实际
工作中，凡是不能或者不愿作连续监测时就会遇到这样的区间删失。
区间删失分两种：
第一类区间删失（Case I Interval censoring）和第二类区间删失（Case II
Interval censoring）。
当对个体只进行一次观察，且个体的确切生存时间不知道，只知道其生存时间是否大于观
察时间（即 L = 0 或 R = ∞ ），这种删失称为第一类区间删失，也称为现实状况数据
（Current data）。
当对个体进行次观察，其观察时间 L 和 R满足 0 < L < R < ∞ 时，这种
删失称为第二类区间删失，也称为一般区间删失。
如果初始时间（如艾滋病感染时间）和发生时间均为区间删失，则称生存时间为双重区间
删失（Double interval censoring）。
三、截断（Truncation）
在研究或者观测中，淘汰了一些对象（样本），使得研究者“意识不到他们的存在”。
对截断
数据的分析构造似然采用条件分布。
截断包括两种：
左截断（Left truncation）和右截断（Right truncation）。
1、左截断（Left Truncation）：
只有个体经历某种初始事件以后才能观察到其生存时间，
称为左截断（Left truncation），此时获得的数据称为左截断数据（Left-truncated data）
例如：
暴露于某疾病、发生死亡前的中间事件等。
退休中心老年居民死亡时间（没到年龄
没有进入观测）
左截断与左删失的区别：
在左截断的研究中，根本没有考虑那些在进入研究之前已经经历
了感兴趣时间的个体，而在左删失的研究中，我们能获得这些个体的部分信息。
即有左截断又存在右删失的情况，称为左截断右删失（Left-truncation and right-censoring）
2、右截断（Right Truncation）
只有经历了某种终止事件才能观察到生存时间（将要经历该事件的个体不包含在实验样本
中），称为右截断（Righttruncation），此时获得的数据称为右截断数据（Right-truncated
data）。
例如：
对艾滋病感染和发病时间观测数据，有些个体感染病毒但尚未发病，这样的个体不
在样本范围之内。
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3、截断的数学表示
设 Y 是一个非负的表示生存时间的随机变量；T 是另外一个表示截断时间的随机变量。
在左截断下，只有当 Y ≥ T 时，才能观察到 T 和 Y；在左截断下，只有当 Y ≤ T 时，才能
观察到 T 和 Y。
第三章 基本函数和模型
一、生存函数（Survival Function）
描述生存时间统计特征的基本函数,也叫生存率（Survival Rate） ：
设 T 表示生存时间，F（t）
0
为 T 分布函数,生存函数定义为：
S （t） = P（T > t） = 1 - F （t），< T < ∞
生存函数性质：
非增函数。
满足
x→0+
S （0+ ） = lim S （x） = 1
S （+∞） = lim S （x） = 0
x→∞
当生存时间为连续型随机变量时：
∞
S （t） = P（T > t） = 1 - F （t） = ⎰ f （u）du
t
f （t） = -S ' （t） = -
dS （t）
dt
生存函数 S （t） 的图像叫做生存曲线（Survival Curve），如下图：
陡峭的生存曲线表示较低的生产率或较短的生存时间；平缓的生存曲线表示较高的生存率
或较长的生存时间。
离散生存时间产生于舍入操作将失效（或死亡）时间分组从区间和寿命用整数计量等。
离散时间生存函数是非增的阶梯函数，当 T取值为 a1 < a2 < L ，且
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f （ai ） = P（T = ai ），i = 1,2,L ， S （t） = ∑ P（T = ai ） = ∑ f （ai ）, i = 1,2,L
ai >tai >t
离散时间生存函数是非增的阶梯函数
二、危险率函数（Hazard Function）：
危险率函数：
描述观察个体在某时刻存活条件下，在以后的单位时间内死亡的（条件）概
率：
λ（t） = lim
h→0+
P（T < t + h T ≥ t
h
当 T 连续
λ（t） =
f （t）
S （t）
= -
d ln[S （t）]
dt
；
当 T离散，取值为 a1 < a2 < L ， f （ai ） = P（T = ai ），i = 1,2,L ，则 ai 处的危险率为
λi = P（T = ai T ≥ ai ）=
f （ai ）
S （ai-1 ）
=
S （ai-1 ） - S （ai ）
S （ai-1 ）
= 1 -
S （ai ）
S （ai-1 ）
i = 1,2,L
=∏ （1 -λi ）
S （t） = ∏
ai ≤t
S （ai ）
S （ai-1 ） ai ≤t
危险率函数在工程上叫做失效率函数或损坏函数，在生存分析和医学统计中又称为风险率
函数
或瞬时死亡率（Simultaneousdeathrate）、或死亡强度（Deathintensity）、或条件死亡率
（Conditional death rate）、或年龄死亡率（Age death rate）等。
常见风险函数曲线
09 统计学【经济分析】2 班 吕嘉琦 320091213046
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三、累积风险函数（Cumulative Hazard Function）
（t ）= ⎰λ （u ）du
累积危险率函数：
Λ
t
当 T 连续，
Λ（ ）= - ln[S （ ）]
⎡ t ⎤
⎣ 0 ⎦
当 T 离散时，危险率函数有两种定义形式：
Λ（ ）=
∑ λ
i ai ≤t
i
Λ（ ）=
∑ ln 1 -λi ）
i ai ≤t
如果 λi 的值很小，两种定义形式的值接近
四、平均剩余寿命函数（Expected residual life）
平均剩余寿命函数定义为：
r（ ）= E T - t T > t ）=
∞
t
r（0）为平均寿命。
五、常用的参数模型
生存时间的分布一般不呈正态分布。
常用的分布有：
指数分布、威布尔（Weibull）分布、
伽玛（Gamma）分布、对数罗吉斯蒂（logistic）分布、对数正态分布。
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生存函数形式为：
s（ ）= exp[ （λ t ） ]λ > 0,α> 0
危险率函数为：
λ （t ）=λα（λ t ）
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1、指数分布
t,
t
t
生存函数形式为：
s（ ）= exp（- λt ） λ > 0, t > 0
密度函数为：
f （ ）= λ exp（- λt ）
危险率函数为：
λ（ ）= λ
指数分布的一个重要性质：
无记忆性（某事件的发生时间与历史记录无关），即
（
P T ≥ t + h T ≥ t ）= P（T ≥ t ）
2、威布尔（Weibull）分布
α
其中 λ 是尺度参数，α 是形状参数，α = 1时为指数分布。
α -1
适用于危险率递增（取α > 1）、递减（取α < 1）和为常数（取α = 1）等各种情形。
3、伽玛（Gamma）分布
生存函数：
s（ ）=
⎡λt ⎤
⎣ 0
Γ（β ）
其中 Γ（β ）= u
∞
⎰
0
β -1
exp（- u）du 称为伽玛函数。
第四章 生存数据基本特征的非参数估计
一、生存函数的估计
假设事件发生在 D 个严格区分的时间点上：
t < t2 < L < tD
） t
在无删失条件下:
S （ ）=
生存时间 > t的个数
个体总数
二、右删失生存函数的估计：
S （ i ）=⋅L⋅ S （ 0 ）
S （ i ）= P T > ti T ≥ ti ）P T > ti-1 T ≥ ti-1 ）L P T > t2 T ≥ t2 ）P T > t1 T ≥ t1 ）
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）
存在右删失下：
P T > ti T ≥ ti =
Yi - di
Yi
i = 1,2,L , D
Gill（1980）建议最大观察时间点以后的生存函数 S （t ）= S （tmax ），即假设最大时间点上的
Yi :
时刻ti面临危险的个体数；di :
时刻ti失效个体数
三、乘积限（product-limit）估计
乘积限估计又称 Kaplan-Meier 估计
）⎪
S （ti ） = ⎨di
⎩ tii
阶梯函数，在观察时间点上发生跳跃；
跳跃的高度 ti 与上发生的事件数和 ti 前删失数有关；超出观测上限的时间没有给出很好的
估计。
四、乘积限估计尾部修正
Efron（1967）建议最大观察时间点以后的生存函数等于 0，即等价于假定最大时间点上的
生存者马上就会死亡。
（负偏估计）
））
生存者永远不会死。
（正偏估计）
Brown、Hollander 和 Kowar（1974）建议尾部估计为一条指数曲线，即
））
五、乘积限估计的方差
2
六、生存函数点估计的置信区间
利用渐进正态性的线性置信区间：
（） （ ）- Z
1-
α
2
）
1-
2
其他变换形式的非线性置信区间
对数变换 反正弦平方根
七、累积死亡率的估计
无删失条件下危险率函数的估计：
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λ （t ）=
）
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在时间t开始的区间中死亡的个数
在时间t存活着的个体数 ⨯区间宽度
有删失条件下累计死亡率估计：
tt
1.直接利用累积死亡率与生存函数的关系：
Λ（ ）= - ln[S （ ）]
2.Nelson-Aalen 估计为
⎧ 0,t < t1
⎪
t ≥ t1
⎩ tii
2
ti≤t i
di
具有更好的小样本性质
Nelson-Aalen 估计的应用
1）用于选择事件发生时间的参数模型
2）为危险率提供粗估计（对估计进行核平滑后计算斜率）
八、累积死亡力函数的置信区间
线性置信区间：
Λ（ ）- Z
1-
α
2
1-
2
平均生存时间：
μ= S （t ）dt
估计式为：
μ ˆτ = Sˆ（t ）dt
其他变换形式的非线性置信区间
对数变换区间 反正弦平方根变化区间
注：
1、乘积限估计和 Nelson-Aalen 估计都是建立在非信息删失（non-informative censoring）假
设下
2、乘积限估计的尾部估计：
a）取 0；b）取最大观测点的值；c）构造指数曲线
））
3、无删失时，乘积限估计即为经验生存函数
九、生命时间均值的估计
∞
⎰
0
τ
⎰
0
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）
i=1 i i i
2
i
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十、左截断右删失数据生存函数的估计
只有生存到某时刻之后才能进入观察
乘积限估计（独立截断下是最大似然估计）
~⎡d ⎤
ti≤t ⎣Yi ⎦
Yi :
在时刻ti之前进入区研究，且至少被研究到ti的个体数；
di :
在时刻ti时死亡的个体数。
Lai 和 Ying（1991）修正乘积限估计：
（当风险集较小时忽略此处的死亡）
~⎧d
ti≤t ⎩Yi
十一、左删失数据生存函数估计
利用“时间倒转法”：
即不是从原点处测量时间，而是从很大的一个时间τ 倒着从相反的方向测量，用时间τ
减去原始时间，得到右删失数据结构，利用乘积限估计式估计
τ
P（ - X > t ）= P（X < τ - t ）
纯粹左删失情况很少见。
十二、同时存在左、右删失情况
设 0 =t1< t2 < L < tm 为观察时间点，
d j 表示 t j 时的死亡数， rj 表示 t j 时的右删失数，
c j 表示 t j 时的左删失数，则生存函数的迭代估计步骤为：
t j
步骤 0：
忽略左删失获得乘积限估计作为 S0 （）的初始估计；
（j ≤ i）
步骤（K+1）1：
使用 S 的当前估计值通过估计 pij = P[]
步骤（K+1）2：
使用上一步骤的结果，估计在 t j 时发生的事件数为 d j = d j +
m
i= j
i
ij
步骤（K+1）3：
使用上一步修正后的右删失数据，仍然忽略左删失计算乘积限估计。
如
09 统计学【经济分析】2 班 吕嘉琦 3200912130411
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tt
果这一估计在所有 t j 处都有 SK+1（ ）接近 SK （ ），则停止迭代，否则继续步骤 1。
十三、右截断数据生成函数的估计
传染病的研究中比较常见。
设 Ti 代表第 i 个个体被传染的时间， X i 是从感染到发病的时间。
研究样本包含从 0 到τ 期间病人的观测值 （Ti , X i ）.（只有在时间τ 之前发病的人才进入研
究）。
利用颠倒时间轴法：
令 Ri = τ - X i 则变为 Ri 左截断的，便可构造
P（R > t R ≥ 0）= P（X < τ - t X ≤ τ ）的乘积限估计式。
十四、生命表中生存函数的估计
生命表（也称寿命表，lifetable）方法是测定死亡率和描述群体生存现象的最古老的技术之
一。
主要用于保险精算、人口学、医学等方面。
一组（大规模）个体在整个考察时间上被连续观察，它们的事件发生时间或删失时间被记
入
a（
k + 1个相邻但不重叠的区间内 [ j-1, a j ） j = 1,L , k + 1）
2. 第二列给出进入第 j 个区间的对象数 Yj ，这些个体还没有经历观察事件的发生。
间在区间上是均匀分布的，则 Yj = Yi - W j / 2
根据生命表方法应用的范围不同，可分为人口生命表和临床生命表，分析方法相似。
生命表方法数据假设
（1）独立删失：
假定删失的事件时间（包括损失和退出）与它们如果一直被观察到事件发
生所得到的死亡时间是独立的。
（2）假定删失时间和死亡时间是均匀分布在每个区间上的。
（3）假定死亡力在区间内是常数。
生命表的构造方法
1. 第一列给出相邻但不重叠的固定区间
a（,
Ii = [ j-1, a j ） j = 1,L , k + 1） a0 = 0, ak+1 = ∞ 事件发生时间和删失时间将落入且只落入其
中的一个区间。
'
3. 第三列给出在第 j 个区间中失去踪迹（死亡）或活着退出观察（迁出）的个体数W j
4. 第四列给出在第 j 个区间中，面临观察事件风险的暴露数 Yj 的一个估计值，假设删失时
'
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5. 第五列是在第 j 个区间中发生观察事件（如死亡）的个体数 d j
6.
）
S （ j ）= S （ j-1 [ ]= ∏ （ - d j / Yj ）
且
j
i=1
ˆ a
生命表分析的主要任务就是估计 S （ j ），基本思想：
乘积限方法。
f a,a j + a j-1 /
7. 第七列给出估计的第 j 个区间中点处的概率密度函数 ˆ （ mj ）其中 amj
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