实际
工作中,凡是不能或者不愿作连续监测时就会遇到这样的区间删失。
区间删失分两种:
第一类区间删失(Case I Interval censoring)和第二类区间删失(Case II
Interval censoring)。
当对个体只进行一次观察,且个体的确切生存时间不知道,只知道其生存时间是否大于观
察时间(即 L = 0 或 R = ∞ ),这种删失称为第一类区间删失,也称为现实状况数据
(Current data)。
当对个体进行次观察,其观察时间 L 和 R满足 0 < L < R < ∞ 时,这种
删失称为第二类区间删失,也称为一般区间删失。
如果初始时间(如艾滋病感染时间)和发生时间均为区间删失,则称生存时间为双重区间
删失(Double interval censoring)。
三、截断(Truncation)
在研究或者观测中,淘汰了一些对象(样本),使得研究者“意识不到他们的存在”。
对截断
数据的分析构造似然采用条件分布。
截断包括两种:
左截断(Left truncation)和右截断(Right truncation)。
1、左截断(Left Truncation):
只有个体经历某种初始事件以后才能观察到其生存时间,
称为左截断(Left truncation),此时获得的数据称为左截断数据(Left-truncated data)
例如:
暴露于某疾病、发生死亡前的中间事件等。
退休中心老年居民死亡时间(没到年龄
没有进入观测)
左截断与左删失的区别:
在左截断的研究中,根本没有考虑那些在进入研究之前已经经历
了感兴趣时间的个体,而在左删失的研究中,我们能获得这些个体的部分信息。
即有左截断又存在右删失的情况,称为左截断右删失(Left-truncation and right-censoring)
2、右截断(Right Truncation)
只有经历了某种终止事件才能观察到生存时间(将要经历该事件的个体不包含在实验样本
中),称为右截断(Righttruncation),此时获得的数据称为右截断数据(Right-truncated
data)。
例如:
对艾滋病感染和发病时间观测数据,有些个体感染病毒但尚未发病,这样的个体不
在样本范围之内。
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3、截断的数学表示
设 Y 是一个非负的表示生存时间的随机变量;T 是另外一个表示截断时间的随机变量。
在左截断下,只有当 Y ≥ T 时,才能观察到 T 和 Y;在左截断下,只有当 Y ≤ T 时,才能
观察到 T 和 Y。
第三章 基本函数和模型
一、生存函数(Survival Function)
描述生存时间统计特征的基本函数,也叫生存率(Survival Rate) :
设 T 表示生存时间,F(t)
0
为 T 分布函数,生存函数定义为:
S (t) = P(T > t) = 1 - F (t),< T < ∞
生存函数性质:
非增函数。
满足
x→0+
S (0+ ) = lim S (x) = 1
S (+∞) = lim S (x) = 0
x→∞
当生存时间为连续型随机变量时:
∞
S (t) = P(T > t) = 1 - F (t) = ⎰ f (u)du
t
f (t) = -S ' (t) = -
dS (t)
dt
生存函数 S (t) 的图像叫做生存曲线(Survival Curve),如下图:
陡峭的生存曲线表示较低的生产率或较短的生存时间;平缓的生存曲线表示较高的生存率
或较长的生存时间。
离散生存时间产生于舍入操作将失效(或死亡)时间分组从区间和寿命用整数计量等。
离散时间生存函数是非增的阶梯函数,当 T取值为 a1 < a2 < L ,且
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f (ai ) = P(T = ai ),i = 1,2,L , S (t) = ∑ P(T = ai ) = ∑ f (ai ), i = 1,2,L
ai >tai >t
离散时间生存函数是非增的阶梯函数
二、危险率函数(Hazard Function):
危险率函数:
描述观察个体在某时刻存活条件下,在以后的单位时间内死亡的(条件)概
率:
λ(t) = lim
h→0+
P(T < t + h T ≥ t
h
当 T 连续
λ(t) =
f (t)
S (t)
= -
d ln[S (t)]
dt
;
当 T离散,取值为 a1 < a2 < L , f (ai ) = P(T = ai ),i = 1,2,L ,则 ai 处的危险率为
λi = P(T = ai T ≥ ai )=
f (ai )
S (ai-1 )
=
S (ai-1 ) - S (ai )
S (ai-1 )
= 1 -
S (ai )
S (ai-1 )
i = 1,2,L
=∏ (1 -λi )
S (t) = ∏
ai ≤t
S (ai )
S (ai-1 ) ai ≤t
危险率函数在工程上叫做失效率函数或损坏函数,在生存分析和医学统计中又称为风险率
函数
或瞬时死亡率(Simultaneousdeathrate)、或死亡强度(Deathintensity)、或条件死亡率
(Conditional death rate)、或年龄死亡率(Age death rate)等。
常见风险函数曲线
09 统计学【经济分析】2 班 吕嘉琦 320091213046
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三、累积风险函数(Cumulative Hazard Function)
(t )= ⎰λ (u )du
累积危险率函数:
Λ
t
当 T 连续,
Λ( )= - ln[S ( )]
⎡ t ⎤
⎣ 0 ⎦
当 T 离散时,危险率函数有两种定义形式:
Λ( )=
∑ λ
i ai ≤t
i
Λ( )=
∑ ln 1 -λi )
i ai ≤t
如果 λi 的值很小,两种定义形式的值接近
四、平均剩余寿命函数(Expected residual life)
平均剩余寿命函数定义为:
r( )= E T - t T > t )=
∞
t
r(0)为平均寿命。
五、常用的参数模型
生存时间的分布一般不呈正态分布。
常用的分布有:
指数分布、威布尔(Weibull)分布、
伽玛(Gamma)分布、对数罗吉斯蒂(logistic)分布、对数正态分布。
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生存函数形式为:
s( )= exp[ (λ t ) ]λ > 0,α> 0
危险率函数为:
λ (t )=λα(λ t )
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1、指数分布
t,
t
t
生存函数形式为:
s( )= exp(- λt ) λ > 0, t > 0
密度函数为:
f ( )= λ exp(- λt )
危险率函数为:
λ( )= λ
指数分布的一个重要性质:
无记忆性(某事件的发生时间与历史记录无关),即
(
P T ≥ t + h T ≥ t )= P(T ≥ t )
2、威布尔(Weibull)分布
α
其中 λ 是尺度参数,α 是形状参数,α = 1时为指数分布。
α -1
适用于危险率递增(取α > 1)、递减(取α < 1)和为常数(取α = 1)等各种情形。
3、伽玛(Gamma)分布
生存函数:
s( )=
⎡λt ⎤
⎣ 0
Γ(β )
其中 Γ(β )= u
∞
⎰
0
β -1
exp(- u)du 称为伽玛函数。
第四章 生存数据基本特征的非参数估计
一、生存函数的估计
假设事件发生在 D 个严格区分的时间点上:
t < t2 < L < tD
) t
在无删失条件下:
S ( )=
生存时间 > t的个数
个体总数
二、右删失生存函数的估计:
S ( i )=⋅L⋅ S ( 0 )
S ( i )= P T > ti T ≥ ti )P T > ti-1 T ≥ ti-1 )L P T > t2 T ≥ t2 )P T > t1 T ≥ t1 )
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)
存在右删失下:
P T > ti T ≥ ti =
Yi - di
Yi
i = 1,2,L , D
Gill(1980)建议最大观察时间点以后的生存函数 S (t )= S (tmax ),即假设最大时间点上的
Yi :
时刻ti面临危险的个体数;di :
时刻ti失效个体数
三、乘积限(product-limit)估计
乘积限估计又称 Kaplan-Meier 估计
)⎪
S (ti ) = ⎨di
⎩ tii
阶梯函数,在观察时间点上发生跳跃;
跳跃的高度 ti 与上发生的事件数和 ti 前删失数有关;超出观测上限的时间没有给出很好的
估计。
四、乘积限估计尾部修正
Efron(1967)建议最大观察时间点以后的生存函数等于 0,即等价于假定最大时间点上的
生存者马上就会死亡。
(负偏估计)
))
生存者永远不会死。
(正偏估计)
Brown、Hollander 和 Kowar(1974)建议尾部估计为一条指数曲线,即
))
五、乘积限估计的方差
2
六、生存函数点估计的置信区间
利用渐进正态性的线性置信区间:
() ( )- Z
1-
α
2
)
1-
2
其他变换形式的非线性置信区间
对数变换 反正弦平方根
七、累积死亡率的估计
无删失条件下危险率函数的估计:
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λ (t )=
)
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在时间t开始的区间中死亡的个数
在时间t存活着的个体数 ⨯区间宽度
有删失条件下累计死亡率估计:
tt
1.直接利用累积死亡率与生存函数的关系:
Λ( )= - ln[S ( )]
2.Nelson-Aalen 估计为
⎧ 0,t < t1
⎪
t ≥ t1
⎩ tii
2
ti≤t i
di
具有更好的小样本性质
Nelson-Aalen 估计的应用
1)用于选择事件发生时间的参数模型
2)为危险率提供粗估计(对估计进行核平滑后计算斜率)
八、累积死亡力函数的置信区间
线性置信区间:
Λ( )- Z
1-
α
2
1-
2
平均生存时间:
μ= S (t )dt
估计式为:
μ ˆτ = Sˆ(t )dt
其他变换形式的非线性置信区间
对数变换区间 反正弦平方根变化区间
注:
1、乘积限估计和 Nelson-Aalen 估计都是建立在非信息删失(non-informative censoring)假
设下
2、乘积限估计的尾部估计:
a)取 0;b)取最大观测点的值;c)构造指数曲线
))
3、无删失时,乘积限估计即为经验生存函数
九、生命时间均值的估计
∞
⎰
0
τ
⎰
0
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)
i=1 i i i
2
i
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十、左截断右删失数据生存函数的估计
只有生存到某时刻之后才能进入观察
乘积限估计(独立截断下是最大似然估计)
~⎡d ⎤
ti≤t ⎣Yi ⎦
Yi :
在时刻ti之前进入区研究,且至少被研究到ti的个体数;
di :
在时刻ti时死亡的个体数。
Lai 和 Ying(1991)修正乘积限估计:
(当风险集较小时忽略此处的死亡)
~⎧d
ti≤t ⎩Yi
十一、左删失数据生存函数估计
利用“时间倒转法”:
即不是从原点处测量时间,而是从很大的一个时间τ 倒着从相反的方向测量,用时间τ
减去原始时间,得到右删失数据结构,利用乘积限估计式估计
τ
P( - X > t )= P(X < τ - t )
纯粹左删失情况很少见。
十二、同时存在左、右删失情况
设 0 =t1< t2 < L < tm 为观察时间点,
d j 表示 t j 时的死亡数, rj 表示 t j 时的右删失数,
c j 表示 t j 时的左删失数,则生存函数的迭代估计步骤为:
t j
步骤 0:
忽略左删失获得乘积限估计作为 S0 ()的初始估计;
(j ≤ i)
步骤(K+1)1:
使用 S 的当前估计值通过估计 pij = P[]
步骤(K+1)2:
使用上一步骤的结果,估计在 t j 时发生的事件数为 d j = d j +
m
i= j
i
ij
步骤(K+1)3:
使用上一步修正后的右删失数据,仍然忽略左删失计算乘积限估计。
如
09 统计学【经济分析】2 班 吕嘉琦 3200912130411
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tt
果这一估计在所有 t j 处都有 SK+1( )接近 SK ( ),则停止迭代,否则继续步骤 1。
十三、右截断数据生成函数的估计
传染病的研究中比较常见。
设 Ti 代表第 i 个个体被传染的时间, X i 是从感染到发病的时间。
研究样本包含从 0 到τ 期间病人的观测值 (Ti , X i ).(只有在时间τ 之前发病的人才进入研
究)。
利用颠倒时间轴法:
令 Ri = τ - X i 则变为 Ri 左截断的,便可构造
P(R > t R ≥ 0)= P(X < τ - t X ≤ τ )的乘积限估计式。
十四、生命表中生存函数的估计
生命表(也称寿命表,lifetable)方法是测定死亡率和描述群体生存现象的最古老的技术之
一。
主要用于保险精算、人口学、医学等方面。
一组(大规模)个体在整个考察时间上被连续观察,它们的事件发生时间或删失时间被记
入
a(
k + 1个相邻但不重叠的区间内 [ j-1, a j ) j = 1,L , k + 1)
2. 第二列给出进入第 j 个区间的对象数 Yj ,这些个体还没有经历观察事件的发生。
间在区间上是均匀分布的,则 Yj = Yi - W j / 2
根据生命表方法应用的范围不同,可分为人口生命表和临床生命表,分析方法相似。
生命表方法数据假设
(1)独立删失:
假定删失的事件时间(包括损失和退出)与它们如果一直被观察到事件发
生所得到的死亡时间是独立的。
(2)假定删失时间和死亡时间是均匀分布在每个区间上的。
(3)假定死亡力在区间内是常数。
生命表的构造方法
1. 第一列给出相邻但不重叠的固定区间
a(,
Ii = [ j-1, a j ) j = 1,L , k + 1) a0 = 0, ak+1 = ∞ 事件发生时间和删失时间将落入且只落入其
中的一个区间。
'
3. 第三列给出在第 j 个区间中失去踪迹(死亡)或活着退出观察(迁出)的个体数W j
4. 第四列给出在第 j 个区间中,面临观察事件风险的暴露数 Yj 的一个估计值,假设删失时
'
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5. 第五列是在第 j 个区间中发生观察事件(如死亡)的个体数 d j
6.
)
S ( j )= S ( j-1 [ ]= ∏ ( - d j / Yj )
且
j
i=1
ˆ a
生命表分析的主要任务就是估计 S ( j ),基本思想:
乘积限方法。
f a,a j + a j-1 /
7. 第七列给出估计的第 j 个区间中点处的概率密度函数 ˆ ( mj )其中 amj