结构力学第7章位移法.docx
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结构力学第7章位移法
第7章位移法
一.教课目标
掌握位移法的基本观点；
正确的判断位移法基本未知量的个数；
熟习等截面杆件的转角位移方程；
娴熟掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法
认识位移法基本系统与典型方程的物理观点和解法。
二.主要章节
§7-1位移法的基本观点
§7-2杆件单元的形常数和载常数—位移法的先期工作
§7-3位移法解无侧移刚架
§7-4位移法解有侧移刚架
§7-5位移法的基本系统
§7-6对称构造的计算
＊§7-7支座位移和温度改变时的位移法剖析（选学内容）
§7-8小结
§7-9思虑与议论
三.学习指导
位移法解超静定构造的基础是确立构造的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不单能够解超静定构造，同时还能够求解静定构造，此外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。
四.参照资料
《构造力学（Ⅰ）-基本教程第3版》P224～P257
第六章我们学习了力法，力法和位移法是计算超静定构造的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。
力法把构造的剩余力作为基本未知量，将超静定构造转变成将定构造，
依据位移条件成立力法方程求解的；而我们今日开始学的这一章位移法例是以构造的某些位移作为未知量，先想法求出他们，在据以求出构造的内力和其余位移。
由位移法的基来源理
能够衍生出其余几种在工程实质中应用十分广泛的计算方法，比如力矩分派法和迭代法等。
所以学习本章内容，不单为了掌握位移法的基来源理，还未此后学习其余的计算方法打下优秀的基础。
别的，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。
本章议论位移法的原理和应用位移法计算刚架，取刚架的结点位移做为基本未知量，由
结点的均衡条件成立位移法方程。
位移法方程有两种表现形式：
①直接写均衡返程的形式（便
于认识和计算）②基本系统典型方程的形式（利于与力法及后边的计算机计算为基础的矩阵
位移法相对照，加深理解）
§7-1位移法的基本观点
1.对于位移法的简例
为了详细的认识位移法的基本思路，我们先看一个简单的桁架的例子：
课本P225。
图7-1
和图7-2所示。
（a）（a）
（b）（b）
图7-1
图
7-2
第一步：
从构造中拿出一个杆件进行剖析。
（杆件剖析）
图7-2
中杆件
AB
如已知杆端
B沿杆轴向的位移为
ui（即杆件的伸长）则杆端力
FNi为：
FNi
EAi
ui
（7-1）
li
E-为弹性模量，A-为杆件截面面积，li-为杆件长度
EAi--使杆端产生单位位移时所需施加的杆端力--刚度系数
li
公式（7-1）的物理意义：
表示杆件的杆端力FNi与杆端位移ui之间的关系---杆件的刚度方
程。
第二步：
把各杆件综合成构造。
（整体剖析）
各杆端位移ui与基本未知量
之间的关系为：
ui
5
B点的均衡条件为Fy0
得：
i1
FNiSini
Fp
5
EAiSin
2
由7-1式和（a）式带入（b）式得：
i
i
1li
（c）式就是位移法的基本方程，它表示构造的位移
Sini（a）
（b）
Fp（c）
与荷载Fp之间的关系。
由（c）式
可得：
FP
（d）达成了位移法中的重点一步
5
EAi
2
Sin
li
i
i1
求各杆轴力可将求得的
代入（a）式得ui
FP
Sini再代入（7-1）得：
5
EAi
Sin
2
i1
li
i
EAi
Sin
i
FNi
li
FP（e）
5
EAi
2
Sin
i
li
i1
在图7-1中假如不过两根杆时构造是静定的（相当于固定一个结点的方式，用两根不共线的链杆）。
当杆数大于2时，构造式超静定的。
所以用位移法计算时，计算方法其实不因构造是静定构造仍是超静定构造而有所不一样。
由以上简例能够概括出位移法的重点以下：
（1）位移法的基本未知量是构造的结点位移（图7-1中的B点的位移）
（2）位移法的基本方程是均衡方程（B点的y方向的投影均衡方程式Fy0）
（3）成立基本方程的过程分为两步：
（4）a：
将构造拆成杆件，进行杆件剖析得出杆件的刚度方程；b：
再把杆件综合成结
构，进行整体剖析得出基本方程。
（5）依据位移法方程解出基本未知量并由此计算各杆的内力。
位移法就是将构造拆了再搭的计算过程—基本思路。
杆件剖析是构造剖析的基础，杆件的刚度方程是位移法的基本方程的基础。
所以位移法也称为刚度法。
位移法与力法的差别：
1.主要差别是基本未知量不一样：
力法是取构造中的剩余未知力作为基本未知量；位移法是以
结点位移（线位移和角位移）作为基本未知量。
2.成立的基本方程不一样：
力法是由变形协调条件成立位移方程；位移法是由均衡条件成立的
均衡方程。
注：
力法的基本未知量的数量等于超静定次数，而位移法的基本未知量与超静定次数没关。
如左图所示：
力法计算,9个基本未知量；位移法计算,1个基本未知量
2.位移法计算刚架的基本思路
以上联合链杆系的状况对位移法的基本思路做了简洁的说明。
此刻再联合刚架的状况作进一步的介绍。
在刚架的剖析中，往常只考虑曲折变形，忽视剪切和拉伸变形。
下边联合简单实例说明位移法的基本思路。
图7-3
如图7-3a所示的刚架，在荷载的作用下发生变形，杆件AB、BC在结点B处有相同的转角θ，称为结点B的角位移。
将整个刚架分解为AB、BC杆件，则AB杆件相当于两头固定的单跨粱，固定端B发生一转角θ（图7-3b），BC杆相当于一端固定另一端铰支的单跨粱，
受荷载作用，同时在B端发生角位移（图7-3c）。
假如能够求出角位移，则能够计算出杆件
的内力，问题的重点是求结点的角位移。
用位移法计算刚架，结点的位移是处于重点地位的未知量，基本思路是拆了再搭，将刚
架拆成杆件，进行求解；再将杆件合成为刚架，利用均衡条件求出位移。
对于位移法的基本
计算将在此后详细剖析。
§7-2等截面杆件的刚度方程
一.教课目标
本节是位移法的基础，理解杆端力与杆端位移及荷载之间的关系，正确理解杆端剪力和
弯矩的符号，掌握杆端位移方程，能够判断和选择杆端剪力和弯矩。
二.主要内容
1.由杆端位移求杆端弯矩
（1）
由杆端位移求杆端弯矩
（2）
2.由荷载求固端弯矩
（1）
由荷载求固端弯矩
（2）
三.学习指导
本节主要议论一个杆件的杆端力与杆端位移及荷载之间的关系，要正确理解此中的关系
和符号。
依据位移法的基本思路，以及为了更好的进行位移法的计算，需要议论等截面杆件的两
个问题：
由杆端位移求杆端弯矩和由荷载求固端弯矩。
四.参照资料
《构造力学教程（Ⅰ）》P227～P232
由杆端位移求杆端弯矩
（1）
图7-4
为等截面杆件，截面惯性矩为常数。
已知端点
A和B
的角位移分别是θA
和θB，
两头垂直于杆轴的相对线位移为
，拟求杆端弯矩
MAB
、MBA
。
图7-4
在位移法中位移的正负号规定为：
结点转角，弦转角和杆端弯矩一律以顺时针为正。
这一点必定要注意与从前的不一样。
应用单位荷载法可得出：
杆件的线刚度i=EI/l
解联立方程可得：
利用均衡条件可求出杆端剪力以下：
于是可将上式写为：
则矩阵
称为杆件的刚度矩阵，此中的系数称为刚度系数，又称为形常数。
上边公式利使劲法计算过程：
1.使劲法来计算简支梁在两头力偶MAB、MBA作用下产生
的杆端转角'A、'B。
MBAMBA
B
MAB（b）MP图
X11
M1图
1（c）
X21
1
M2图
（d）
A1[（MEI
l（1M
AB
MBA）l
2
MBAl
1]
2
3
2
2
AB
1MBA）
EI36
1
（M
B
EI
[
l
（1M
EI
3
AB
MBA
）l1
MBAl
1
2
3
2
]
2
BA
1
M
AB）
6
2.考虑两头有相对竖向位移?
，
图7-5
''''
AB
l
杆件的线刚度i=EI/l，所以：
下边议论杆端拥有不一样拘束时的刚度方程。
由杆端位移求杆端弯矩
（2）
依据前面的议论得出一般状况下的刚度方程
以下将利用以上结论议论杆件在不一样的支承条件下的刚度方程。
对于图7-6aB端为固定支座，θB=0，则得
对于图7-6bB端为铰支座，MBA=0，则得
对于图7-6cB端为滑动支座，θB=0和FQAB=0FQBA=0，则得
图7-6
下边将议论由荷载惹起的固端弯矩。
由荷载求固端弯矩
（1）—载常数
对于常有的三种粱：
两头固定；一端固定、另一端简支；一端固定另一端滑动支承，下
表给出常有荷载作用下的杆端弯矩和剪力，又称固端弯矩和剪力用MABF
、MBAF、FQBAF
、
FQBAF
表示，其正负号要注意。
因为它们只与荷载局势有关的常数，所以又称
载常数。
下边是
固端弯矩和剪力，表7-1。
单跨超静定梁由单位杆端位移惹起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图
MAB
M
BA
QABQBA
F=F
4i
2i
6i
l
6i
6i
12i
l
l
l2
3i
0
3i
l
3i
0
3i
l
l2
i-i0
最后利用叠加原理获得杆端弯矩的一般公式为：
上式也称为等截面直杆的转角-位移方程。
§7-3无侧移刚架的计算
一.教课目标
本节是位移法在计算刚架中的直策应用，能够正确确实定基本未知量，娴熟的掌握转角
位移方程的应用并能够求解无侧移刚架和粱的内力。
二.主要内容
1.一般观点及过程
2.实例剖析
三.学习指导
本节的重点是转角位移方程的应用，此中荷载项可查表计算，注意正负号的规定，要多
进行练习。
四.参照资料
《构造力学（Ⅰ）》P232～P235
一般观点及过程
无侧移刚架：
刚架的各结点（不包含支座）只有角位移而没有线位移。
下边经过连续梁的计算来介绍位移法的实质过程。
图7-8a为一连续粱，试剖析内力。
图7-8
1.基本未知量只有结点B的角位移θB
2.查表列出各杆的固端弯矩
MABF
FPL
15Mpa；MBAF
FPL
15Mpa；MBCF
qL2
9Mpa
8
8
8
3.各杆的杆端弯矩：
4.成立位移法基本方程，结点B为隔绝体图7-8b，列均衡方程，并求解
5.计算各杆杆端弯矩
最后画出弯矩图（图7-8c）。
绘图时注意弯矩画在受拉一侧。
一般的状况，每一个刚结点由一个结点转角----基本未知量；与此相应，在每一个刚结点
处又可写一个力矩均衡方程----基本方程。
刚架剖析
实例剖析
利用位移法计算图7-9a刚架的内力。
图7-9
1.基本未知量
共有两个刚结点，因此有两个基本未知量：
θ
和θC
B
2.用转角位移方程表达杆端弯矩固端弯矩
各杆线刚度的计算
列各杆的杆端弯矩
3.利用结点B、C的力矩均衡方程（图7-9b）
4.求基本未知量
θB=
θC=
5.计算杆端弯矩并画弯矩图（图7-9c）
§7-4有侧移刚架的计算
一.教课目标
经过本节的学习，要能够正确确实定位移法基本未知量----刚结点的角位移、独立的结点
线位移，掌握转角位移方程的应用并能够求解有侧移刚架的内力。
二.主要内容
1.基本未知量的选用
2.基本方程的成立及应用三.学习指导
本节的重点是转角位移方程的应用，注意独立线位移确实定，及截面均衡方程的成立，
注意与无侧移刚架的相同点与不一样点。
四.参照资料
《构造力学（Ⅰ）》P235～P242
基本未知量的选用
结点线位移是位移法计算中的一个基本未知量，为了减少基本未知量的个数，使计算得
到简化，常作以下假定：
（1）忽视由轴力惹起的轴向变形；
（2）结点位移都很小；
（3）直杆变形后，曲线两头的连线长度等于原直线长度。
如图7-5所示的两个刚架，在荷载作用下发生变形（角位移没有标出），结点处都有水平位移-----结点线位移。
图7-5a图7-5b
依据假定，图8-5a结点C和D的水平位移相等，所以，只有一个结点线位移，同理图7-5b结点E和F的水平位移相等，结点C和D的水平位移相等，有两个结点线位移。
一般的怎样确立位移法的基本未知量，主要有：
一个刚结点有一个角位移；
一层有一个独立结点线位移-----独立结点线位移的数量等于刚架的层数
对于图7-5a的构造共有三个基本未知量----两个角位移、一个独立结点线位移，图7-5b共
有6个基本未知量----四个角位移、二个独立结点线位移。
对于独立结点线位移还能够采纳铰化法进行判断，马上所有的刚结点（包含固定支座）
都改为铰结点，则系统的自由度数就是原构造的独立结点线位移的个数。
下边详细考虑怎样进行计算
基本方程的成立及应用
用位移法计算有侧移的刚架时，基本思路与无侧移刚架基真相同，但应试虑
1.在基本未知量中，要包含结点线位移；
2.在成立基本方程时，要增添与结点线位移对应的均衡方程。
下边联合实例进行剖析:
图7-6
图7-6a所示的刚架，试做出弯矩图。
1.确立基本未知量
共有两个未知量----刚结点C的转角θC和横梁CD的水平线位移。
2.成立各杆的转角位移方程
3.成立位移基本方程，求解基本未知量
取结点C为隔绝体，列力矩均衡方程得
为了成立与独立线位移的相应的均衡方程，分别取AC、BD杆为隔绝体（图7-6d、e），
求出FQCA和FQDB
成立与独立线位移相应的均衡方程，取横梁CD为隔绝体（图7-6c），列水平投影均衡
方程
经过基本方程求解基本未知量
4.计算杆端弯矩
5.画弯矩图（图7-6f）
一般说来，在位移法的基本未知量中，每一个转角有一个相应的结点力矩均衡方程，每
一个独立结点线位移有一个相应的截面均衡方程，均衡方程的个数与基本未知量的个数相等，正好所有求解基本未知量。
§7-5位移法的基本系统
一.教课目标
经过本节的学习，认识位移法的基本系统与典型方程的物理意义和解法，能够应用基本
系统进行内力剖析。
二.主要内容
1.位移法基本系统的观点
2.实例剖析
三.学习指导
本节的主要内容是位移法的基本系统，学习过程中，应与力法的基本系统相联系，着重
观点的理解，特别是有关的物理意义。
四.参照资料
《构造力学（Ⅰ）》P297～P301
位移法基本系统的观点
前面议论了鉴于转角位移方程的位移法基本运算，下边从基本系统的角度说明其物理意
义。
在有侧移的刚架一节中议论了图7-7a所示的刚架，下边以此为例介绍位移法的基本系统，目的是能够进行互相比较。
图7-7
为了一致，将未知量都用表示，以便于与力法中的基本未知量X相比较。
构造的基本系统（图7-7b），在刚结点C增添刚臂拘束控制结点C的转角，在结点D加水平支杆控制结点D的水平位移。
与此同时，结点B不可以转动，结点C的不可以挪动，这个超静定构造称为位移法的基本构造（图7-7c）。
此刻利用基本系统来成立基本方程。
1.控制附带拘束，使结点位移1和2所有为零，构造处于锁住状态，施加荷载，可求出构造的内力，同时在附带拘束中产生反力F1P和F2P。
这些拘束力在原构造中是没有的。
2.再控制附带拘束，使控制点发生位移假如位移与原构造相同，则附带拘束反力完整消逝，
附带拘束不起作用，基本系统与原构造完整相同。
由此得出基本系统转变成原构造的条件：
基本构造在给定荷载以及结点位移1和2共同作用下，附带拘束反力应等于零。
即
F1=0
F2=0
利用叠加原理进行计算
1.荷载独自作用----相应的反力F1P和F2P（图7-8a）。
2.单位位移1=1独自作用----相应的拘束力k11和k21（图7-8b）。
3.单位位移
=1独自作用----相应的拘束力k
21
和k（图7-8c）。
2
22
图7-8
叠加以上结果即可获得位移法的基本方程
物理意义是基本系统应该处于放松状态,附带拘束力应所有为零。
一般情况为
以上就是位移法的典型方程,其系数矩阵称为构造的刚度矩阵
经过反力互等定律得出
可知构造的刚度矩阵为对称矩阵。
kij=kji
实例剖析
下边将应用基本系统的思想，剖析图7-7a所示的构造。
1.基本构造在荷载作用下的计算
图7-8
做基本构造在荷载作用下的弯矩图（图7-8a），利用结点C和横梁的均衡条件（图7-8b、c），
求出
F1P=3kNm·
F2P=-3kN
2.基本构造在单位转角1=1作用下的计算
图7-9
当基本构造在结点C发生转角1
时
作弯矩图
1图
，利用结点
C
和横梁的均衡条
=1
M（
7-9a）
件（图7-9b、c），求出
k11=7i
k21=-i
2.基本构造在单位水平位移2=1作用下的计算
图7-10
3.当基本构造在结点C、D发生线位移2=1时,作弯矩图M2（图7-10a），利用结点C和横梁的均衡条件（图7-10b、c），求出
k12=-i
k22=5i/12
4.诸位移法基本方程,并求解出结点位移
利用叠加原理
作出弯矩图
§7-6对称构造的计算
一.教课目标
经过本节的学习，正确理解半构造法，进而选择适合的半构造进行简化计算，能够充分
应用对称性质，求解对称构造。
二.主要内容
1.奇数跨对称构造
2.偶数跨对称构造三.学习指导
对称的连续粱和刚架构造在工程中有宽泛的应用。
作用于对称构造上的随意荷载，能够分为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。
在对称荷载作用下：
变形是对称的；弯矩图和轴力争是对称的；而剪力争是反对称的。
在反对称荷载作用下：
变形是反对称的；弯矩图和轴力争是反对称的；而剪力争是对称
的。
利用这些结论，计算对称的连续粱和刚架时，只需计算构造的半边构造。
因为构造的计算仍采使劲法或位移法，所以本节主要议论半边构造的取法。
对称构造是工程中应用许多的构造，要正确理解对称构造的性质，掌握对称构造不一样荷载作用下的应用条件，掌握的重点是将对称构造进行简化，进而达到计算简化的目的。
四.参照资料
《构造力学（Ⅰ）》P302～P306
奇数跨对称构造
1.对称荷载
图7-11
图7-11a为一对称荷载作用下的单跨刚架，在对称轴上没有转角和水平位移，只有竖向位移，所以在计算中取半刚架图7-11b，C取为滑动支承端。
2.反对称荷载
图7-12
图7-12a为一反对称荷载作用下的单跨刚架，在对称轴上没有竖向位移，可有转角和水平位移，所以在计算中取半刚架图7-12b，C端取辊轴支座。
奇数跨构造的简化是在对称轴上分别取滑动支座（对称荷载）或辊轴支座（反对称荷载）。
下边议论双跨的状况
偶数跨对称构造
1.对称荷载
图7-13
图7-13a为一对称荷载作用下的双跨刚架，在对称轴上没有转角和水平位移，柱
有弯矩和剪力，不计轴向变形，所以在计算中取半刚架图8-13b，C端为固定支座。
CD
没
2.反对称荷载
图7-14
图7-14a为一反对称荷载作用下的双跨刚架，在对称轴上没有轴力和轴向变形，在计算
中取半刚架图8-12b的形式，对称截面处的立柱的轴惯性矩取本来的一半I/2。
双跨构造的简化是在对称轴上取不一样的支座拘束，同时在对称荷载和反对称荷载作用下
的构造也不相同。
要注意差别。
§7-7小结
位移法是以刚结点的转角和独立结点线位移为基本未知量，其未知量的数量与超静定的
次数没关，所以，对于超静定次数较高而结点位移数量较少的构造用位移法比较方便。
在位移法中，是以均衡方程为基本方程进行求解基本未知量。
对一个刚结点有一个转角
未知量，对应有一个刚结点力矩均衡方程。
对每一个独立的结点线位移，能够有一个截面平
衡方程，所以未知数与方程数是相互相同的。
位移法的基本解题步骤为：
1.确立基本未知量
2.成立各杆的转角位移方程
3.成立位移法的基本方程
4.计算各杆的杆端弯矩
5.画弯矩图
确立构造上的基本未知量以及写出各个杆件的转角位移方程是位移法的重点。
对称构造的计算，能够取半构造进行。
重点
升级会员 