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1、大学物理学习题全解大学物理学习题全解第十章 气体分子运动论 101 已知温度为27的气体作用于器壁上的压强为105Pa，求此气体内单位体积里的分子数 解答根据气体压强公式p = nkT，其中k = 10-23JK-1称为玻尔兹曼常数 当T = 300K时，气体单位体积内的分子数为n = p/kT = 1025(m-3) 102 一个温度为17、容积10-3m3的真空系统已抽到其真空度为10-3Pa为了提高其真空度，将它放在300的烘箱内烘烤，使吸附于器壁的气体分子也释放出来烘烤后容器内压强为，问器壁原来吸附了多少个分子？ 解答烘烤前容器内单位体积内的分子为n1 = p1/kT1 = 1017(

2、m-3)， 烘烤后容器内单位体积内的分子为n2 = p2/kT2 = 1020(m-3) 器壁原来吸附的分子数为N = (n2 n1)V = 1018 103 在0下一容器的真空度为10-12Pa，此时每立方厘米内有多少个气体分子？ 解答单位体积内的分子为n = p/kT = 108(m-3) = 102(cm-3) 104 已知275K和103Pa条件下气体的密度 = 10-5gcm-3，求： 气体的方均根速率v； 气体的摩尔质量，并指出是什么气体 解答气体的密度为 = 10-2(kgm-3)， 根据气体压强和能量的公式p?212?v，得气体的方均根速度为 3v2?3p/?= (ms-1)

3、根据理想气体状态方程pV?M?RT， 于气体密度为 = M/V，所以方程可变为p?RT， ?气体的摩尔质量为 = RT/p = (kg)这种气体是氮气N2 105 当温度为0时，求： N2分子的平均平动动能和平均转动动能； 7gN2气体的内能、 解答N2分子有t = 3个平动自度，其平均平动动能为 wt?tkT= 10-21(J) 2rkT= 10-21(J) 2将N2分子当作刚体，它就还有r = 2个转动自度，其平均转动动能为 wr?N2分子的摩尔质量为 = ，质量M = 的N2分子的摩尔数为 n0 = M/ = ， 分子总数为N = n0NA，其中NA = 1023为阿佛伽德罗常数， 而气

4、体普适常量R = kNA = (JK-1mol-1) N2分子的自度为i = t + r = 5， 气体的内能为E? iiiNkT?n0NAkT?n0RT= 103(J) 222106 一个能量为10-7J的宇宙射线粒子射入氖管中，氖管中含有氖气，如射线粒子能量全部转变成氖气的内能，氖气温度升高多少？ 解答氖气是堕性气体，分子式是Ne，只能平动动能，自度为i = t = 3 当射线粒子能量全部转变成氖气的内能时，公式E?in0RT可得气体升高的温度为 2T?2E= 10-6(K) in0R 107 某些恒星的温度达到108K的数量级，此时原子已不存在，只有质子存在，求： 质子的平均动能是多少？

5、 质子的方均根速率多大？ 解答质子的平动自度为 t = 3，平均平动动能为wt?质子的质量为mp = 1027(kg)， 于wt?tkT= 10-15(J) 2tkTt1kT?mpv2，所以质子的方均根速率为v2?= 106(ms-1) 22mp 108 一容器被中间隔板分成体积相等的两半，一半装有氦气，温度为250K；另一半装有氧气，温度为310K两种气体的压强均为p0求抽去隔板后的混合气体温度和压强为多少？ 解答设氦气和氧气分子各有N1和N2个，氦气是单原子分子，自度为i1 = 3；氧气是双原子分子，自度为i2 = 5 i1iN1kT1，E2?2N2kT2 22ii隔板抽去后，氦气和氧气分

6、子的总能量为E?1N1kT?2N2kT 22隔板抽去前，氦气和氧气分子的总能量为E1?这个过程能量守恒，即，E = E1 + E2，所以有i1N1T1 + i2N2T2 = (i1N1 + i2N2)T 于压强p0?n1kT1?同理可得N2?2N1pVkT1，所以N1?0； V2kT1p0V 2kT2将N1和N2的公式代入上面公式可得 i1p0Vi2p0VipVipV?(10?20)T， 2k2k2kT12kT2约去公因子，可得混合气体的温度为 T?(i1?i2)TT12= (K) i1T2?i2T1(N1?N2)(i?i)(T?T)kT?1(p0V?p0V)kT?1212p0= p0 V2(

7、i1T2?i2T1)V2kT12kT2混合气体的压强为 p?nkT? 2109 试证明：N个分子，不论分子速度的分布服从什么规律，总有v?v 证明设第i个分子的速率为vi，则分子的平均速率为v?速率平方的平均值为v?21?vi， Ni1vi2 ?Ni显然，?1(vi?v)2?0，因此 ?Ni1111?(vi2?2viv?v2)?vi2?2v?vi?v2?1?v2?2v?v?v2?v2?v2， NiNiNiNi2于0， 所以v2?v2，因此不论分子的速度的分布服从什么规律，都有v?v 另外也可直接用平均值运算 于(vi?v)2?0，展开得vi2?2viv?v2?0， 取平均值时得vi2?2viv

8、?v2?0 2因为vi?v、v?v并且v2?v2，所以vi2?v2?0，即v?v 证毕 1010 将式表示成以理想气体最可几速率vp为单位表示的形式，即令x = v/vp，若已知?10e?xdx?，试计算： 2分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的百分比为多少？ 分子速率大于最可几速率的分子占分子总数的百分比为多少？ 参照表，写出同一温度下氢气分子对应同一分子数百分比的速率区间 解答 理想气体分子数占分子总数的比率为dN/N = f(v)dv， 其中f(v)是麦克斯韦速率分布函数： m3/2mv22f(v)?4?()exp(?)v 2k?T2kT2kT设x = v/vp，其中vp?，则dv

9、= vpdx， m42?x2xe 因此速率分为dN/N = g(x)dx，其中g(x)?分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的百分比为 N14?g(x)dx?N0?111?xe02?x21dx，设I?x2e?xdx，则 021111221?x22?x2I?xedx?xde?(xe?x?e?xdx) 20202001?1即I?(?e)， 2N42I?(?e?1)= = % 所以1?N?1分子速率大于最可几速率的分子占分子总数的百分比为 N2N?1?1= = % NN对于氧气分子，速率在v1v2之间的分子数占分子总数的比率为 ?NNvv2?v1?m3/2mv22)exp(?)vdv， f(v)d

10、v?4?(2k?T2kTv1v2其中m表示氧分子的质量用m表示氢分子的质量，则m = 16m，对于氢分子的同一比率则有 ?N216m3/216mv22?4?()exp(?)vdv，取v = 4v，可得 Nv2k?T2kT12?Nm3/2mv22?4?()exp(?)vdv， N4?2k?T2kTv14v可见：氧气分子速率从v1到v2之间的分子数的比率与氢气分子速率从4v1到4v2之间的分子数的比率相同 2从这个思路可以证明：当一种气体的分子的质量是另一种气体的质量的倍时，这种气体分子速率从v1到v2之间的分子数的比率与另一种气体分子速率从v1到v2之间的分子数的比率相同 1011 1110题结

11、果，求速率在到之间的分子数占分子总数的百分比 ?x2?N解答 分子数比率为xe ?g(x)dx，其中g(x)?利用中值定理得 ?N4?1?g(1)(?)?e?= = % N? 1012 求上升到什么高度时大气压强减到地面大气压强的75%设空气温度为0，空气的平均摩尔质量为 9kgmol-1 解答 根据玻尔兹曼分布可得压强随高度变化关系p?p0exp(?mgz) kT其中m是一个分子的质量 用NA表示阿氏常数，则气体的摩尔质量为 = NAm，气体的普适常数为R = 压强公式可表示为p?p0exp(?) RTRTp0ln高度为z?= 2304(m) ?gp 1013 已知f(v)是麦克斯韦分子速率

12、分布函数，说明以下各式物理意义 f(v)dv； nf(v)dv，n为分子数密度； ?gz?v2v1vf(v)dv； ?vp0?f(v)dv，vp为最可几速率； vpv2f(v)dv 解答公式dN/N = f(v)dv可知：f(v)dv表示分子数在速率区间vv+dv之中分子数的比率dN/N 于n = N/V，可得ndN/N = dN/V，因此nf(v)dv表示分子数在速率区间vv+dv之中分子数密度 ?v2v1vf(v)dv表示分子在速率区间v1到v2之间的平均速率 ?vp0?f(v)dv表示分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的比率 vpv2f(v)dv表示分子速率大于最可几速率的速率平方的

13、平均值 1014 质量为10-14g的微粒悬浮于27的液体中，观察到它的方均根速率为s-1这些结果计算阿佛加德罗常数NA 解答当粒子平动时，其平均平动动能为w?31kT?mv2， 22此得阿氏常数为NA?R3RT= 1023(mol-1) ?kmv2 1015 氮分子的有效直径为10-10m，求它在标准状态下的平均自程和连续碰撞的平均时间间隔 解答 在标准状态下，T = 273K，p = 105Pa，氮分子的平均自程为 ?kT-8= 10(m) 22?dp氮分子的摩尔质量为 = mol-1，平均速率为 v?8kT8RT= (ms-1) ?m?连续碰撞的时间间隔为:t?v= 10-10(s) 1

14、016 在标准状态下CO2气体分子的平均自程?= 10-8m，求两次碰撞之间的平均时间和CO2气体分子的有效直径 解答 C的原子量是12，O的原子量是16，CO2的分子量是44，摩尔质量为 = mol-1，其平均速率为 v?8kT8RT= (ms-1) ?m?两次碰撞之间的平均时间为：t?根据公式?v= 10-10(s) kT，可得CO2气体分子的有效直径为 22?dpd?kT= 10-10(m) 2?p 1017 容器贮有O2气，其压强为105Pa，温度为27，有效直径为d = 10-10m，求： 单位体积中的分子数n；氧分子质量m；气体密度；分子间平均距离l；最2可几速率vp；平均速率v；

15、方均根速率v；分子的平均总动能?；分子平均碰撞频率z；分子平均自程? 解答p = nkT得单位体积中的分子数为：n = p/kT = 10-25(m-3) 氧分子的原子质量单位是32，一质量单位是u = 10-27kg，分子的质量为 m = 32u = 10-26(kg) 根据理想气体状态方程pV?M?RT，氧的摩尔质量 = kgmol-1，其密度为 ?Mp?= (kgm-3) VRT一个分子占有体积为v = 1/ n，设想分子整齐排列，则分子间的平均距离为 l = (1/n)1/3 = 10-9(m) 2kT= (ms-1) m8kT平均速率为：v?= (ms-1) ?m最可几速率为：vp?

16、3kT= (ms-1) mi分子的自度为i = 5，平均总动能为：?kT= 10-20(J) 22分子平均碰撞频率为：z?2?dnv= 109(s-1) kT-7分子平均自程为：?= 10(m) 22?dp方均根速率为：v?2 1018设氢的范德瓦耳斯常量b值为1mol气体体积总和的4倍将气体分子看作刚球，试计算H2分子的直径 23解答 1mol气体有NA = 10个分子，设分子直径为d，将分子当作刚性球体，则有4d3b1/3b?4NA?()3，可解得分子直径为：d?2()= 10-10(m) 3216?NA 1019 1mol气体在0时的体积为，试用范德瓦耳斯方程计算它的压强再将它看作理想气

17、体，压强又为多少？ 解答气体体积为v = 10-3m-3根据范氏方程(p?可得压强为：p?a)(v?b)?RT， v2RTa?2= 106(Pa) v?bvRT而理想气体的压强为：p?= 106(Pa) v 第十一章 热力学基础 111 一系统如图所示的状态a沿abc到达c，有350J热量传入系统，而系统对外做功126J 经adc，系统对外做功42J，问系统吸热多少？ 当系统状态c沿曲线ac回到状态a时，外界对系统做功为84J，问系统是吸热还是放热，在这一过程中系统与外界之间的传递的热量为多少？ p 解答当系统状态a沿abc到达c时，根据热力学第一定律，吸收c b 的热量Q和对外所做的功A的关

18、系是：Q = E + A， 其中E是内能的增量Q和A是过程量，也就是与系统经历的过程有关，而Ed a 是状态量，与系统经历的过程无关 V O 当系统沿adc路径变化时，可得：Q1 = E1 + A1， 图 这两个过程的内能的变化是相同的，即：E1 = E， 将两个热量公式相减可得系统吸收的热量为：Q1 = Q + A1 - A = 266(J) 当系统状态c沿曲线ac回到状态a时，可得：Q2 = E2 + A2， 其中，E2 = -E，A2 = -84(J)，可得：Q2 = -(Q A) + A2 = -308(J)， p/Pa 可见：系统放射热量，传递热量的大小为308J m 2105 1

19、112 1mol氧气状态1变化到状态2，所经历的过程如图，一次沿1105 2 1m2路径，另一次沿12直线路径试分别求出这两个过程中系统3V/m O 吸收热量Q、对外界所做的功A以及内能的变化E2 - E1 -2-2110 510 解答根据理想气体状态方程pV = RT，可得气体在状态1和2的温图 度分别为 T1 = p1V1/R和T2 = p2V2 氧气是双原子气体，自度i = 5，于内能是状态量，所以其状态从1到2不论从经过什么路径，内能的变化都是 ?E?V2iiR(T2?T1)?(p2V2?p1V1)= 103(J) 22系统状态从1m的变化是等压变化，对外所做的功为 A?pdV?p(V

20、2?V1)= 103(J) V1系统状态从m2的变化是等容变化，对外不做功因此系统状态沿1m2路径变化时，对外做功为103J；吸收的热量为 Q = E + A = 104(J) 系统状态直接从12的变化时所做的功就是直线下的面积，即 A?1(p2?p1)(V2?V1)= 103(J) 2吸收的热量为 Q = E + A = 104(J) 113 1mol范氏气体，通过准静态等温过程，体积V1膨胀至V2，求气体在此过程中所做的功？ 解答 1mol范氏气体的方程为 (p?a)(v?b)?RT， 2vV2通过准静态等温过程，体积V1膨胀至V2时气体所做的功为 A?pdv?V1V2V1RTaa(?2)

21、dv?RTln(v?b)?v?bvvV2?RTlnV1V2?b11?a(?) V1?bV2V1 114 1mol氢在压强为105Pa，温度为20时的体积为V0，今使其经以下两种过程达同一状态： 先保持体积不变，加热使其温度升高到80，然后令其作等温膨胀，体积变为原体积的2倍； 先使其作等温膨胀至原体积的2倍，然后保持体积不变，升温至80 试分别计算以上两过程中吸收的热量，气体所做的功和内能增量将上述两过程画在同一p-V图上并说明所得结果 解答氢气是双原子气体，自度i = 5，于内能是状态量，所以不论从经过什么路径从初态到终态，内能的增量都是 p iT2 ?E?R(T2?T1)= 103(J)

22、2气体先做等容变化时，对外不做功，而做等温变化时，对外所做的功为 A2?pdV?RT2?V1V2V2V11dV?RT2ln2= 103(J)， VT1 O V0 V 2V0 所吸收的热量为 Q2 = E + A2 = 103(J) 气体先做等温变化时，对外所做的功为 A1?pdV?RT1?V1V2V2V11dV?RT1ln2= 103(J)， V所吸收的热量为 Q1 = E + A1 = 103(J) 如图所示，气体在高温下做等温膨胀时，吸收的热量多些，曲线下的面积也大些 115 为了测定气体的，可用下列方法：一定量气体，它的初始温度、体积和压强分别为T0，V0和p0用一根通电铂丝对它加热，设

23、两次加热电流和时间相同，使气体吸收热量保持一样第一次保持气体体积V0不变，而温度和压强变为T1，p1；第二次保持压强p0不变，而温度和体积则变为T2，V2，证明： ?(p1?p0)V0 (V2?V0)p0(dQ)V， dT证明定容摩尔热容为CV?在本题中为CV = Q/(T1 T0)； 定压摩尔热容为Cp?(dQ)pdT，在本题中为Cp = Q/(T2 T0) 对于等容过程有：p1/T1 = p0/T0， 所以：T1 = T0p1/p0；对于等压过程有：V2/T2 = V0/T0， 所以 T2 = T0V2/V0 因此 ?CpCV?T1?T0T0p1/p0?T0(p1?p0)V0证毕 ?T2?

24、T0T0V2/V0?T0(V2?V0)p0 116 理想气体的既非等温也非绝热的过程可表示为pVn = 常数，这样的过程叫多方过程，n叫多方指数 说明n = 0，1，和各是什么过程 p1V1?p2V2 n?1?n)， 证明：多方过程中理想气体的摩尔热容量为：C?CV(1?n证明：多方过程中理想气体对外做功：A?并就此说明中各过程的值 解答当n = 0时，p为常数，因此是等压过程； 当n = 1时，根据理想气体状态方程pV = RT，温度T为常数，因此是等温过程； 当n = 时表示绝热过程； 当n =时，则有p1/nV = 常数，表示等容过程 证明对于多方过程有 pVn = p1V1n = p2

25、V2n = C(常数)， 理想气体对外所做的功为 V2V2A?V1?pdV?CV?ndV?V1pV?pVC(V21?n?V11?n)?1122证毕 1?nn?1证明对于一摩尔理想气体有pV = RT， 因此气体对外所做的功可表示为：A?气体吸收的热量为 RT1?RT2， n?1i1R(T2?T1)?R(T2?T1)， 21?nQi1i?2?in摩尔热容量为：C?(?)R?R T2?T121?n2(1?n)(i?2)/i?ni?n?R?CV证毕 1?n21?nQ = E + A = 117 一气缸内贮有10mol的单原子理想气体，在压缩过程中，外力做功209J，气体温度升高1试计算气体内能增量和

26、所吸收的热量，在此过程中气体的摩尔热容是多少？ 解答单原子分子的自度为i = 3，一摩尔理想气体内能的增量为 ?E?iR?T= (J)， 210mol气体内能的增量为 气体对外所做的功为A = - 209J，所以气体吸收的热量为 Q = E + A = -(J) 1摩尔气体所吸收的热量为热容为-，所以摩尔热容为 C = -(Jmol-1K-1) 118 一定量的单原子分子理想气体，从初态A出发，沿图示直线过程变到另一状态B，又经过等容、等压过程回到状态A AB，BC，CA，各过程中系统对外所做的功A，内能的增量E以及所吸收的热量Q 整个循环过程中系统对外所做的总功以及从外界吸收的总热量 解答单

27、原子分子的自度i = 3 p/105Pa 在AB的过程中，系统对外所做的功为AB直线下的面积，即 B 3 AAB = (pA + pB)(VB VA)/2 = 200(J)， 2 内能的增量为： ?EAB?iMiR(TB?TA)?(pBVB?pAVA)= 750(J) 22?1 O A 吸收的热量为：QAB = EAB + AAB = 950(J) BC是等容过程，系统对外不做功内能的增量为 C V/10-3m3 2 1 图 ?EBC?iMiR(TC?TB)?(pCVC?pBVB)= -600(J) 22? 吸收的热量为：QBC = EBC + ABC = -600(J)，即放出600J的热量

28、 CA是等压过程，系统对外做的功为 ACA = pA(VA VC) = -100(J) 内能的增量为：?ECA?iMiR(TA?TC)?(pAVA?pCVC)= -150(J) 22?吸收的热量为：QCA = ECA + ACA = -250(J)，也就是放出250J的热量 对外做的总功为：A = AAB + ABC + ACA = 100(J) 吸收的总热量为：Q = QAB + QBC + QCA = 100(J) 此可见：当系统循环一周时，内能不变化，从外界所吸收的热量全部转化为对外所做的功 119 1mol单原子分子的理想气体，经历如图所示的的可逆循环，连接ac两点的曲线的方程为p =

29、 22p0V/V0，a点的温度为T0 p b II 以T0，R表示，过程中气体吸收的热量 c 9p0 求此循环的效率 I 解答题可知：p0V0 = RT0 III I是等容过程，系统不对外做功，内能的变化为 a p0 ii?EI?R(Tb?Ta)?(pbV0?RT0) V O 22V0 ?i(9p0V0?RT0)?12RT0 2图 吸收的热量为：QI = EI = 12RT0 II是等容过程，根据III的方程，当pc = 9p0时，Vc = 3V0系统对外所做的功为 AII = pb(Vc - Vb) = 9p02V0 = 18RT0 内能的变化为 ?EII?iiiR(Tc?Tb)?(pcVc

30、?pbVb)?9p02V0?27RT0 222吸收的热量为：QII = EII + AII = 45RT0 在过程III中，系统对外所做的功为 VaAIII?Vc?p0a2p26pdV?2?VdV?02(Va3?Vc3)?RT0 V0Vc3V03V内能的变化为 ?EIII?iiiR(Ta?Tc)?(RT0?pcVc)?(RT0?9p03V0)?39RT0 222吸收的热量为：QIII = EIII + AIII = -143RT0/3 系统对外做的总功为：A = AI + AII + AIII = 28RT0/3， 系统从高温热源吸收的热量为：Q1 = QI + QII = 57RT0， 循环效率为：?A= % Q1 1110 1mol理想气体在400K和300K之间完成卡诺循环在400K等温线上，初始体积为110-3m3，最后体积为