最佳平方逼近与最小二乘拟合.docx

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最佳平方逼近与最小二乘拟合

最佳平方逼近与最小二乘拟合

　　　　　　　　　　　——两者的区别与联系

函数逼近是用一个多项式无限接近原函数，而拟合是将函数中的元素联系起来。

也就是说，最佳平方逼近是针对函数,最小二乘法是针对离散的点，二者在形式上基本一致。

另外,最小二乘拟合也称为离散型最佳平方逼近，两者的解法有很多相似之处。

一、函数的最佳平方逼近

（一）最佳平方逼近函数的概念

对及中的一个子集,若存在，使，则称是在子集中的最佳平方逼近函数。

（二）最佳平方逼近函数的解法

为了求,由可知,一般的最佳平方逼近问题等价于求多元函数

的最小值问题。

由于是关于的二次函数，利用多元函数极值的必要条件，即

于是有。

是关于的线性方程组，称其为法方程。

由于线性无关,故系数行列式,于是方程组有唯一解，

从而得到。

就是中的最佳平方逼近函数。

（三）最佳平方逼近函数所产生的误差

若令，则平方误差为:

。

取，即要在中求n次最佳平方逼近多项式　，

此时，

若用H表示行列式对应的矩阵，则

Ｈ称为Hilｂerｔ矩阵，记

其中

则方程的解即为所求。

注意:

最佳平方逼近误差越小说明函数空间Ｈn对ｆ（ｘ）的逼近效果越好。

二、曲线拟合的最小二乘法

（一）最小二乘逼近的概念

对于给定的一组数据,要求在函数空间中找一个函数,使误差平方和，这里。

这就是一般的最小二乘逼近,用几何语言来说，就称为曲线拟合的最小二乘法。

（二）最小二乘法的解法

用最小二乘法求拟合曲线的问题,就是在形如：

的中求一函数,使取得最小。

它转化为求多元函数的极小点问题。

由求多元函数极值的必要条件,

有。

若记，

则，

可改写为，此方程叫法方程。

它也可写成矩阵形式。

其中

由于线性无关,故,方程组存在唯一的解,从而得到函数的最小二乘解为。

可以证明,这样得到的对于任何形如的，都有，故确是所求最小二乘解。

（三）最小二乘逼近函数所产生的误差

误差平方和:

注：

误差平方越小，说明拟合效果越好。

例题3.5

已知一组实验数据如下表所示,求它的拟合曲线。

１

2

3

4

5

4

4.5

６

８

８.5

２

1

3

1

１

解：

在坐标纸上标出所给数据，如图所示。

从图可看到，各点分布在一条直线附近,故可选择线性函数。

令,这里故

由得方程组

解得

于是所求拟合曲线为

例题３．6

在某化学反应过程中，根据实验所得生产物的质量分数与时间的关系如下表所示，求质量分数y与时间t的拟合曲线

t

/min

１

2

3

４

5

6

7

８

ｙ

4.０0

6.40

8.０0

8.80

9.２2

9.5０

9.70

９.86

t

／mｉｎ

9

10

11

12

１3

14

1５

16

y

１0.00

1０.20

10.32

10.42

10.50

10.５5

１0.58

10.60

解:

将所给数据标在坐标纸上，如图所示。

可以看到,质量分数开始时增加较快,后来逐渐减慢，到一定时间就基本稳定在一个水平上,即当时，y趋于某个数,故有一水平渐近线。

另外，t＝0时,反应未开始,质量分数为零。

根据这些特点,可设想是双曲线型，即。

它与给定豆数据的规律大致符合。

为了确定ａ,b,令，于是可用x的线性函数拟合数据，由原始数据根据变换计算出来，解方程组

得　

从而得到ﻩﻩ　=

其误差为

由上图，符合给定数据的函数还可选为指数形式。

此时可令拟合曲线如。

显然,当时，；当时，若，则，且ｔ增加时y增加。

这些与给出数据规律相同。

为了确定a与ｂ,对上式两端取对数，得。

令，于是由计算出,拟合数据的曲线仍为。

上述方法计算出，从而

　　，

最后求得,

误差为ﻩﻩ

均方误差为

由此可知，及都比较小，所以用作拟合曲线比较好。

补充例题:

1

1

1

1

1

０

0.25

0．５０

0.75

1

０.1０

0.35

0.8１

1.09

1．96

用多项式拟合5个点

解:

ﻩﻩﻩ其中

即:

最终所求多项式与给定五个点的图象如下