最佳平方逼近与最小二乘拟合.docx

1、最佳平方逼近与最小二乘拟合最佳平方逼近与最小二乘拟合 两者的区别与联系函数逼近是用一个多项式无限接近原函数，而拟合是将函数中的元素联系起来。也就是说，最佳平方逼近是针对函数,最小二乘法是针对离散的点，二者在形式上基本一致。另外,最小二乘拟合也称为离散型最佳平方逼近，两者的解法有很多相似之处。一、函数的最佳平方逼近（一）最佳平方逼近函数的概念对及中的一个子集,若存在，使，则称是在子集中的最佳平方逼近函数。（二）最佳平方逼近函数的解法为了求,由可知,一般的最佳平方逼近问题等价于求多元函数的最小值问题。由于是关于的二次函数，利用多元函数极值的必要条件，即,于是有。是关于的线性方程组，称其为法方程。由

2、于线性无关,故系数行列式,于是方程组有唯一解，从而得到。就是中的最佳平方逼近函数。（三)最佳平方逼近函数所产生的误差若令，则平方误差为:。取，即要在中求n次最佳平方逼近多项式 ，此时，若用H表示行列式对应的矩阵，则,称为Hiler矩阵，记其中则方程的解即为所求。注意:最佳平方逼近误差越小 说明函数空间n对()的逼近效果越好。二、曲线拟合的最小二乘法（一)最小二乘逼近的概念对于给定的一组数据,要求在函数空间中找一个函数,使误差平方和，这里。这就是一般的最小二乘逼近,用几何语言来说，就称为曲线拟合的最小二乘法。(二）最小二乘法的解法用最小二乘法求拟合曲线的问题,就是在形如：的中求一函数,使取得最小

3、。它转化为求多元函数的极小点问题。由求多元函数极值的必要条件,有。若记，则，可改写为，此方程叫法方程。它也可写成矩阵形式。其中,由于线性无关,故,方程组存在唯一的解,从而得到函数的最小二乘解为。可以证明,这样得到的对于任何形如的，都有，故确是所求最小二乘解。(三）最小二乘逼近函数所产生的误差误差平方和:注：误差平方越小，说明拟合效果越好。例题3.5已知一组实验数据如下表所示,求它的拟合曲线。234544.5.5131解：在坐标纸上标出所给数据，如图所示。从图可看到，各点分布在一条直线附近,故可选择线性函数。令,这里故由得方程组解得于是所求拟合曲线为 例题6在某化学反应过程中，根据实验所得生产物

4、的质量分数与时间的关系如下表所示，求质量分数y与时间t的拟合曲线t/min235674.06.408.08.809.29.59.70.86tm9101112314116y0.001.2010.3210.4210.5010.50.5810.60解:将所给数据标在坐标纸上，如图所示。可以看到,质量分数开始时增加较快,后来逐渐减慢，到一定时间就基本稳定在一个水平上,即当时，y趋于某个数,故有一水平渐近线。另外，t0时,反应未开始,质量分数为零。根据这些特点,可设想是双曲线型，即。它与给定豆数据的规律大致符合。为了确定,b,令，于是可用x的线性函数拟合数据，由原始数据根据变换计算出来，解方程组得 从而得到 =其误差为由上图，符合给定数据的函数还可选为指数形式。此时可令拟合曲线如。显然,当时，；当时，若，则，且增加时y增加。这些与给出数据规律相同。为了确定a与,对上式两端取对数，得。令，于是由计算出,拟合数据的曲线仍为。上述方法计算出，从而 ，最后求得,误差为 均方误差为由此可知，及都比较小，所以用作拟合曲线比较好。补充例题:111110.2500.751.10.350.81.09196用多项式拟合5个点解:其中即:最终所求多项式与给定五个点的图象如下