目标规划典型例习题doc.docx

1、目标规划典型例习题doc 6.4 主要解题方法和典型例题分析题型 I 目标规划数学模型的建立当线性规划问题有多个目标需要满足时， 就可以通过建立目标规划数学模型来描述。目标规划数学模型的建立步骤为：第一步，确定决策变量；第二步，确定各目标的优先因子；第三步，写出硬约束和软约束；第四步，确定目标函数。例 6-1 某公司生产甲、乙两种产品，分别经由 I、II 两个车间生产。已知除外购外，生产一件甲产品需要 I 车间加工 4 小时，II 车间装配 2 小时，生产一件乙产品需 I 车间加工 1 小时，II 车间装配 3 小时，这两种产品生产出来以后均需经过检验、销售等环节。已知每件甲产品的检验销售费用

2、需 40 元，每件乙产品的检验销售费用需 50 元。I 车间每月可利用的工时为 150 小时，每小时的费用为80 元；II 车间每月可利用的工时为 200 小时，每小时的费用为 20 元，估计下一年度平均每月可销售甲产品 100 台，乙产品 80 台。公司根据这些实际情况定出月度计划的目标如下：P1：检验和销售费用每月不超过 6000 元；P2：每月售出甲产品不少于 100 件；P3：I、II 两车间的生产工时应该得到充分利用；P4：I 车间加班时间不超过 30小时；P5：每月乙产品的销售不少于 80 件。试确定该公司为完成上述目标应制定的月度生产计划，建立其目标规划模型。解：先建立目标规划的

3、数学模型。设 x1 为每月计划生产的甲产品件数， x2为每月生产的乙产品的件数。 根据题目中给出的优先等级条件， 有以下目标及约束：（1） 检验及销售费用目标及约束min(d )1；40x 50x d d 60001 2 1 1（2） 每月甲产品的销售目标及约束min( d )2x d d1 2 2；100（3） I、II 两车间工时利用情况目标及约束I 车间min( d )34x x d d 1501 2 3 3，II 车间min( d )4x 3x d d 2001 2 4 4（4） I 车间加班时间目标及约束min( d )5d d d3 5 5301（5） 每月乙产品销售目标及约束mi

4、n( d )6x d d2 6 680根据优先等级层次，确定优先因子和权系数，得出目标规划的数学模型如下 ：min Z p d p d p (4d d ) p d p d1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 640x 50x d d 60001 2 1 1x d d1 2 21004x x d d 1501 2 3 3s.t. x 3x d d 2001 2 4 4d d d3 5 530x d d2 6 680x ,x 0; di ,di 0;i 1, ,61 2例 6-2 有三个产地向四个销地供应物资。产地 Ai(i=1,2,3)的供应量 ai、销地Bj( j =1,2,3,4)的需要量

5、 bj、各产销地之间的单位物资运费 Cij 如表 5-1 所示。表中，ai 和 bj 的单位为吨， Cij 的单位为元 /吨。编制调运方案时要求按照相应的优先级依次考虑下列六个目标：P1：B4 是重点保证单位，其需要量应尽可能全部满足；P2：A3 向B1 提供的物资不少于 100吨；P3：每个销地得到的物资数量不少于其需要量的 80%；P4：实际的总运费不超过当不考虑 P1 至 P6各目标时的最小总运费的 110%；P5：因路况原因，尽量避免安排 A2 的物资运往 B4；P6：对 B1 和 B3 的供应率要尽可能相同；试建立该问题的目标规划模型。表 6-1Bjcij B1 B2 B3 B4 a

6、iA iA1 5 2 6 7 300A2 3 5 4 6 200A3 4 5 2 3 400bj 200 100 450 250解：设xij 为从 Ai 运往 Bj 的运输量， 首先求出当不考虑 P1 至 P6 各目标时的最小总运费为 2950 元。在各级目标中没有涉及到供应量，因此供应量构成硬约束：x11x12x13x14300x21x22x23x24200x31x32x33x344002根据各优先级目标，可写出相应的目标及目标约束。P1：B4 是重点保证单位，其需要量应尽可能全部满足mind1x14x24x34d1d1250P2：A3 向B1 提供的物资不少于 100吨mind2x31d2

7、d2100P3：每个销地得到的物资数量不少于其需要量的 80%min( d3d4d5)x11x21x31d3d3160x12x22x32d4d480x13x23x33d5d5360P4：实际的总运费不超过当不考虑 P1 至 P6各目标时的最小总运费的 110%。mind63 4cij x d dij 6 62950 110%i 1 j 1P5：因路况原因，尽量避免安排 A2 的物资运往 B4mind7x24d7d70P6：对 B1 和 B3 的供应率要尽可能相同min(d8d8)x11x21200x31x13x23450x33d8d80综上所述，将该问题列成优先目标规划模型：3minz1d ,

8、1minz2d2, minz3d3d4d5minz4d6, min z d5 7,minz6d8d8x11x12x13x14300x21x22x23x 20024x31x32x33x 40034x14x24x34d1d1250x31d2d2100x11x21x31d3d3160x12x22x32d4d480x13x23x33d5d53603 4cijxijd6d63245i 1 j 1x24d7d70(x11x21x )31200300(x13x23x33)d8d80题型 II 目标规划的图解法目标规划的图解法就是通过图形来确定所给目标规划的满意解， 虽然比较直观，但因为是平面图， 所以最多只

9、能求解包含两个决策变量的目标规划问题。 其解题步骤是：第一步，建立直角坐标系，作出硬约束的限制区域；第二步，作出其他约束条件当偏差变量为 0 时的图形， 确定其它各约束条件的限制区域； 第三步，结合决策变量的可行范围， 按优先因子考察各偏差变量的变化对目标函数的影响，确定尽可能满足目标的满意解。例 6-3 用图解法找出以下目标规划问题的满意解。min Z p (d d ) p (2d d )1 1 1 2 2 3x 10x d d 501 2 1 1s.t.3x 5x d d 201 2 2 28x 6x d d 1001 2 3 3x ,x , di ,di 0,i 1,2,31 2解：第一

10、步，因为本题没有硬约束，所以先作出偏差变量为 0 时，各目标约束所确定的直线，如图 5-1 所示。第二步，按优先因子考虑各偏差变量的变化对目标函数的影响， 确定约束条件所限定的 x1,x2 范围。要满足min(d d ) ，只能在 CD 射线上取得满意解；显1 14然，在 CD 射线上，p1(d1 d1 ) 0。其次，在 CD 射线上使 p2 (2d2 d3 ) 达到极小点的只能是 C 点。第三步，确定满意解。由图 6-1 可知，满意解为* *x1 50, x2 0x2E100/6d3F40d320/3A100/8B50Cd1d1Dx1-10 x2=50x1-5d2d23x1+5x2=208x

11、1+6x2=100图 6-1例 6-4 用图解法找出以下目标规划问题的满意解。minZ p d p d p d1 2 1 2 3 1x 2x d d 101 2 1 1s.t.10x 12x d d 62.41 2 2 22x x 81 2x , x ,di ,d 0,i 1,21 2 2解：第一步，首先作出硬约束等式直线 AB：2x1 x2 8第二步，再作出偏差变量为 0时，各目标约束所确定的直线 DI 和 CH，如图6-2 所示。第三步，按优先因子考虑各偏差变量的变化对目标函数的影响， 确定约束条件所限定的 x1,x2 范围。要满足min(d d ) ，并且满足硬约束 2x1 x2 8 所

12、在范2 2围，只能在 GC 线段上取得满意解；而要满足min d ，满意解又只能是在 CE 线1段上。第三步，确定满意解。由图 6-2 可得满意解为 C(0，5.2)和E（0.6，4.7）连线上任一点。5x2BCDFEGd2d1d2d1I0A H x12x1+x2=8 x1+2x2=10 10 x1+12 x2=62.4图 6-2题型 III 目标规划的单纯形法例 6-5 用单纯形法求以下目标规划问题的满意解。minZ p d p d p d1 2 1 2 2 1x 2x d d 101 2 1 1s.t.10x 12x d d 62.41 2 2 22x x 81 2x ,x ,di , d

13、i 0,i 1,21 2解： 第一步，将原规划化为标准型min Z p (d d ) p d1 2 2 2 1x 2x d d 101 2 1 1s.t.10x 12x d d 62.41 2 2 22x x x 81 2 3x , x ,x ,d ,d 0,i 1,21 2 3 i i第二步，取 d1 , d2 ,x3 为初始基变量，列初始单纯形表，如表 6-2 所示。表 6-2cj 0 0 0 P2 0 P1 P1biCB X B b x1 x2 x3 d1 d1 d2 d2aikiP2 d1 10 1 2 0 1 -1 0 0 10/2P1 d2 62.4 10 12 0 0 0 1 -

14、1 62.4/120 x3 8 2 1 1 0 0 0 0 8/16cj -zjP1 -10 -12 0 0 0 0 2P2 -1 -2 0 0 1 0 0第三步，取 k=1，检查检验数的 P1 行的负数，取最小者 -12 对应的变量 x2 为换入变量，并用最小比值原则确定换出变量为d ，见表 6-3。1表 6-3cj 0 0 0 P2 0 P1 P1biCB X B b x1 x2 x3 d1 d1 d2 d2aiki0 x2 5 1/2 1 0 1/2 -1/2 0 0 -P1 d2 2.4 4 0 0 -6 6 1 -1 2.4/60 x3 3 3/2 0 1 -1/2 1/2 0 0

15、3/(1/2)cj -zjP1 -4 0 0 6 -6 0 2P2 0 0 0 1 0 0 0第四步， 还是取 k=1，检查检验数的 P1 行的负数， 取最小值-6 对应的变量d1为换入变 量，并用最小比值规则确定换出变量 d2 ，见表 6-4。表 6-4cj 0 0 0 P2 0 P1 P1biCB X B b x1 x2 x3 d1 d1 d2 d2aiki0 x2 5.2 5/6 1 0 0 0 1/12 -1/12 -0 d1 0.4 2/3 0 0 -1 1 1/6 -1/60 x3 2.8 7/6 0 1 0 0 -1/12 1/12cj -zjP1 0 0 0 0 0 1 1P2

16、 0 0 0 1 0 0 0第五步，检查检验数的 P1 行，P2 行，都没有负数了，故得到满意解* (0,5.2)Tx 。且因为非基变量 x1 的检验数为 0，所以存在多重解。例 6-6 用单纯形法求解下列目标规划问题。min Z p (2d 3d ) p d p d1 1 2 2 4 3 3x x d d1 2 1 110x d d1 2 24s .t. 5x 3x d d 561 2 3 3x x d d1 2 4 412x ,x ,di ,di 0,i 1,2,3, 41 2解：第一步：该问题已经化为标准形，以d ， d2 ， d3 ，d4 为基变量，建立17初始单纯形表，如表 6-5

17、所示。表 6-5 初始单纯性表x bBx1x2d1d1d2d2d3d3d4d4d110 1 1 1 -1 0 0 0 0 0 0d24 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0d356 5 3 0 0 0 0 1 -1 0 0d412 1 1 0 0 0 0 0 0 1 -1P1 0 0 0 2 0 3 0 0 0 0cj-zj P2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1P3 -5 -3 0 0 0 0 0 1 0 0第二步：在表 6-5 中，检验数矩阵中第一列、第二列均有负数，因此此表对应的解不是满意解，需要进行迭代。以x 为进基变量，1d 为出基变量，进行基2变换运算，结果如表 6-6

18、所示。表 6-6 第一次迭代表x b x1 x2 d1 d1 d2 d2 d3 d3 d4 d4Bd16 0 1 1 -1 -1 1 0 0 0 0x14 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0d336 0 3 0 0 -5 5 1 -1 0 0d48 0 1 0 0 -1 1 0 0 1 -1P1 0 0 0 2 0 3 0 0 0 0cj-zj P2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1P3 0 -3 0 0 5 -5 0 1 0 0第三步： 在表 5-6 中，检验数矩阵中第二列仍有负数， 以x 为进基变量，2d1为出基变量，进行基变换运算，结果如表 6-7 所示。表 6-7 第二次迭

19、代表x b x1 x2Bd d1 d2 d2 d3 d3 d4 d41x26 0 1 1 -1 -1 1 0 0 0 08x14 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0d318 0 0 -3 3 -2 2 1 -1 0 0d42 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 -1P1 0 0 0 2 0 3 0 0 0 0cj-zj P2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1P3 0 0 3 -3 2 -2 0 1 0 0第三步：在表 6-7 中，检验数矩阵中每一列第一个非零元素均为非负数，因此此表所对应的解为满意解。 满意解为( x ,x ) (4,6) ，目标达到情况是： 第一级目1 2标min Z p (2d 3d ) 0 达到最优，第二级目标 min Z2 p2d4 0达到最优，1 1 1 2第三级目标min Z p d 18，没有达到最优。3 3 39