完整同角三角函数的基本关系式.docx
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完整同角三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式
诱导公式
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
两角和与差的三角函数公式
万能公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝—————-
1－tanα·tanβ
tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα·tanβ
2tan（α/2）
sinα＝——————
1＋tan2（α/2）
1－tan2（α/2）
cosα＝—————-
1＋tan2（α/2）
2tan（α/2）
tanα＝——————
1－tan2（α/2）
半角的正弦、余弦和正切公式
三角函数的降幂公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
2tanα
tan2α＝--———
1－tan2α
sin3α＝3sinα－4sin3α
cos3α＝4cos3α－3cosα
3tanα－tan3α
tan3α＝——————
1－3tan2α
三角函数的和差化积公式
三角函数的积化和差公式
α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin-－－·cos-－—
2 2
α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—
2 2
α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—
2 2
α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—
2 2
sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]
cosα·sinβ=（1/2）［sin（α+β）—sin（α-β）]
cosα·cosβ=（1/2）［cos（α+β）+cos（α—β）］
sinα·sinβ=—（1/2）［cos（α+β）—cos（α-β）］
化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）
直角三角定义
它有六种基本函数（初等基本表示）：
三角函数数值表
（斜边为r，对边为y，邻边为x。
）
在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r,P点的坐标为（x，y）有
正弦函数 sinθ=y/r正弦（sin）:
角α的对边比斜边
余弦函数 cosθ=x/r余弦（cos）:
角α的邻边比斜边
正切函数 tanθ=y/x正切（tan）：
角α的对边比邻边
余切函数 cotθ=x/y余切（cot）：
角α的邻边比对边
正割函数 secθ=r/x正割（sec）:
角α的斜边比邻边
余割函数 cscθ=r/y余割（csc）：
角α的斜边比对边
以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：
正矢函数 versinθ=1-cosθ
余矢函数 coversθ=1—sinθ
sinα、cosα、tanα的定义域：
sinα定义域无穷,值域【-1，+1】
cosα定义域无穷，值域【-1，+1】
tanα的定义域（—π/2+kπ,π/2+kπ），k属于整数,值域无穷
单位圆定义
六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在0和π/2弧度之间的角.它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了.根据勾股定理，单位圆的等式是:
x^2+y^2=1
图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。
逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角。
设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。
这个交点的 x 和 y 坐标分别等于cos θ 和sin θ。
图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sin θ = y/1和cos θ =x/1。
单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。
对于大于2π或小于−2π的角度,可直接继续绕单位圆旋转。
在这种方式下,正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数:
对于任何角度 θ 和任何整数 k。
周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”（primitiveperiod）。
正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是2π弧度或360度；正切或余切的基本周期是半圆，也就是π弧度或180度.上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的,其他四个三角函数可以定义为:
在正切函数的图像中，在角 kπ附近变化缓慢，而在接近角（k +1/2）π的时候变化迅速。
正切函数的图像在θ=（k +1/2）π有垂直渐近线。
这是因为在θ从左侧接进（k +1/2）π的时候函数接近正无穷，而从右侧接近（k +1/2）π的时候函数接近负无穷。
另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。
特别
是，对于这个圆的弦 AB，这里的θ是对向角的一半，sin（θ）是 AC（半弦）,这是印度的Aryabhata（AD476–550）介入的定义。
cos（θ）是水平距离 OC，versin（θ）=1−cos（θ）是 CD.tan（θ）是通过 A 的切线的线段 AE 的长度,所以这个函数才叫正切。
cot（θ）是另一个切线段 AF。
sec（θ）= OE 和csc（θ）= OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA 沿着A的切线分别向水平和垂直轴的投影。
DE 是exsec（θ）=sec（θ）−1（正割在圆外的部分）.通过这些构造,容易看出正割和正切函数在θ接近π/2（90度）的时候发散,而余割和余切在θ接近零的时候发散。
同角三角函数关系式
·平方关系:
sin^2（α）+cos^2（α）=1
cos^2（a）=（1+cos2a）/2
tan^2（α）+1=sec^2（α）
sin^2（a）=（1-cos2a）/2
cot^2（α）+1=csc^2（α）
·积的关系：
sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
·倒数关系：
tanα·cotα＝1
sinα·cscα＝1
cosα·secα＝1
·商的关系:
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·对称性
180度-α的终边和α的终边关于y轴对称.
-α的终边和α的终边关于x轴对称。
180度+α的终边和α的终边关于原点对称。
180度—α的终边关于y=x对称。
·诱导公式
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（kπ＋α）＝tanα
cot（kπ＋α）＝cotα
公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与—α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
（以上k∈Z）
补充：
6×9＝54种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）
f（β）→
f（β）＝↘
β↓
sinβ
cosβ
tanβ
cotβ
secβ
cscβ
360k+α
sinα
cosα
tanα
cotα
secα
cscα
90°-α
cosα
sinα
cotα
tanα
cscα
secα
90°+α
cosα
—sinα
-cotα
—tanα
—cscα
secα
180°-α
sinα
-cosα
—tanα
-cotα
—secα
cscα
180°+α
—sinα
-cosα
tanα
cotα
—secα
—cscα
270°-α
-cosα
-sinα
cotα
tanα
—cscα
—secα
270°+α
-cosα
sinα
-cotα
—tanα
cscα
—secα
360°—α
-sinα
cosα
-tanα
-cotα
secα
—cscα
﹣α
-sinα
cosα
—tanα
—cotα
secα
—cscα
定名法则
90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。
90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。
也就是“奇余偶同，奇变偶不变”
定号法则
将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。
也就是“象限定号,符号看象限”。
（或为“奇变偶不变，符号看象限”
2在Kπ/中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。
正负号看原函数中α所在象限的正负号。
关于正负号有可口诀;一全二正弦，三切四余弦,即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切为正，第四象限余弦为正.）
比如：
90°+α。
定名：
90°是90°的奇数倍，所以应取余函数;定号:
将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。
所以sin（90°+α）=cosα,cos（90°+α）＝—sinα这个非常神奇,屡试不爽～
还有一个口诀“纵变横不变,符号看象限”，例如：
sin（90°+α），90°的终边在纵轴上,所以函数名变为相反的函数名，即cos，将α看做锐角,那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin（90°+α）=cosα
·两角和与差的三角函数
cos（α+β）=cosα·cosβ—sinα·sinβ
cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）
tan（α—β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin［（α+β）/2］cos[（α-β）/2］
sinα—sinβ=2cos［（α+β）/2］sin[（α-β）/2］
cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α—β）/2］
cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α—β）/2]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α—β）]
cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）—sin（α—β）］
cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α—β）］
sinα·sinβ=-（1/2）［cos（α+β）-cos（α—β）］
·倍角公式：
sin（2α）=2sinα·cosα=2/（tanα+cotα）
cos（2α）=（cosα）^2—（sinα）^2=2（cosα）^2-1=1—2（sinα）^2
tan（2α）=2tanα/（1-tan^2α）
·三倍角公式：
sin（3α）=3sinα—4sin^3α=4sinα·sin（60°+α）sin（60°—α）
cos（3α）=4cos^3α—3cosα=4cosα·cos（60°+α）cos（60°-α）
tan（3α）=（3tanα—tan^3α）/（1-3tan^2α）=tanαtan（π/3+α）tan（π/3—α）
·半角公式:
sin（α/2）=±√（（1-cosα）/2）
cos（α/2）=±√（（1+cosα）/2）
tan（α/2）=±√（（1-cosα）/（1+cosα））=sinα/（1+cosα）=（1—cosα）/sinα
·辅助角公式:
Asinα+Bcosα=√（A^2+B^2）sin（α+arctan（B/A）），其中
sint=B/√（A^2+B^2）
cost=A/√（A^2+B^2）
tant=B/A
Asinα-Bcosα=√（A^2+B^2）cos（α—t）,tant=A/B
·万能公式
sin（a）=（2tan（a/2））/（1+tan^2（a/2））
cos（a）=（1—tan^2（a/2））/（1+tan^2（a/2））
tan（a）=（2tan（a/2））/（1—tan^2（a/2））
·降幂公式
sin^2α=（1-cos（2α））/2=versin（2α）/2
cos^2α=（1+cos（2α））/2=covers（2α）/2
tan^2α=（1-cos（2α））/（1+cos（2α））
·万能公式：
sinα=2tan（α/2）/［1+tan^2;（α/2）]
cosα=［1-tan^2;（α/2）］/［1+tan^2;（α/2）］
tanα=2tan（α/2）/［1—tan^2；（α/2）］
·三角和的三角函数：
sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ—cosα·sinβ·sinγ—sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ—tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ—tanγ·tanα）
·其它公式
a＊sin（a）+b＊cos（a）=sqrt（a^2+b^2）sin（a+c）[其中，tan（c）=b/a]
a＊sin（a）—b＊cos（a）=sqrt（a^2+b^2）cos（a-c）［其中,tan（c）=a/b]
1+sin（a）=（sin（a/2）+cos（a/2））^21-sin（a）=（sin（a/2）—cos（a/2））^2其他非重点三角函数
csc（a）=1/sin（a）sec（a）=1/cos（a）
cos30=sin60
sin30=cos60
·推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα—cotα=—2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=[sin（α/2）+cos（α/2）]^2
·其他［及证明］：
sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π＊2/n）+sin（α+2π＊3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0
cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π＊2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n—1）/n］=0
以及
sin^2（α）+sin^2（α—2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2
tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB—tan（A+B）=0
cosx+cos2x+..。
+cosnx=［sin（n+1）x+sinnx—sinx]/2sinx
证明：
左边=2sinx（cosx+cos2x+。
.。
+cosnx）/2sinx
=[sin2x-0+sin3x—sinx+sin4x—sin2x+...+sinnx—sin（n-2）x+sin（n+1）x-sin（n-1）x]/2sinx（积化和差）
=［sin（n+1）x+sinnx-sinx]/2sinx=右边
等式得证
sinx+sin2x+。
。
.+sinnx=—［cos（n+1）x+cosnx—cosx-1］/2sinx
证明：
左边=-2sinx［sinx+sin2x+.。
.+sinnx］/（-2sinx）
=［cos2x-cos0+cos3x-cosx+.。
。
+cosnx-cos（n-2）x+cos（n+1）x—cos（n-1）x］/（-2sinx）
=-[cos（n+1）x+cosnx—cosx—1］/2sinx=右边
等式得证
三倍角公式推导
sin3a
=sin（2a+a）
=sin2acosa+cos2asina
=2sina（1—sin^2a）+（1—2sin^2a）sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos（2a+a）
=cos2acosa—sin2asina
=（2cos^2a-1）cosa-2（1—cos^2a）cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina—4sin^3a
=4sina（3/4-sin^2a）
=4sina［（√3/2）^2-sin^2a]
=4sina（sin^260°-sin^2a）
=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）
=4sina*2sin［（60+a）/2］cos［（60°-a）/2]*2sin［（60°-a）/2］cos［（60°+a）/2]
=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）
cos3a=4cos^3a—3cosa
=4cosa（cos^2a—3/4）
=4cosa［cos^2a-（√3/2）^2]
=4cosa（cos^2a—cos^230°）
=4cosa（cosa+cos30°）（cosa—cos30°）
=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos［（a-30°）/2]*｛-2sin［（a+30°）/2]sin［（a—30°）/2］｝
=—4cosasin（a+30°）sin（a—30°）
=-4cosasin[90°—（60°—a）]sin［-90°+（60°+a）］
=—4cosacos（60°—a）［-cos（60°+a）]
=4cosacos（60°—a）cos（60°+a）
上述两式相比可得
tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）
幂级数
c0+c1x+c2x2+.。
。
+cnxn+.。
.=∑cnxn（n=0..∞）
c0+c1（x—a）+c2（x—a）2+。
.。
+cn（x—a）n+。
。
.=∑cn（x—a）n（n=0。
。
∞）
它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,。
。
..及a都是常数,这种级数称为幂级数。
泰勒展开式（幂级数展开法）：
f（x）=f（a）+f’（a）/1!
＊（x-a）+f''（a）/2！
＊（x-a）2+.。
.f（n）（a）/n!
＊（x—a）n+。
..
实用幂级数:
ex=1+x+x2/2！
+x3/3！
+...+xn/n!
+...
ln（1+x）=x—x2/3+x3/3—。
..（—1）k—1*xk/k+.。
.（｜x|<1）
sinx=x—x3/3！
+x5/5!
-.。
。
（—1）k—1＊x2k-1/（2k-1）!
+。
。
.（-∞ cosx=1—x2/2！
+x4/4！
—.。
.（-1）k＊x2k/（2k）！
+。
。
.（—∞ arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/（2＊4）＊x5/5+。
..（｜x｜<1）
arccosx=π-（x+1/2＊x3/3+1＊3/（2＊4）*x5/5+...）（｜x|〈1）
arctanx=x-x^3/3+x^5/5—...（x≤1）
sinhx=x+x3/3!
+x5/5！
+...（—1）k—1＊x2k—1/（2k-1
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