目标规划典型例习题doc.docx
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目标规划典型例习题doc
§6.4主要解题方法和典型例题分析
题型I目标规划数学模型的建立
当线性规划问题有多个目标需要满足时，就可以通过建立目标规划数学模型
来描述。
目标规划数学模型的建立步骤为：
第一步，确定决策变量；第二步，确
定各目标的优先因子；第三步，写出硬约束和软约束；第四步，确定目标函数。
例6-1某公司生产甲、乙两种产品，分别经由I、II两个车间生产。
已知除
外购外，生产一件甲产品需要I车间加工4小时，II车间装配2小时，生产一件
乙产品需I车间加工1小时，II车间装配3小时，这两种产品生产出来以后均需
经过检验、销售等环节。
已知每件甲产品的检验销售费用需40元，每件乙产品
的检验销售费用需50元。
I车间每月可利用的工时为150小时，每小时的费用为
80元；II车间每月可利用的工时为200小时，每小时的费用为20元，估计下一
年度平均每月可销售甲产品100台，乙产品80台。
公司根据这些实际情况定出
月度计划的目标如下：
P1：
检验和销售费用每月不超过6000元；
P2：
每月售出甲产品不少于100件；
P3：
I、II两车间的生产工时应该得到充分利用；
P4：
I车间加班时间不超过30小时；
P5：
每月乙产品的销售不少于80件。
试确定该公司为完成上述目标应制定的月度生产计划，建立其目标规划模型。
解：
先建立目标规划的数学模型。
设x1为每月计划生产的甲产品件数，x2
为每月生产的乙产品的件数。
根据题目中给出的优先等级条件，有以下目标及约
束：
（1）检验及销售费用目标及约束
min（d）
1
；
40x50xdd6000
1211
（2）每月甲产品的销售目标及约束
min（d）
2
xdd
122
；
100
（3）I、II两车间工时利用情况目标及约束
I车间
min（d）
3
4xxdd150
1233
，II车间
min（d）
4
x3xdd200
1244
（4）I车间加班时间目标及约束
min（d）
5
ddd
355
30
1
（5）每月乙产品销售目标及约束
min（d）
6
xdd
266
80
根据优先等级层次，确定优先因子和权系数，得出目标规划的数学模型如下：
minZpdpdp（4dd）pdpd
11223344556
40x50xdd6000
1211
xdd
122
100
4xxdd150
1233
s.t.x3xdd200
1244
ddd
355
30
xdd
266
80
x,x0;di,di0;i1,,6
12
例6-2有三个产地向四个销地供应物资。
产地Ai（i=1,2,3）的供应量ai、销地
Bj（j=1,2,3,4）的需要量bj、各产销地之间的单位物资运费Cij如表5-1所示。
表中，
ai和bj的单位为吨，Cij的单位为元/吨。
编制调运方案时要求按照相应的优先级
依次考虑下列六个目标：
P1：
B4是重点保证单位，其需要量应尽可能全部满足；
P2：
A3向B1提供的物资不少于100吨；
P3：
每个销地得到的物资数量不少于其需要量的80%；
P4：
实际的总运费不超过当不考虑P1至P6各目标时的最小总运费的110%；
P5：
因路况原因，尽量避免安排A2的物资运往B4；
P6：
对B1和B3的供应率要尽可能相同；
试建立该问题的目标规划模型。
表6-1
Bj
cijB1B2B3B4ai
Ai
A15267300
A23546200
A34523400
bj200100450250
解：
设xij为从Ai运往Bj的运输量，首先求出当不考虑P1至P6各目标时的最小
总运费为2950元。
在各级目标中没有涉及到供应量，因此供应量构成硬约束：
x
11
x
12
x
13
x
14
300
x
21
x
22
x
23
x
24
200
x
31
x
32
x
33
x
34
400
2
根据各优先级目标，可写出相应的目标及目标约束。
P1：
B4是重点保证单位，其需要量应尽可能全部满足
min
d
1
x
14
x
24
x
34
d
1
d
1
250
P2：
A3向B1提供的物资不少于100吨
min
d
2
x
31
d
2
d
2
100
P3：
每个销地得到的物资数量不少于其需要量的80%
min（d
3
d
4
d
5
）
x
11
x
21
x
31
d
3
d
3
160
x
12
x
22
x
32
d
4
d
4
80
x
13
x
23
x
33
d
5
d
5
360
P4：
实际的总运费不超过当不考虑P1至P6各目标时的最小总运费的110%。
min
d
6
34
cijxdd
ij66
2950110%
i1j1
P5：
因路况原因，尽量避免安排A2的物资运往B4
min
d
7
x
24
d
7
d
7
0
P6：
对B1和B3的供应率要尽可能相同
min（
d
8
d
8
）
x
11
x
21
200
x
31
x
13
x
23
450
x
33
d
8
d
8
0
综上所述，将该问题列成优先目标规划模型：
3
min
z
1
d,
1
min
z
2
d
2
min
z
3
d
3
d
4
d
5
min
z
4
d
6
minzd
57
min
z
6
d
8
d
8
x
11
x
12
x
13
x
14
300
x
21
x
22
x
23
x200
24
x
31
x
32
x
33
x400
34
x
14
x
24
x
34
d
1
d
1
250
x
31
d
2
d
2
100
x
11
x
21
x
31
d
3
d
3
160
x
12
x
22
x
32
d
4
d
4
80
x
13
x
23
x
33
d
5
d
5
360
34
c
ij
x
ij
d
6
d
6
3245
i1j1
x
24
d
7
d
7
0
（
x
11
x
21
x）
31
200
300
（
x
13
x
23
x
33
）
d
8
d
8
0
题型II目标规划的图解法
目标规划的图解法就是通过图形来确定所给目标规划的满意解，虽然比较直
观，但因为是平面图，所以最多只能求解包含两个决策变量的目标规划问题。
其
解题步骤是：
第一步，建立直角坐标系，作出硬约束的限制区域；第二步，作出
其他约束条件当偏差变量为0时的图形，确定其它各约束条件的限制区域；第三
步，结合决策变量的可行范围，按优先因子考察各偏差变量的变化对目标函数的
影响，确定尽可能满足目标的满意解。
例6-3用图解法找出以下目标规划问题的满意解。
minZp（dd）p（2dd）
111223
x10xdd50
1211
s.t.
3x5xdd20
1222
8x6xdd100
1233
x,x,di,di0,i1,2,3
12
解：
第一步，因为本题没有硬约束，所以先作出偏差变量为0时，各目标约
束所确定的直线，如图5-1所示。
第二步，按优先因子考虑各偏差变量的变化对目标函数的影响，确定约束条
件所限定的x1,x2范围。
要满足
min（dd），只能在CD射线上取得满意解；显
11
4
然，在CD射线上，
p1（d1d1）0。
其次，在CD射线上使p2（2d2d3）达到极
小点的只能是C点。
第三步，确定满意解。
由图6-1可知，满意解为
**
x150,x20
x2
E
100/6
d
3
F
4
0
d
3
20/3
A
100/8
B
50
C
d
1
d
1
D
x1-10x2=50
x1
-5
d
2
d
2
3x1+5x2=20
8x1+6x2=100
图6-1
例6-4用图解法找出以下目标规划问题的满意解。
min
Zpdpdpd
121231
x2xdd10
1211
s.t.
10x12xdd62.4
1222
2xx8
12
x,x,di,d0,i1,2
122
解：
第一步，首先作出硬约束等式直线AB：
2x1x28
第二步，再作出偏差变量为0时，各目标约束所确定的直线DI和CH，如图
6-2所示。
第三步，按优先因子考虑各偏差变量的变化对目标函数的影响，确定约束条
件所限定的x1,x2范围。
要满足
min（dd），并且满足硬约束2x1x28所在范
22
围，只能在GC线段上取得满意解；而要满足
mind，满意解又只能是在CE线
1
段上。
第三步，确定满意解。
由图6-2可得满意解为C（0，5.2）和E（0.6，4.7）连
线上任一点。
5
x2
B
C
D
F
E
G
d
2
d
1
d
2
d
1
I
0
AHx1
2x1+x2=8x1+2x2=10
10x1+12x2=62.4
图6-2
题型III目标规划的单纯形法
例6-5用单纯形法求以下目标规划问题的满意解。
min
Zpdpdpd
121221
x2xdd10
1211
s.t.
10x12xdd62.4
1222
2xx8
12
x,x,di,di0,i1,2
12
解：
第一步，将原规划化为标准型
minZp（dd）pd
12221
x2xdd10
1211
s.t.
10x12xdd62.4
1222
2xxx8
123
x,x,x,d,d0,i1,2
123ii
第二步，取d1,d2,x3为初始基变量，列初始单纯形表，如表6-2所示。
表6-2
cj000P20P1P1
b
i
CBXBbx1x2x3d1d1d2d2
a
ik
i
P2d1101[2]01-10010/2
P1d262.410120001-162.4/12
0x3821100008/1
6
cj-zj
P1-10-1200002
P2-1-200100
第三步，取k=1，检查检验数的P1行的负数，取最小者-12对应的变量x2为
换入变量，并用最小比值原则确定换出变量为
d，见表6-3。
1
表6-3
cj000P20P1P1
b
i
CBXBbx1x2x3d1d1d2d2
a
ik
i
0x251/2101/2-1/200-
P1d22.4400-6[6]1-12.4/6
0x333/201-1/21/2003/（1/2）
cj-zj
P1-4006-602
P20001000
第四步，还是取k=1，检查检验数的P1行的负数，取最小值-6对应的变量
d
1
为换入变量，并用最小比值规则确定换出变量d2，见表6-4。
表6-4
cj000P20P1P1
b
i
CBXBbx1x2x3d1d1d2d2
a
ik
i
0x25.25/610001/12-1/12-
0d10.42/300-111/6-1/6
0x32.87/60100-1/121/12
cj-zj
P10000011
P20001000
第五步，检查检验数的P1行，P2行，都没有负数了，故得到满意解
*（0,5.2）T
x。
且因为非基变量x1的检验数为0，所以存在多重解。
例6-6用单纯形法求解下列目标规划问题。
minZp（2d3d）pdpd
1122433
xxdd
1211
10
xdd
122
4
s.t.5x3xdd56
1233
xxdd
1244
12
x,x,di,di0,i1,2,3,4
12
解：
第一步：
该问题已经化为标准形，以
d，d2，d3，d4为基变量，建立
1
7
初始单纯形表，如表6-5所示。
表6-5初始单纯性表
xb
B
x
1
x
2
d
1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
d
4
d
4
d
1
10111-1000000
d
2
4[1]0001-10000
d
3
565300001-100
d
4
12110000001-1
P10002030000
cj-zjP20000000001
P3-5-300000100
第二步：
在表6-5中，检验数矩阵中第一列、第二列均有负数，因此此表对
应的解不是满意解，需要进行迭代。
以
x为进基变量，
1
d为出基变量，进行基
2
变换运算，结果如表6-6所示。
表6-6第一次迭代表
xbx1x2d1d1d2d2d3d3d4d4
B
d
1
60[1]1-1-110000
x
1
410001-10000
d
3
360300-551-100
d
4
80100-11001-1
P10002030000
cj-zjP20000000001
P30-3005-50100
第三步：
在表5-6中，检验数矩阵中第二列仍有负数，以
x为进基变量，
2
d
1
为出基变量，进行基变换运算，结果如表6-7所示。
表6-7第二次迭代表
xbx1x2
B
dd1d2d2d3d3d4d4
1
x
2
60[1]1-1-110000
8
x
1
410001-10000
d
3
1800-33-221-100
d
4
200-1100001-1
P10002030000
cj-zjP20000000001
P3003-32-20100
第三步：
在表6-7中，检验数矩阵中每一列第一个非零元素均为非负数，因此
此表所对应的解为满意解。
满意解为
（x,x）（4,6），目标达到情况是：
第一级目
12
标
minZp（2d3d）0达到最优，第二级目标minZ2p2d40达到最优，
1112
第三级目标
minZpd18，没有达到最优。
333
9
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