，

因此方程x2﹣2x=0的一个解为2．

故答案为：

x2﹣2x=0．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做那个方程的根，因此，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

18．关于x的方程

是一元二次方程，那么m=　﹣2　．

【考点】一元二次方程的定义．

【分析】按照一元二次方程成立的条件列出方程组，求出m的值即可．

【解答】解：

由一元二次方程成立的条件可知

，解得m=﹣2．

【点评】此题比较简单，考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，同时未知数的最高次数为2的整式方程．

19．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范畴是　k＜﹣1　．

【考点】根的判不式．

【专题】判不式法．

【分析】若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0没有实数根，则△=b2﹣4ac＜0，列出关于k的不等式，求得k的取值范畴即可．

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0没有实数根，

∴△=b2﹣4ac＜0，

即22﹣4×1×（﹣k）＜0，

解那个不等式得：

k＜﹣1．

故答案为：

k＜﹣1．

【点评】总结：

一元二次方程根的情形与判不式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

20．制造一种商品，原先每件成本为100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分数是　10%　．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】增长率咨询题．

【分析】等量关系为：

原先成本价×（1﹣平均每次降低成本的百分数）2=现在的成本，把有关数值代入即可求解．

【解答】解：

设平均每次降低成本的百分数是x．

第一次降价后的价格为：

100×（1﹣x），第二次降价后的价格是：

100×（1﹣x）×（1﹣x），

∴100×（1﹣x）2=81，

解得x=0.1或x=1.9，

∵0＜x＜1，

∴x=0.1=10%，

答：

平均每次降低成本的百分数是10%．

【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则通过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

三、解答题

21．解方程：

（1）（x﹣5）2=16（直截了当开平方法）；

（2）x2﹣4x+1=0（配方法）；

（3）x2+3x﹣4=0（公式法）；

（4）x2+5x﹣6=0（因式分解法）．

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直截了当开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．

【分析】按照各小题的要求能够解答各方程．

【解答】解：

（1）（x﹣5）2=16（直截了当开平方法）

x﹣5=±4

x=5±4

∴x1=1，x2=9；

（2）x2﹣4x+1=0（配方法）

x2﹣4x=﹣1

（x﹣2）2=3

∴x﹣2=±

，

∴

；

（3）x2+3x﹣4=0（公式法）

a=1，b=3，c=﹣4，

△=32﹣4×1×（﹣4）=25＞0，

∴x=

=

，

∴x1=﹣4，x2=1；

（4）x2+5x﹣6=0（因式分解法）

（x+6）（x﹣1）=0

∴x+6=0或x﹣1=0，

解得，x1=﹣6，x2=1．

【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是会用直截了当开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程．

22．已知：

x1、x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值．

【考点】根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判不式．

【分析】欲求a的值，代数式（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4，按照一元二次方程根与系数的关系，能够求得两根之积或两根之和，代入即可得到关于a的方程，即可求a的值．

【解答】解：

∵x1、x2是方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根，

∴x1+x2=1﹣2a，x1•x2=a2，

∵（x1+2）（x2+2）=11，

∴x1x2+2（x1+x2）+4=11，

∴a2+2（1﹣2a）﹣7=0，

即a2﹣4a﹣5=0，

解得a=﹣1，或a=5．

又∵△=（2a﹣1）2﹣4a2=1﹣4a≥0，

∴a≤

．

∴a=5不合题意，舍去．

∴a=﹣1．

【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

23．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0．

（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根．

（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．

【考点】根的判不式．

【分析】

（1）按照题意可得△＞0，进而可得[﹣2（m+1）]2﹣4m2＞0解不等式即可；

（2）按照

（1）中所运算的m的取值范畴，确定出m的值，再把m的值代入方程，解方程即可．

【解答】解：

（1）关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个不相等的实数根，

∴△＞0，

即：

[﹣2（m+1）]2﹣4m2＞0

解得m＞﹣

；

（2）∵m＞﹣

，

∴取m=0，

方程为x2﹣2x=0，

解得x1=0，x2=2．

【点评】此题要紧考查了根的判不式，以及解一元二次方程，关键是把握一元二次方程根的情形与判不式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

24．如图，一块长和宽分不为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米，求截去正方形的边长．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何图形咨询题．

【分析】可设截去正方形的边长为x厘米，关于该长方形铁皮，四个角各截去一个边长为x厘米的小正方形，长方体底面的长和宽分不是：

（60﹣2x）厘米和（40﹣2x）厘米，底面积为：

（60﹣2x）（40﹣2x），现在要求长方体的底面积为：

800平方厘米，令二者相等求出x的值即可．

【解答】解：

设截去正方形的边长为x厘米，由题意得，长方体底面的长和宽分不是：

（60﹣2x）厘米和（40﹣2x）厘米，

因此长方体的底面积为：

（60﹣2x）（40﹣2x）=800，

即：

x2﹣50x+400=0，

解得x1=10，x2=40（不合题意舍去）．

答：

截去正方形的边长为10厘米．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于明白得题意，找出等量关系：

底面积为800平方厘米，列出方程求解即可．

25．今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．

（1）求降低的百分率；

（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？

（3）小红所在的乡约有16000农民，咨询该乡农民明年减少多少农业税？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】增长率咨询题；压轴题．

【分析】

（1）设降低的百分率为x，则降低一次后的数额是25（1﹣x），再在那个数的基础上降低x，则变成25（1﹣x）（1﹣x）即25（1﹣x）2，据此即可列方程求解；

（2）每人减少的税额是25x，则4个人的确实是4×25x，代入

（1）中求得的x的值，