大学物理学习题全解.docx

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大学物理学习题全解

　　　　　　　　　　第十章气体分子运动论　　　　10．1已知温度为27℃的气体作用于器壁上的压强为105Pa，求此气体内单位体积里的分子数．[解答]根据气体压强公式p=nkT，其中k=×10-23J·K-1称为玻尔兹曼常数．当T=300K时，气体单位体积内的分子数为n=p/kT=×1025（m-3）．　　10．2一个温度为17℃、容积×10-3m3的真空系统已抽到其真空度为×10-3Pa．为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使吸附于器壁的气体分子也释放出来．烘烤后容器内压强为，问器壁原来吸附了多少个分子？

　　[解答]烘烤前容器内单位体积内的分子为n1=p1/kT1=×1017（m-3），烘烤后容器内单位体积内的分子为n2=p2/kT2=×1020（m-3）．　　器壁原来吸附的分子数为N=（n2–n1）V=×1018．　　10．3在0℃下一容器的真空度为×10-12Pa，此时每立方厘米内有多少个气体分子？

[解答]单位体积内的分子为n=p/kT=×108（m-3）=×102（cm-3）．　　10．4已知275K和×103Pa条件下气体的密度ρ=×10-5g·cm-3，求：

　　气体的方均根速率v；　　气体的摩尔质量μ，并指出是什么气体．[解答]气体的密度为ρ=×10-2（kg·m-3），根据气体压强和能量的公式p?

212?

v，得气体的方均根速度为3v2?

3p/?

=（m·s-1）．　　根据理想气体状态方程pV?

RT，　　于气体密度为ρ=M/V，所以方程可变为p?

RT，?

气体的摩尔质量为μ=ρRT/p=（kg）．这种气体是氮气N2．　　　　10．5当温度为0℃时，求：

　　N2分子的平均平动动能和平均转动动能；7gN2气体的内能．、　　[解答]N2分子有t=3个平动自度，其平均平动动能为　　wt?

tkT=×10-21（J）．2rkT=×10-21（J）．2将N2分子当作刚体，它就还有r=2个转动自度，其平均转动动能为　　wr?

N2分子的摩尔质量为μ=，质量M=的N2分子的摩尔数为　　n0=M/μ=，　　分子总数为N=n0NA，其中NA=×1023为阿佛伽德罗常数，而气体普适常量R=kNA=（J·K-1·mol-1）．　　N2分子的自度为i=t+r=5，气体的内能为E?

　　iiiNkT?

n0NAkT?

n0RT=×103（J）．22210．6一个能量为×10-7J的宇宙射线粒子射入氖管中，氖管中含有氖气，如射线粒子能量全部转变成氖气的内能，氖气温度升高多少？

　　[解答]氖气是堕性气体，分子式是Ne，只能平动动能，自度为i=t=3．　　当射线粒子能量全部转变成氖气的内能时，公式E?

in0RT可得气体升高的温度为2T?

2E=×10-6（K）．in0R　　10．7某些恒星的温度达到108K的数量级，此时原子已不存在，只有质子存在，求：

质子的平均动能是多少？

质子的方均根速率多大？

　　[解答]质子的平动自度为t=3，平均平动动能为wt?

质子的质量为mp=×1027（kg），于wt?

tkT=×10-15（J）．2tkTt1kT?

mpv2，所以质子的方均根速率为v2?

=×106（m·s-1）．22mp　　10．8一容器被中间隔板分成体积相等的两半，一半装有氦气，温度为250K；另一半装有氧气，温度为310K．两种气体的压强均为p0．求抽去隔板后的混合气体温度和压强为多少？

　　[解答]设氦气和氧气分子各有N1和N2个，氦气是单原子分子，自度为i1=3；氧气是双原子分子，自度为i2=5．　　i1iN1kT1，E2?

2N2kT2．22ii隔板抽去后，氦气和氧气分子的总能量为E?

1N1kT?

2N2kT．　　22隔板抽去前，氦气和氧气分子的总能量为E1?

这个过程能量守恒，即，E=E1+E2，所以有i1N1T1+i2N2T2=（i1N1+i2N2）T．　　于压强p0?

n1kT1?

同理可得N2?

2N1pVkT1，所以N1?

0；V2kT1p0V．2kT2将N1和N2的公式代入上面公式可得　　i1p0Vi2p0VipVipV?

（10?

20）T，2k2k2kT12kT2约去公因子，可得混合气体的温度为　　T?

（i1?

i2）TT12=（K）．　　i1T2?

i2T1（N1?

N2）（i?

i）（T?

T）kT?

1（p0V?

p0V）kT?

1212p0=p0．V2（i1T2?

i2T1）V2kT12kT2混合气体的压强为　　p?

nkT?

　　210．9试证明：

N个分子，不论分子速度的分布服从什么规律，总有v?

v．　　[证明]设第i个分子的速率为vi，则分子的平均速率为v?

速率平方的平均值为v?

21?

vi，Ni1vi2．?

Ni显然，?

1（vi?

v）2?

0，因此?

Ni1111?

（vi2?

2viv?

v2）?

vi2?

2v?

vi?

v2?

2v?

v2?

v2，　　NiNiNiNi2于δ≧0，所以v2?

v2，因此不论分子的速度的分布服从什么规律，都有v?

v．　　另外也可直接用平均值运算．　　于（vi?

v）2?

0，展开得vi2?

2viv?

v2?

0，　　取平均值时得vi2?

2viv?

v2?

0．　　2因为vi?

v、v?

v并且v2?

v2，所以vi2?

v2?

0，即v?

v．证毕．　　　　10．10将式表示成以理想气体最可几速率vp为单位表示的形式，即令x=v/vp，若已知　　?

10e?

xdx?

，试计算：

　　2分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的百分比为多少？

分子速率大于最可几速率的分子占分子总数的百分比为多少？

　　参照表，写出同一温度下氢气分子对应同一分子数百分比的速率区间．[解答]理想气体分子数占分子总数的比率为dN/N=f（v）dv，其中f（v）是麦克斯韦速率分布函数：

　　m3/2mv22f（v）?

（）exp（?

）v．　　2k?

T2kT2kT设x=v/vp，其中vp?

，则dv=vpdx，　　m42?

x2xe．因此速率分为dN/N=g（x）dx，其中g（x）?

分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的百分比为　　N14?

g（x）dx?

N0?

111?

xe02?

x21dx，设I?

x2e?

xdx，则　　021111221?

x22?

x2I?

xedx?

xde?

（xe?

xdx）　　20202001?

1即　　I?

（?

e），　　2N42I?

（?

1）==%．所以1?

1分子速率大于最可几速率的分子占分子总数的百分比为　　N2N?

1==%．NN对于氧气分子，速率在v1~v2之间的分子数占分子总数的比率为　　?

NNvv2?

v1?

m3/2mv22）exp（?

）vdv，f（v）dv?

（2k?

T2kTv1v2其中m表示氧分子的质量．用m`表示氢分子的质量，则m=16m`，对于氢分子的同一比率则有　　?

N216m`3/216m`v22?

（）exp（?

）vdv，取v`=4v，可得Nv2k?

T2kT12?

Nm`3/2m`v`22?

（）exp（?

）v`dv`，N4?

2k?

T2kTv14v可见：

氧气分子速率从v1到v2之间的分子数的比率与氢气分子速率从4v1到4v2之间的分子数的比率相同．　　2　　从这个思路可以证明：

当一种气体的分子的质量是另一种气体的质量的α倍时，这种气体分子速率从v1到v2之间的分子数的比率与另一种气体分子速率从αv1到αv2之间的分子数的比率相同．　　10．11．11．10题结果，求速率在到之间的分子数占分子总数的百分比．　　?

x2?

N[解答]分子数比率为xe．?

g（x）dx，其中g（x）?

利用中值定理得　　?

N4?

（1）（?

）?

==%．N?

　　10．12求上升到什么高度时大气压强减到地面大气压强的75%．设空气温度为0℃，空气的平均摩尔质量为9kg·mol-1．　　[解答]根据玻尔兹曼分布可得压强随高度变化关系p?

p0exp（?

mgz）．kT其中m是一个分子的质量．　　用NA表示阿氏常数，则气体的摩尔质量为μ=NAm，气体的普适常数为R=．压强公式可表示为p?

p0exp（?

）．RTRTp0ln高度为z?

=2304（m）．?

gp　　10．13已知f（v）是麦克斯韦分子速率分布函数，说明以下各式物理意义．f（v）dv；　　nf（v）dv，n为分子数密度；　　?

gz?

v2v1vf（v）dv；　　?

vp0?

f（v）dv，vp为最可几速率；　　vpv2f（v）dv．　　[解答]公式dN/N=f（v）dv可知：

f（v）dv表示分子数在速率区间v~v+dv之中分子数的比率dN/N．于n=N/V，可得ndN/N=dN/V，因此nf（v）dv表示分子数在速率区间v~v+dv之中分子数密度．　　?

v2v1vf（v）dv表示分子在速率区间v1到v2之间的平均速率．　　?

vp0?

f（v）dv表示分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的比率．　　vpv2f（v）dv表示分子速率大于最可几速率的速率平方的平均值．　　　　10．14质量为×10-14g的微粒悬浮于27℃的液体中，观察到它的方均根速率为·s-1．这些结果计算阿佛加德罗常数NA．　　[解答]当粒子平动时，其平均平动动能为w?

31kT?

mv2，22此得阿氏常数为NA?

R3RT=×1023（mol-1）．?

kmv2　　10．15氮分子的有效直径为×10-10m，求它在标准状态下的平均自程和连续碰撞的平均时间间隔．　　[解答]在标准状态下，T=273K，p=×105Pa，氮分子的平均自程为　　?

kT-8　　=×10（m）．22?

dp氮分子的摩尔质量为μ=·mol-1，平均速率为　　v?

8kT8RT=（m·s-1）．?

连续碰撞的时间间隔为:

v=×10-10（s）．　　　　10．16在标准状态下CO2气体分子的平均自程?

=×10-8m，求两次碰撞之间的平均时间和CO2　　气体分子的有效直径．　　[解答]C的原子量是12，O的原子量是16，CO2的分子量是44，摩尔质量为μ=·mol-1，其平均速率为　　v?

8kT8RT=（m·s-1）．?

两次碰撞之间的平均时间为：

根据公式?

v=×10-10（s）．　　kT，可得CO2气体分子的有效直径为22?

dpd?

kT=×10-10（m）．2?

p　　10．17容器贮有O2气，其压强为×105Pa，温度为27℃，有效直径为d=×10-10m，求：

单位体积中的分子数n；氧分子质量m；气体密度ρ；分子间平均距离l；最　　2可几速率vp；平均速率v；方均根速率v；分子的平均总动能?

；分子平均碰撞　　频率z；分子平均自程?

．　　[解答]p=nkT得单位体积中的分子数为：

n=p/kT=×10-25（m-3）．氧分子的原子质量单位是32，一质量单位是u=×10-27kg，分子的质量为　　m=32u=×10-26（kg）．　　根据理想气体状态方程pV?

RT，氧的摩尔质量μ=kg·mol-1，其密度为　　?

Mp?

=（kg·m-3）．VRT一个分子占有体积为v=1/n，设想分子整齐排列，则分子间的平均距离为l=（1/n）1/3=×10-9（m）．　　2kT=（m·s-1）．m8kT平均速率为：

=（m·s-1）．　　?

m最可几速率为：

vp?

　　　　　　3kT=（m·s-1）．mi分子的自度为i=5，平均总动能为：

kT=×10-20（J）．　　22分子平均碰撞频率为：

dnv=×109（s-1）．　　kT-7　　分子平均自程为：

=×10（m）．22?

dp方均根速率为：

2　　10．18设氢的范德瓦耳斯常量b值为1mol气体体积总和的4倍．将气体分子看作刚球，试计算H2分子的直径．．　　23　　[解答]1mol气体有NA=×10个分子，设分子直径为d，将分子当作刚性球体，则有　　4d3b1/3b?

4NA?

（）3，可解得分子直径为：

2（）=×10-10（m）．　　3216?

NA　　10．191mol气体在0℃时的体积为，试用范德瓦耳斯方程计算它的压强．再将它看作理想气体，压强又为多少？

[解答]气体体积为v=×10-3m-3．根据范氏方程（p?

可得压强为：

a）（v?

b）?

RT，v2RTa?

2=×106（Pa）．v?

bvRT而理想气体的压强为：

=×106（Pa）．　　v　　第十一章热力学基础　　　　11．1一系统如图所示的状态a沿abc到达c，有350J热量传入系统，而系统对外做功126J．经adc，系统对外做功42J，问系统吸热多少？

　　当系统状态c沿曲线ac回到状态a时，外界对系统做功为84J，问系统是吸热还是放热，在这一过程中系统与外界之间的传递的热量为多少？

　　p[解答]当系统状态a沿abc到达c时，根据热力学第一定律，吸收cb的热量Q和对外所做的功A的关系是：

Q=ΔE+A，其中ΔE是内能的增量．Q和A是过程量，也就是与系统经历的过程有关，而ΔEda是状态量，与系统经历的过程无关．VO当系统沿adc路径变化时，可得：

Q1=ΔE1+A1，　　图这两个过程的内能的变化是相同的，即：

ΔE1=ΔE，　　将两个热量公式相减可得系统吸收的热量为：

Q1=Q+A1-A=266（J）．　　当系统状态c沿曲线ac回到状态a时，可得：

Q2=ΔE2+A2，其中，ΔE2=-ΔE，A2=-84（J），可得：

Q2=-（Q–A）+A2=-308（J），p/Pa可见：

系统放射热量，传递热量的大小为308J．m2×1051　　11．21mol氧气状态1变化到状态2，所经历的过程如图，一次沿1×10521→m→2路径，另一次沿1→2直线路径．试分别求出这两个过程中系统3V/mO吸收热量Q、对外界所做的功A以及内能的变化E2-E1．-2-21×105×10[解答]根据理想气体状态方程pV=RT，可得气体在状态1和2的温　　图　　度分别为　　T1=p1V1/R和T2=p2V2．　　氧气是双原子气体，自度i=5，于内能是状态量，所以其状态从1到2不论从经过什么路径，内能的变化都是　　?

V2iiR（T2?

T1）?

（p2V2?

p1V1）=×103（J）．22系统状态从1→m的变化是等压变化，对外所做的功为　　A?

pdV?

p（V2?

V1）=×103（J）．　　V1系统状态从m→2的变化是等容变化，对外不做功．因此系统状态沿1→m→2路径变化时，对外做功为　　×103J；吸收的热量为　　Q=ΔE+A=×104（J）．　　系统状态直接从1→2的变化时所做的功就是直线下的面积，即　　A?

1（p2?

p1）（V2?

V1）=×103（J）．2吸收的热量为　　Q=ΔE+A=×104（J）．　　11．31mol范氏气体，通过准静态等温过程，体积V1膨胀至V2，求气体在此过程中所做的功？

[解答]1mol范氏气体的方程为　　（p?

a）（v?

b）?

RT，2vV2通过准静态等温过程，体积V1膨胀至V2时气体所做的功为　　A?

pdv?

V1V2V1RTaa（?

2）dv?

RTln（v?

b）?

bvvV2?

RTlnV1V2?

b11?

a（?

）．V1?

bV2V1　　11．41mol氢在压强为×105Pa，温度为20℃时的体积为V0，今使其经以下两种过程达同一状态：

　　先保持体积不变，加热使其温度升高到80℃，然后令其作等温膨胀，体积变为原体积的2倍；先使其作等温膨胀至原体积的2倍，然后保持体积不变，升温至80℃．　　试分别计算以上两过程中吸收的热量，气体所做的功和内能增量．将上述两过程画在同一p-V图上并说明所得结果．　　[解答]氢气是双原子气体，自度i=5，于内能是状态量，所以不论从经过什么路径从初态到终态，内能的增量都是piT2?

R（T2?

T1）=×103（J）．　　2气体先做等容变化时，对外不做功，而做等温变化时，对外所做的功为　　A2?

pdV?

RT2?

V1V2V2V11dV?

RT2ln2=×103（J），VT1OV0V2V0所吸收的热量为　　Q2=ΔE+A2=×103（J）．　　气体先做等温变化时，对外所做的功为　　A1?

pdV?

RT1?

V1V2V2V11dV?

RT1ln2=×103（J），V所吸收的热量为　　Q1=ΔE+A1=×103（J）．　　如图所示，气体在高温下做等温膨胀时，吸收的热量多些，曲线下的面积也大些．　　11．5为了测定气体的γ，可用下列方法：

一定量气体，它的初始温度、体积和压强分别为T0，V0和p0．用一根通电铂丝对它加热，设两次加热电流和时间相同，使气体吸收热量保持一样．第一次保持气体体积V0不变，而温度和压强变为T1，p1；第二次保持压强p0不变，而温度和体积则变为T2，V2，证明：

（p1?

p0）V0．　　（V2?

V0）p0（dQ）V，dT[证明]定容摩尔热容为CV?

在本题中为CV=ΔQ/（T1–T0）；定压摩尔热容为Cp?

（dQ）pdT，在本题中为Cp=ΔQ/（T2–T0）．　　对于等容过程有：

p1/T1=p0/T0，　　所以：

T1=T0p1/p0；对于等压过程有：

V2/T2=V0/T0，所以　　T2=T0V2/V0．　　因此　　?

CpCV?

T1?

T0T0p1/p0?

T0（p1?

p0）V0．　　证毕．?

T2?

T0T0V2/V0?

T0（V2?

V0）p0　　11．6理想气体的既非等温也非绝热的过程可表示为pVn=常数，这样的过程叫多方过程，n叫多方指数．　　说明n=0，1，γ和∞各是什么过程．　　p1V1?

p2V2．　　n?

n），证明：

多方过程中理想气体的摩尔热容量为：

CV（1?

n证明：

多方过程中理想气体对外做功：

并就此说明中各过程的值．　　[解答]当n=0时，p为常数，因此是等压过程；　　当n=1时，根据理想气体状态方程pV=RT，温度T为常数，因此是等温过程；当n=γ时表示绝热过程；　　当n=∞时，则有p1/nV=常数，表示等容过程．　　[证明]对于多方过程有　　pVn=p1V1n=p2V2n=C（常数），　　理想气体对外所做的功为　　V2V2A?

V1?

pdV?

CV?

ndV?

V1pV?

pVC（V21?

V11?

n）?

1122．证毕．1?

nn?

1[证明]对于一摩尔理想气体有pV=RT，因此气体对外所做的功可表示为：

气体吸收的热量为　　RT1?

RT2，　　n?

1i1R（T2?

T1）?

R（T2?

T1），21?

nQi1i?

in摩尔热容量为：

（?

）R?

R　　T2?

T121?

n2（1?

n）（i?

2）/i?

ni?

CV．证毕．　　1?

n21?

nQ=ΔE+A=　　11．7一气缸内贮有10mol的单原子理想气体，在压缩过程中，外力做功209J，，气体温度升高1℃．试　　计算气体内能增量和所吸收的热量，在此过程中气体的摩尔热容是多少？

　　[解答]单原子分子的自度为i=3，一摩尔理想气体内能的增量为　　?

iR?

T=（J），210mol气体内能的增量为．　　气体对外所做的功为A=-209J，所以气体吸收的热量为　　Q=ΔE+A=-（J）．　　1摩尔气体所吸收的热量为热容为-，所以摩尔热容为　　C=-（J·mol-1·K-1）．　　11．8一定量的单原子分子理想气体，从初态A出发，沿图示直线过程变到另一状态B，又经过等容、等压过程回到状态A．　　A→B，B→C，C→A，各过程中系统对外所做的功A，内能的增量ΔE以及所吸收的热量Q．整个循环过程中系统对外所做的总功以及从外界吸收的总热量．[解答]单原子分子的自度i=3．　　p/105Pa在A→B的过程中，系统对外所做的功为AB直线下的面积，即B3AAB=（pA+pB）（VB–VA）/2=200（J），　　2内能的增量为：

EAB?

iMiR（TB?

TA）?

（pBVB?

pAVA）=750（J）．　　22?

1OA吸收的热量为：

QAB=ΔEAB+AAB=950（J）．　　B→C是等容过程，系统对外不做功．内能的增量为　　CV/10-3m321图　　?

EBC?

iMiR（TC?

TB）?

（pCVC?

pBVB）=-600（J）．　　22?

　　吸收的热量为：

QBC=ΔEBC+ABC=-600（J），即放出600J的热量．　　C→A是等压过程，系统对外做的功为　　ACA=pA（VA–VC）=-100（J）．内能的增量为：

ECA?

iMiR（TA?

TC）?

（pAVA?

pCVC）=-150（J）．　　22?

吸收的热量为：

QCA=ΔECA+ACA=-250（J），也就是放出250J的热量．　　对外做的总功为：

A=AAB+ABC+ACA=100（J）．吸收的总热量为：

Q=QAB+QBC+QCA=100（J）．　　此可见：

当系统循环一周时，内能不变化，从外界所吸收的热量全部转化为对外所做的功．11．91mol单原子分子的理想气体，经历如图所示的的可逆循环，连接ac两点的曲线Ⅲ的方程为p=22　　p0V/V0，a点的温度为T0．　　pbII以T0，R表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ过程中气体吸收的热量．c9p0求此循环的效率．　　I[解答]题可知：

p0V0=RT0．　　IIII是等容过程，系统不对外做功，内能的变化为　　ap0ii?

EI?

R（Tb?

Ta）?

（pbV0?

RT0）VO22V0?

i（9p0V0?

RT0）?

12RT0．2图　　吸收的热量为：

QI=ΔEI=12RT0．　　II是等容过程，根据III的方程，当pc=9p0时，Vc=3V0．系统对外所做的功为AII=pb（Vc-Vb）=9p02V0=18RT0．内能的变化为　　?

EII?

iiiR（Tc?

Tb）?

（pcVc?

pbVb）?

9p02V0?

27RT0．　　222吸收的热量为：

QII=ΔEII+AII=45RT0．　　在过程III中，系统对外所做的功为　　VaAIII?

Vc?

p0a2p26pdV?

VdV?

02（Va3?

Vc3）?

RT0．　　V0Vc3V03V内能的变化为　　?

EIII?

iiiR（Ta?

Tc）?

（RT0?

pcVc）?

（RT0?

9p03V0）?

39RT0．　　222吸收的热量为：

QIII=ΔEIII+AIII=-143RT0/3．　　系统对外做的总功为：

A=AI+AII+AIII=28RT0/3，系统从高温热源吸收的热量为：

Q1=QI+QII=57RT0，循环效率为：

A=%．Q111．101mol理想气体在400K和300K之间完成卡诺循环．在400K等温线上，初始体积为1×10-3m3，最后体积为

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