带你领略轴对称之美.docx

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带你领略轴对称之美

带你领略

轴对称之美

作者:

赵大能

单位:

商水县张明一中

带你领略轴对称之美

数学中的轴对称在我们的基础教育中占有很大的份量，她点缀了我们的视野,也在很多领域服务了我们的生活,她的美不仅在于艺术更在于科学.最重要的是,轴对称可以用来解决生活中的几何极值问题,这让她显得更加有内涵.只有感受它,运用它,才能体会.她的美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。

就是这种奇异美使神秘的世界充满了勃勃生机。

在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。

事实上，译自希腊语的这

个词，原义是“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”。

毕达哥拉斯学派认为，

一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。

圆是中心对

称圆形――圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形――任何一条直径都是它的

对称轴。

在提倡学习“变换几何”的今天，作为反射变换的“轴对称”越来越显得重

要．本文将着重阐述“轴对称”的文化内涵，揭示它的美学价值及应用价值．

首先，轴对称是人类最重要的几何直观．轴对称的直观之美是非常容易感知的．

大自然中的许多景物，比如蝴蝶人体等生物的躯体,水上的倒影等,使用的日常器物，美观的服装设计，都呈现了这种“左右、上下”大体对称的格局．河姆渡文化中的标志，显示了7千年以前的先民，已经具有轴对称的数学美感．

其次，我们还可以展现轴对称的另外一种美：

“以简驭繁”的数学美、排忧解难的智慧美．如我们熟悉的以下的问题链，借助“轴对称”数学平台，通过处理一系列的极值问题，展现一种简洁、智慧、巧思的科学之美．问题链犹如一幅国画长卷，一点点展开，由浅入深，最后获得全貌，美不胜收．

人教八年级教材中把《轴对称》作为一个独立的章节，体现出其重要性.与之

相关的问题也成为考查热点.其中，在几何作图及解决实际问题中用到轴对称知

识的情况尤为多见.这类问题的形式比较灵活，但归纳下来常见的为以下三种.

一、两点一线求最小距离和或最大距离差问题

所谓两点一线求最小距离和及最大距离差问题，

是指所给条件或问题情境可化归为两个点与一条直

线，在直线上求作一点使得距离和最小或距离差最大.

例1如图1-1，在河岸

的同侧有两个村庄A和B，要在河岸边建一水站C，

使水站C到A、B两地的输水管道长度之和最小，试在图上作出C.

分析：

要求最小距离，可联系“两点之间，线

段最短”这一性质解题，因而需作出其中一点关于

的对称点.

作法：

如图1-2，

1、作点A关于直线

的对称点

；

2、连结

交直线

于点C；

3、连结AC、BC，因为AC=

，且

、C、B在同一条直线上，此时AC+BC

为最小.

所以点C即为原题所求作的货场位置.

如何证明？

（分析）在直线l上另取一点C′，连结CA、AC′、BC′、C′A′，要证CA＋CB

最小，由任意性，只要证：

CA＋CB＜AC′＋BC′，

由对称性可知：

CA＝CA′,C′A＝C′A′只要证：

CA′＋CB＜C′A′＋BC′

只要证：

A′B＜C′A′＋BC′而△BA′C′中，有三角形两边之和大于第三边，问

题得证。

说明：

这类作图题一般给出两个定点与一条直线，然后在直线上求作一点，

使该点到两个定点距离之和最小.这类题的作法可归纳为作其中任一定点关于直

线的对称点，然后与另一定点连结，交直线于一点.

变式：

如图所示，已知正方形ABCD的边长为8，

M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，当DN+MN

最小时，试确定N的位置。

例2直线l两侧有A、B两点，如何在直线l上取一点C，使CA-CB最大。

分析：

要求使距离之差最大的点，可联系“三角形三边关系两边之差小于第

三边”这一性质解题，因而需作出其中一点关于

的对称点.做A点关于这条直线

l的对称点A',连结A'B.

当A'与B重合，则AC,BC的差始终为零，

C可以是直线l上任意一点；

当A'不与B重合时1.若直线A'B与直线l

平行，则C无限远离A,B;2.若直线A'B与直线l相交，交点即位C点所在。

理由：

A'与B重合的情况就不必解释了当A'不与B重合时，因为CA=CA',

所以两条线段差是CB与CA'的差，而在三角形A'CB中，CB与CA'的差小于等

于BA',当取到等于时A',B,C三点共线，此时这两条线段差最大，所以C是这两

条直线的交点，但是若直线A'B与直线l平行就没有交点，没有交点就意味着这

两条直线在无穷远处相交，所以C点无限远离A,B.

二、两线一点求最小周长问题

所谓两线一点求最小周长问题，是指所给条件或问题情境可化归为两条直线

与一个点，在直线上求作两点获得最小周长三角形.

例3、如图2-1，P为马厩，AB为草

地边缘（下方为草地），CD为一河流.牧人欲

从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮

水，最后回到马厩.请帮他确定一条最佳行

走路线.把这个问题称之为“牧童放牧”问题。

分析：

所谓最佳路线即分别在AB、CD上各找一点与点P构成三角形且周长

最短.

作法：

如图2-2，

1、分别作点P关于AB、CD的对称点

、

；

2、连结

，分别交AB、CD于点M、N；

3、分别连结MP、NP；

因为

，且

、N、M、

在同一条直线上，此时

为最小.

所以沿PM、MN、NP行走为最佳路线.

说明：

这类作图题的特点是条件中给出两条直线与一个定点，然后在两条直

线上各找一点与定点构成三角形使周长最短.这类题的作法可归纳为分别作定点

关于两直线的对称点，并连结交两直线于各一点.

三、两线两点求线路最短

例4.如图4所示，一个港湾，停留了M、N两艘轮船。

（1）M船的船长从M处出发，先到OA岸，再到N船。

船长如何走使水路最短？

（2）若M船的船长从M处出发，先到OA岸，再到OB岸，最后到N船，船长如

何走使水路最短？

图4

解：

（1）如图5所示，作点N关于OA的对称点C，连结MC，交OA于E，则从M

到E再到N的水路最短。

（2）如图6所示，作点M关于OA的对称点M”，作点N关于OB的对称点N”，

连结M”N”，交OA于P，交OB于Q，则从M到P，从P到Q，再从Q到N的水

路最短。

图5图6

变式:

如图6,M为马厩,OA为草地,OB为河,N为营地,将军每天从马厩牵出马去草

地放牧,然后去河边饮马,最后回到营地,请帮他设计最短线路.

例5.A、B两镇中间隔一条河，现在要在河上架一座垂直于河岸的桥，使A、

B两镇之间的路程最短，那么桥应架在何处？

解：

如图7所示，设河岸为

，过A作

于M，交

于N，在AM上截取

，连结

交

于C，过C作

于D点，则线段CD为建桥位

置（想一想，为什么？

）。

图7

变式1、如图，已知M、N分别是锐角△ABC的边AB、BC上的点，试在AC

边上找一点P，使△MNP周长最小.

变式2、如图，M是锐角△ABC的边AB上的一点，试在BC、AC边上各找

点N、P，使△MNP周长最小.

变式3、如图，已知锐角△ABC，试在AB、BC、AC边上各找一点M、N、P，

使△MNP周长最小.

问题1是已知两点找一点，而MN的长度不变，实际上是“管道最短”问题。

问题2是已知一点找两点，实际上是“牧童放牧”、“将军饮马”问题。

问题3是一个点都没给，要求在锐角三角形的三边边上各找一点，使它们所

构成的三角形的周长最小，在这里你可以尝试初步的探索，供你思考。

如果把锐角△ABC改为直角三角形或者钝角三角形又是什么样的情况？

这

也是需要你闲暇时认真思考的问题。

关于轴对称的作图问题形式灵活多变，但只要仔细分析，你一定可以发现

其中的规律.“以不变应万变”是数学解题的一种重要理念，相信你一定可以做

得更好.

这样一来，我们看到反复出现的数学问题，归根结底是“两点间以直线为最短”原理的引申，而起关键作用的则是对称点的运用．一个原理，一个方法，构成一副精美的科学图画，科学之美油然而生．在课堂上，引导学生欣赏这样的数学美，是数学文化教学内容的重要组成部分．

再者，轴对称的思想与中国传统文化是相通的．对称和对仗，思想同源．如果说，轴对称是将左右两部分沿着对称轴“对折”变换之后仍然保持图形不变（线段长短、角度大小都不变），那么中国的对仗便是从上句变到下旬之后，许多词语特性保持不变．例如杜甫的著名诗句：

“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天．窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船．”对仗相当工整．在前两句诗中，“两个”对“一行”（数量结构对数量结构），“黄鹂”对“白鹭”（禽类名词相对）、“翠”对“青”（颜色名词相对）、“千”对“万”（数词相对）都是同类词为对，保持了某种不变性．

世间万物都在变化之中，但只单说事物在“变”，不能说明什么问题．科学的任务是要找出“变化中不变的规律”．一个民族必须与时俱进，不断创新，但是民族的传统精华不能变．京剧需要改革，可是京剧的灵魂不能变．古典诗词的内容千变万化，但是基本的格律不变．自然科学中，物理学有能量守恒、动量守恒；化学反应中有方程式的平衡，分子量的总值不能变．总之，惟有找出变化中的不变性，才有科学的、美学的价值．

对称是一个十分宽广的概念，它出现在数学教材中，也存在于日常生活中，能在文学意境中感受它，也能在建筑物、绘画艺术、日常生活用品中看到它，更存在于大自然的深刻结构中．数学和人类文明同步发展，“对称”只是是纷繁数学文化中的标志之一．

更进一步说，大自然的物质结构是用对称语言写成的．诺贝尔物理学奖获得者杨振宁回忆他的大学生活时说，对我后来的工作有决定影响的一个领域叫做对称原理．1957年李政道和杨振宁获诺贝尔奖的工作——“宇称不守恒”的发现，就和对称密切相关．此外，为杨振宁赢得更高的声誉的“杨振宁——米尔斯规范场”，更是研究“规范对称”的直接结果．在“对称和物理学”一文中最后，他写道：

“在理解物理世界的过程中，21世纪会目睹对称概念的新方面吗?

我的回答是，十分可能．”

梯形的面积公式：

Ｓ＝

，

等差数列的前ｎ项和公式：

，

其中ａ是上底边长，ｂ是下底边长，其中ａ１是首项，ａｎ是第ｎ项，这两个

等式中，ａ与ａ１是对称的，ｂ与ａｎ是对称的。

h与n是对称的。

对称不仅美，而且有用。

电磁波的波动方程：

其中，Ｂ为磁场强度，Ｅ为电场强度，Ｃ为光速。

这个方程中Ｂ与Ｅ是对称

的，麦克斯韦用纯数学的方法从这些方程中推导出可能存在的电磁波，这种电磁

波后来被赫芝发现，由此可得电场与磁场的统一性。

对称美的形式很多，对称的这种美也不只是数学家独自欣赏的，人们对于对

称美的追求是自然的、朴素的。

如格点对称，十四世纪在西班牙的格拉那达的阿

尔汉姆拉宫，存在所有的格点对称，而１９２４年才证明出格点对称的种类。

此

外，还有格度对称，如我们喜爱的对数螺线、雪花，知道它的一部分，就可以知

道它的全部。

李政道、杨振宁也正是由对称的研究而发现了宇称不守恒定律。

从

中我们体会到了对称的美与成功。

总之，轴对称之于自然、建筑、生活、生物、医学、景观、科学、古今寰宇

无时无处不在展示她多姿多彩的各种美----视觉美（对称美、和谐美、简洁美）、

智慧美（数学美、科学美、创造美），她美的神奇，让你忍不住去追溯，她美的

动人，开辟捷径让你省时省力，她美的永恒，让你享用不尽，赞叹不已！

这种开

阔了我们的视野、开阔了我们心胸、给我们完全不同感受与各种启迪的轴对称之

美难到不是切入肌肤的美吗？

作者:

赵大能

单位:

商水县张明一中