汇总24个基本积分公式适用.docx
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汇总24个基本积分公式适用
24个基本积分公式适用
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《高等数学》
学
习
指
导
教师路金仙
《高等数学》学习指导
《高等数学》是建立在函数基础知识之上,用微积分的方法研究函数的一门学科,要求具备必备的函数知识,包括分段函数、复合函数、反函数、隐函数,还有数列、参数方程、极坐标等知识.本课程的特点是数学符号多,大量使用符号语言,还有图形多,公式多,这些也是学习高等数学的难点.
第一章函数和极限
本章的重点：
数列极限、函数极限的概念，极限的运算法则，两个重要极限，函数的连续与间断，
本章的难点：
函数极限与无穷小的关系，复合函数的极限，无穷小的比较.
1.1~1.2
本章的一、二节的内容是学习高等数学的基础知识，本章的极限思想是一种非常重要的数学思想方法.
1.3数列的极限
一.数列的概念（见P10）.
二.数列极限的描述性定义:
如果当n无限增大时,数列的项无限接近于a,那么就称常数a是数列xn的极限,或称数列收敛于a（
xn=a）.
了解数列收敛的必要条件.
1.4 函数的极限.
研究x→x0及x→∞时函数的变化趋势,了解函数极限的描述性定义,帮助理解极限的概念.
当x无限趋近于x0时,对应的函数f（x）无限趋近于某一确定的数值a,则称a是函数f（x）在x→x0时的极限（
f（x）=a）.
当x的绝对值无限增大时,对应的函数f（x）无限趋近于某一确定的数值a,则称a是函数f（x）在x→∞时的极限（
f（x）=a）.
1.5无穷小与无穷大
了解无穷小、无穷大的概念,无穷小与函数极限的关系,无穷小与无穷大之间的关系.
1.6极限的运算法则
一.无穷小的性质（见P23）.
二.极限的运算法则
可总结为：
若两个函数的极限存在,则它们的和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商（分母的极限不能为零）（见P23--P24）.
四.复合函数的极限
可利用初等函数的连续性求复合函数的极限.
1.7极限存在准则和两个重要极限
了解极限存在准则,掌握两个重要极限：
=e,
=1.
1.8无穷小的比较
无穷小的比较,实质上是比较无穷小量趋近于零的速度的“快慢”程度.高阶无穷小量趋近于零的速度较“快”,同阶无穷小量趋近于零的速度基本相同.高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小都只是一个无穷小相对于另一个无穷小而言，
等价无穷小的性质可用于求某些极限。
1.9~1.11
了解函数的连续与间断,了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质.
本章作业：
P95，9；P191
（1）、
（2）、（3）；P271
（1）~（12）；
P311
（1）~（3），2
（1）~（4）
第二章导数与微分
本章重点：
导数的概念，导数基本公式，求导法则，函数微分的概念与法则，
本章难点：
复合函数求导法则，高阶导数，反函数的导数，隐函数的导数
2.1导数的概念
一.导数的概念
导数的概念来自于实际问题,从实例中抽象出来的.函数在x=x0处的导数值f'（x0）等于函数的增量与自变量增量的比值的极限.f'（x0）与导函数
f'（x）是有密切关系的两个概念,f'（x）是变量x的函数，f'（x0）可看作f'（x）当x=x0时的值.
函数f（x）在x=x0时的导数值f'（x0）在几何上表示曲线y=f（x）在x=x0处的切线的斜率.曲线y=f（x）在点（x0,y0）处的切线方程为
y－y0=f'（x）（x－x0）
二.导数的基本公式
导数的基本公式可解决基本初等函数的求导问题。
（见P44）
三.可导性与连续性的关系
函数可导性与连续性的关系：
可导的函数必连续,但连续的函数不一定可导.
2.2求导法则
设u=u（x）,v=v（x）都是可导函数,k为常数,则
法则1[u（x）±v（x）]'=u'（x）±v'（x）
法则2[u/（x）·v（x）]'=u'（x）v（x）+u（x）v'（x）
特别地[ku（x）]'=ku'（x）
法则3[
]'=
（v（x）≠0）
特别地
=－
（v（x）≠0）
利用导数基本公式和求导法则,可求出初等函数的导数,实际求导时,有时需把几个法则结合起来使用.
2.3复合函数的求导法则
由函数y=f（u）及u=g（x）复合而成的复合函数y=f[g（x）]的求导法则：
y'x=y'u·u'x或f'（x）=f'（u）g'（x）
此法则将复合函数的导数化成比它更简单的函数的导数之积,关键是把需要求导的复合函数分解成几个比较简单的函数.以上法则可推广到由两个以上的函数复合而成的复合函数.例:
由y=f（u）,u=g（v）,v=h（x）复合而成的复合函数的导数
y'（x）=f'（u）·g'（v）·h'（x）.
反函数的求导法则仅需了解.
2.4隐函数的导数和由参数方程所确定的函数的导数
本节的求导法则仅需了解.
2.5高阶导数
了解二阶,三阶导数的概念、符号及其求法.
2.6函数的微分
一.微分的概念.
函数的微分是研究当自变量有改变量而引起函数值改变量的近似表示.
当函数f（x）可导时,函数f（x）可微分,且微分
dy=f'（x）dx.
求函数的微分,关键是求出函数的导数.
微分的公式和法则是由导数的公式和法则得来的.（见P64）
二.复合函数的微分
由函数y=f（u）及u=g（x）复合而成的复合函数y=f[g（x）]的微分为
dy=y'dx=f'（u）g'（x）dx
=f'（u）du
即函数对自变量的微分与函数对中间变量的微分总是相等的,微分的这一性质称为微分的形式不变性.
2.7微分的应用
近似计算公式:
当y=f（x）在x0的f'（x0）≠0,且│Δx│很小时
Δy≈dy=f'（x0）Δx
即f（x0+x）－f（x0）≈f'（x0）Δx.
或 f（x0+x）≈f（x0）+f'（x0）Δx
f（x）≈f（x0）+f'（x0）（x－x0）
本章作业：
P471，3；P521
（1）~（10）；P551
（1）~（6）；
P591
（1）、
（2），2
（1）、（3）；P611，2；P661
第三章中值定理与导数的应用
本章重点：
函数单调性的判定，函数极值的求法，曲线的凹凸性和拐点.
本章难点：
罗必塔法则，泰勒中值定理，马克劳林公式.
3.1中值定理
作一般性了解,了解三个中值定理,它们是导数应用的基础.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况,拉格朗日中值定理又是柯西中值定理的特殊情况.
3.2罗必塔法则
法则给出了
型的未定式的极限的求法,注意法则使用的条件.
3.3泰勒中值定理（本节只作一般性了解）
3.4函数和曲线性质的研究
一.函数单调性的判定法
对于可导函数,根据导数符号确定函数的单调性（见P82）.
步骤:
1.求出函数的定义域;
2.求f'（x）,并找出导数不存在的点（如果有）;
3.令f'（x）=0,求出f（x）的驻点;
4.用驻点及导数不存在的点划分定义域成若干区间,判断在每个区间上导数的符号,可知函数在每个区间上的单调性.
二.函数极值的求法
理解函数极值和极值点的概念,掌握判定极值的条件和求极值的步骤（见P86）.
三.曲线的凹凸性和拐点
掌握曲线的凹凸性和拐点的判别法和步骤（见P89）.
本章作业：
P781
（1）~（6）；P822；P901
（2）（4），2
（1），3
（1）；P961，2；
第四章不定积分
本章重点：
原函数的概念，不定积分的概念与性质，换元积分法.
本章难点：
分部积分法
本章讨论积分学的基本问题，即求一个可导函数（原函数），使它的导数等于已知函数.重点是掌握求积分的方法。
4.1不定积分的概念与性质
一.原函数的概念与性质
设函数F（x）可导,若F'（x）=f（x）,则F（x）称为f（x）的原函数.
性质1若F（x）是f（x）的一个原函数,则对任何常数C,函数F（x）+C也是f（x）的原函数.
性质2函数f（x）的任何两个原函数只相差一个常数.
由性质1、2可知,若F（x）是f（x）的一个原函数,则f（x）的所有原函数可表示为F（x）+C（C为任意常数）.
二.不定积分的概念
定义函数f（x）的所有原函数称为f（x）的不定积分,记作∫f（x）dx.
实质上,若F'（x）=f（x）,则∫f（x）dx=F（x）+C.
三.基本积分表（见P99,P107）
四.不定积分的性质
不定积分的性质就是不定积分的运算法则,见P100.
五.不定积分与微分的关系（见P101）
4.2换元积分法
一.第一换元法:
设函数f（u）及g'（x）连续,则
∫f[g（x）]g'（x）dx=∫f[g（x）]dg（x）
∫f（u）du
=F（u）+C
=F[g（x）]+C
用第一换元积分法计算积分时,关键是把被积表达式分为两个部分,其中一部分凑成dg（x）,另一部分表示为g（x）的函数f[g（x）].因此,第一换元积分法也被称为凑微分法.
常见的凑微分形式见P105的方框.
二.第二换元积分法:
设函数f（x）连续,x=φ（t）具有连续的导数,且φ'（t）≠0,则∫f（x）dx=∫f[φ（t）]φ'（t）dt
=F（t）+C
=F[φ－1（x）]+C
4.3分部积分法
设u=u（x）,v=v（x）具有连续的导数,则
∫uv'dx=uv－∫v'udx
或∫udv=uv－∫vdu
应用分部积分法,关键是正确选取u和v',使∫v'udx比∫uv'dx容易求出;如果u和v'选取的不当,∫v'udx就很难求出来.
4.4不定积分的综合题
通过例题,了解有理真分式如何通过恒定变形化成可应用公式的积分.
本章作业：
P1011
（1）~（6）；P108
（1）~（10）；P111
（1）~（6）；P114
（1）~（3）
第五章定积分及其应用
本章重点：
定积分的概念、性质和基本公式，定积分的换元法，定积分的应用
本章难点：
定积分的应用
5.1定积分的概念
了解定积分的概念是从实际问题中抽象出来,函数f（x）的和式的极限
叫做函数f（x）的定积分，记作
dx，记住定积分符号中各部分的名称.
定积分的几何意义:
定积分
dx表示由曲线y=f（x），x轴与直线x=a,x=b所围成的曲边梯形的面积.
5.2定积分的性质和基本公式
一.了解定积分的性质,其中性质1,2,3,4可作为计算定积分的运算法则.
二.微积分基本公式
设函数f（x）在区间[a,b]上连续,F（x）是f（x）的任意一个原函数,则
dx=F（x）│
=F（b）－F（a）
这个公式称为牛顿——莱不尼兹公式,揭示了定积分与被积函数的原函数之间的联系,定积分的计算演变为求原函数,于是定积分与不定积分就联系起来了.第四章中的积分公式和法则都可用来求定积分.定积分与不定积分的区别在于,定积分的结果是一个数,而不定积分的结果是函数族.
5.3定积分的换元法
一.换元法（见P124的定理）
如果通过变换x=g（t），把原来的积分变量x变成新变量t时，在求出原函数后,可以不把它变换成原变量x的函数,只要相应改变积分的上下限即可.
如果用凑微分法求出原函数,则不需改变积分的上下限.
二.奇函数和偶函数的定积分
了解奇函数和偶函数的定积分性质（见P126）
5.4定积分的分部积分法
uv'dx=uv│
－
vu'dx
或
udv=uv│
－
vdu.
5.5广义积分
了解积分区间为无穷区间的广义积分.
5.6定积分的应用
根据定积分的几何意义,掌握用定积分求平面图形的面积.了解利用定积分求旋转体的体积和求曲线的弧长公式.
本章作业：
P1236；P1261
（1）~（8）；P128
（1）~（4）；P1371，3.
第六章多元函数的微分法
本章重点：
空间两点间的距离公式，二元函数的概念，偏导数与全微分.
本章难点：
二元函数的极限，偏导数与全微分的求法.
6.1空间直角坐标系
一.空间直角坐标系的概念
三条互相垂直,具有共同原点且有相同长度单位的数轴组成空间直角坐标系,三条轴分别称为x轴,y轴,z轴.在空间直角坐标系下,三个坐标面将空间分成八个卦限.空间中的任意点M的位置用有序数组（x,y,z）——坐标表示，空间中的点M和有序数组（x,y,z）之间是一一对应的关系.
空间两点间的距离公式
空间两点M1（x1,y1,z1），M2（x2,y2,z2）间的距离
│M1M2│=
特别地，点M（x，y，z）与坐标原点O（0，0，0）的距离为
│OM│=
6.2二元函数
了解二元函数的概念及其定义域,图象.以两个变量x,y为自变量的二元函数记为z=f（x,y）,其定义域一般是直角坐标平面上由一条曲线或几条曲线所围成的平面区域.二元函数的图象是空间中的曲面。
6.3二元函数的极限与连续
类似于一元函数的极限，二元函数的连续性类似于一元函数的连续性.本节作一般了解.
6.4偏导数与全微分
一.偏导数的求法:
求函数z=f（x,y）对x的偏导数,实际上,就是把y看作常量而按照一元函数求导的方法求z对x的导数;同样求函数z=f（x,y）对y的偏导数,就是把x看作常量而按照一元函数求导的方法求z对y的导数,一元函数的导数公式和法则仍然适用.
了解高阶偏导数的概念.
二.全微分
二元函数z=f（x,y）的全微分
dz=df（x,y）=f'x（x,y）dx+f'y（x,y）dy
其中f'x（x,y）dx叫做函数z=f（x,y）对x的偏微分,记dxz=f'x（x,y）dx，
f'y（x,y）dy叫做函数z=f（x,y）对y的偏微分,记dyz=f'y（x,y）dy.
即dy=dxz+dyz.
本章作业：
P1402；P1422;P1432
（1）、
（2）;P1471,2,4,5;P1501,2,3
第七章二重积分
本章重点：
二重积分的概念及性质，二重积分的计算.
本章难点：
二重积分的计算，利用极坐标计算二重积分.
7.1二重积分的概念及性质.
一.二重积分的概念
了解二重积分的概念来自于实际问题,课本的两实例的数学表达式在形式上是相同的,都是二元函数的和式的极限.类似定积分的概念,如果和式的极限存在,则此极限称为二元函数的二重积分.
在闭区域D上连续的函数,在D上的二重积分必存在.
二.二重积分的性质
了解二重积分的性质,在计算二重积分时可能要用到.
7.2二重积分的计算
本节为本章的重点和难点.二重积分的计算方法是设法化成二次积分.实际计算时,应根据积分区域与被积函数的具体情况,选择其中一种较易计算的积分顺序.如图7－6,7－9的积分区域采用先对变量y后对变量x的二次积分方法;如图7－8,7－10的积分区域采用先对变量x后对变量y的二次积分方法.
7.3利用极坐标计算二重积分
极坐标系下的二重积分，同样是化为二次积分，根据积分的区域确定积分的顺序及积分的上下限.（见P163）
本章作业：
P1621,2；P1651
第八章微分方程
本章重点：
微分方程的概念，可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程.
本章难点：
可化为一阶微分方程的方程.
本章要求了解微分方程的一些基本概念和几种简单的微分方程的解法。
8.1微分方程的概念
一.微分方程的概念
凡表示未知函数,未知函数的导数及自变量之间关系的方程,称为微分方程.微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.
一阶微分方程的形式为
y'=f（x,y）或F（x,y,y'）=0.
二阶微分方程的形式为
y''=f（x,y）或F（x,y,y',y''）=0.
二.微分方程的解
满足微分方程的函数,称为微分方程的解.
如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解.
用来确定任意常数的条件称为初始条件.
一阶微分方程的初始条件:
x=x0时y=y0或y│x=x0=y0.
二阶微分方程的初始条件:
x=x0时y=y0,y'=y'0
或y│x=x0=y0,y'=y'│x=x0.
微分方程的不含任意常数的解,称为微分方程的特解.根据初始条件，可确定微分方程的特解.
8.2可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程的标准形式为
g（y）dy=f（x）dx.
把一个可分离变量的微分方程化成以上形式的过程,称为分离变量.
解法:
（1）把微分方程化成以上标准形式
（2）对微分方程的两端分别积分,有
∫g（y）dy=∫f（x）dx
得G（y）=F（x）+C
称为微分方程的隐式解.其中G（y）,F（x）分别是g（y）,f（x）的原函数.
8.3一阶线性微分方程
一.形式
一阶线性微分方程的形式是
+P（x）y=Q（x）
（1）
当Q（x）=0时,
（1）是齐次一阶线性微分方程;当Q（x）≠0时,
（1）是非齐次一阶线性微分方程;
二.齐次一阶线性微分方程的通解
齐次一阶线性微分方程可分离变量,化为
dy=－P（x）dx
两边同时积分,得lny=－∫P（x）dx+lnC
即y=Ce－∫P（x）dx
三.非齐次一阶线性微分方程的通解（见P173）
8.4可化为一阶微分方程的方程
了解以下两类二阶微分方程可化为一阶微分方程求解.
y''=f（x）型
通过连续积分两次得通解
（第一次积分）∫y'dx=∫f（x）dx＋C1
（第二次积分）y＝∫［∫f（x）dx+C1]dx+C2
y''=f（x,y'）型
通过变换y'=p（x）,把原方程降为p与x的一阶线性微分方程=
=f（x,p）,
若它的解为p=g（x,C1）
则原方程的通解是y=∫g（x,p）dx+C2
8.5本节不作要求
学习进度
根据教材内容和时间，本门课程学习进度为每月学习两章，平均每两周学习一章，全书内容在四个月学完。
章节
学习时数
备注
第一章
30
本章是高等数学的基础知识，且内容较多
第二章
20
第三章
15
第四章
15
第五章
15
第六章
15
第七章
15
第八章
15
合计
140
复习题一
一、填空题（每空3分，共15分）：
1、
=.
2、
＝.
3、设f（x）＝x3－3x2+7x－10,则f/（0）=.
4、
=.
5、设f/（x）=2x，则f（x）＝.
二、单项选择题，请将正确答案的字母代号填在括号内:
（每题3分，共15分）
1、设f（x）＝
则
=（）
A.0B.－1C.1D.不存在
2、若
，则y=（）。
A.3x－x2B.3x－x2+CC.3－x2D.x2－3x
3、=（）
A.eB.2eC.e2D.
4、设，则＝（）
A.3cos3xB.cos3xC.3sin3xD.－cos3x
5、设z＝，则＝（
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