八年级数学下册 第1章 直角三角形 12 直角三角形的性质与判定Ⅱ第3课时 勾股定理的逆定理练.docx

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八年级数学下册第1章直角三角形12直角三角形的性质与判定Ⅱ第3课时勾股定理的逆定理练

课时作业（五）

[1.2　第3课时　勾股定理的逆定理]　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题

1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）

A．a＝1，b＝2，c＝2　　B．a＝2，b＝3，c＝4

C．a＝2，b＝4，c＝5　　D．a＝3，b＝4，c＝5

2．若△ABC的三边a，b，c满足（a－c）（a2＋b2－c2）＝0，则△ABC是（　　）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图K－5－1，其中正确的是（　　）

图K－5－1

4．如图K－5－2，在正方形网格中有一个△ABC，若小方格的边长均为1，则△ABC是（　　）

图K－5－2

A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．以上答案都不正确

5．xx·长沙我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：

“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？

”这道题讲的是：

有一块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？

题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为（　　）

A．7.5平方千米

B．15平方千米

C．75平方千米

D．750平方千米

二、填空题

6．xx·益阳如图K－5－3，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB边上的中线．则

CD＝________．

图K－5－3

7．如果△ABC的三边长分别为5，12，x，那么当x为______时，△ABC是直角三角形．

三、解答题

8．根据三角形的三边a，b，c的长，判断三角形是不是直角三角形．

（1）a＝11，b＝60，c＝61；

（2）a＝

，b＝1，c＝

.

9．如图K－5－4，在△ABC中，CD是AB边上的高，AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm.

（1）求△ABC的面积；

（2）求CD的长；

（3）若BE是△ABC的边AC上的中线，求△ABE的面积．

图K－5－4

10．如图K－5－5，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC＝4，AC＝2，AD＝2

.

（1）求∠C的度数；

（2）求AB的长．

图K－5－5

11．如图K－5－6，小明的爸爸在鱼池边开垦了一块四边形土地种植一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便计算产量．小明找来一卷米尺，测得AD＝3m，AB＝4m，∠BAD＝90°，BC＝12m，CD＝13m．请你帮小明计算四边形ABCD的面积.

图K－5－6

12．图K－5－7是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝11m，AD＝BC＝6m，AC＝12m，请你帮他看一下挖的是否合格．

图K－5－7

13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状．

阅读理解题根据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5.后人概括为“勾三、股四、弦五”．

（1）观察：

①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；…；发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且

×（9－1）＝4，

×（9＋1）＝5，

×（25－1）＝12，

×（25＋1）＝13.

发现规律：

当勾＝n（n≥3，且n为奇数）时，股＝

（n2－1），弦＝

（n2＋1），分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；

（2）根据

（1）的规律，用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合理猜想它们之间的两种等量关系，并对其中一种猜想加以证明；

（3）继续观察①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；…；可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用含m（m为偶数，且m≥6）的代数式来表示它们的股和弦．

详解详析

课堂达标

1．[解析]D　∵12＋22≠22，

∴长为1，2，2的线段不能组成直角三角形；

∵22＋32≠42，∴长为2，3，4的线段不能组成直角三角形；

∵22＋42≠52，

∴长为2，4，5的线段不能组成直角三角形；

∵32＋42＝52，

∴长为3，4，5的线段能组成直角三角形．故选D.

2．[解析]C　∵（a－c）（a2＋b2－c2）＝0，

∴a－c＝0或a2＋b2－c2＝0，

则a＝c或a2＋b2＝c2，

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，

故选C.

3．C

4．[解析]A　利用勾股定理求出AC＝

，AB＝

，BC＝

，所以有AC2＋AB2＝BC2，所以△ABC是直角三角形．

5．[解析]A　∵52＋122＝132，∴这个三角形为直角三角形．又∵5里＝5×500米＝2500米＝2.5千米，12里＝12×500米＝6000米＝6千米，∴S＝

×6×2.5＝7.5（平方千米）．

6．[答案]6.5

[解析]∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2＋BC2＝52＋122＝169，AB2＝169，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形．∵CD是AB边上的中线，∴CD＝

AB＝6.5.

7．[答案]

或13

[解析]若5，12，x中，x最大，

则x2＝52＋122，

即当x＝13时，△ABC为直角三角形；

若5，12，x中，12最大，

则122＝x2＋52，

即当x＝

时，△ABC为直角三角形．

[点评]此题要注意将x分别作为直角边长和斜边长进行分类讨论．

8．解：

（1）∵a

∴三角形是直角三角形．

（2）∵a

＋12＝

，c2＝

，

∴a2＋b2≠c2，∴三角形不是直角三角形．

9．解：

（1）∵AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，

∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90°，

∴S△ABC＝

AC·BC＝

×6×8＝24（cm2）．

∴△ABC的面积为24cm2.

（2）∵S△ABC＝

AB·CD＝24cm2，

∴CD＝4.8cm.

（3）∵BE是△ABC的边AC上的中线，

∴AE＝CE，

∴S△ABE＝S△BCE＝

S△ABC＝12cm2，

∴△ABE的面积为12cm2.

10．解：

（1）∵AD是BC边上的中线，

∴BD＝CD＝2.

∵AC＝2，AD＝2

，22＋22＝（2

）2，

∴CD2＋AC2＝AD2，∴∠C＝90°.

（2）∵∠C＝90°，

∴△ABC是直角三角形，

∴AB＝

，

即AB＝

，∴AB＝2

.

11．解：

连接BD.

在△ABD中，∵AD＝3m，AB＝4m，

∠BAD＝90°，

根据勾股定理，得

BD＝

＝

＝5（m）．

在△BCD中，∵BD＝5m，BC＝12m，

CD＝13m，

∴BD2＋BC2＝CD2，

∴△BCD是直角三角形，

∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝

×3×4＋

×5×12＝36（m2）．

12．解：

∵AD2＋DC2＝62＋112＝157，

AC2＝122＝144，

∴AD2＋DC2≠AC2，

∴△ADC不是直角三角形，

∴∠ADC≠90°.

而按标准应为长方形，四个角应都为直角，

∴该农民挖的不合格．

13．[解析]若能求出a，b，c的值，则可判断它是不是特殊的三角形．移项使等式右边为零，左边利用“配方法”可整理为几个非负数的和，即可求出a，b，c的值，从而判定△ABC的形状．

解：

原式变形为

a2＋b2＋c2－10a－24b－26c＋338＝0，

即（a2－10a＋25）＋（b2－24b＋144）＋（c2－26c＋169）＝0，

∴（a－5）2＋（b－12）2＋（c－13）2＝0，

∴a＝5，b＝12，c＝13，

∴c2＝a2＋b2，

故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.

素养提升

解：

（1）7，24，25的股的算式是

×（49－1）＝

×（72－1）＝24，弦的算式是

×（49＋1）＝

×（72＋1）＝25.

（2）当n为奇数，且n≥3时，勾、股、弦的代数式分别是n，

（n2－1），

（n2＋1）．

猜想关系式1：

弦－股＝1；

关系式2：

勾2＋股2＝弦2.

例如证明关系式1：

弦－股＝

（n2＋1）－

（n2－1）＝1.

或证明关系式2：

勾2＋股2＝n2＋

＝

n4＋

n2＋

＝

（n2＋1）2＝弦2，∴猜想成立．

（3）当m为偶数，且m≥6时，股、弦的代数式分别是

－1，

＋1.

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