完整同角三角函数的基本关系式.docx

1、完整同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式诱导公式sin(）sincos（）costan（)tancot（）cot两角和与差的三角函数公式万能公式sin（）sincoscossinsin（)sincoscossincos（）coscossinsincos(）coscossinsintantantan(）-1tan tan tantantan（） 1tan tan 2tan(/2)sin 1tan2（/2）1tan2(/2）cos- 1tan2(/2） 2tan（/2)tan 1tan2（/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和

2、正切公式sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin2 2tantan2- 1tan2sin33sin4sin3cos34cos33cos 3tantan3tan3 13tan2三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式 sinsin2sin-cos- 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 2 2 coscos2sinsin 22sincos=（1/2）sin（+)+sin（-)cossin=（1/2)sin（+)sin(-)coscos=(1/2)cos（+）+cos（）sinsin=(1/2）cos（+)cos（-)化asin bco

3、s为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式）直角三角定义它有六种基本函数（初等基本表示）：三角函数数值表（斜边为r，对边为y，邻边为x。）在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r,P点的坐标为（x，y）有正弦函数sin=y/r 正弦（sin):角的对边 比 斜边余弦函数cos=x/r 余弦(cos):角的邻边 比 斜边正切函数tan=y/x 正切(tan）：角的对边 比 邻边余切函数cot=x/y 余切（cot）：角的邻边 比 对边正割函数sec=r/x 正割(sec):角的斜边 比 邻边余割函数csc=r/y 余割（csc)：角的斜边 比 对边以及

4、两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versin =1-cos余矢函数covers =1sinsin、cos、tan的定义域：sin定义域无穷,值域【-1，+1】cos定义域无穷，值域【-1，+1】tan的定义域（/2+k,/2+k），k属于整数,值域无穷单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和 /2 弧度之间的角.它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了.根据勾股定理，单位圆的等式是:x2+y2 = 1

5、图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于 cos和 sin。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin=y/1 和 cos=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。对于大于 2 或小于 2 的角度,可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下,正弦和余弦变成了周期为 2的周期函数:对于任何角度和任何整数k。周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”（primitive period)

6、。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2 弧度或 360 度；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 弧度或 180 度.上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的,其他四个三角函数可以定义为:在正切函数的图像中，在角k 附近变化缓慢，而在接近角 （k+ 1/2) 的时候变化迅速。正切函数的图像在 = （k+ 1/2） 有垂直渐近线。这是因为在 从左侧接进 （k+ 1/2） 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 (k+ 1/2） 的时候函数接近负无穷。另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别是，对于这个圆的弦AB，这里的 是对向角的一半，s

7、in(） 是AC（半弦),这是印度的 Aryabhata（AD 476550)介入的定义。cos(） 是水平距离OC，versin（) = 1 cos(） 是CD.tan（） 是通过A的切线的线段AE的长度,所以这个函数才叫正切。cot（) 是另一个切线段AF。 sec() =OE和 csc() =OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作OA沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE是 exsec(） = sec（） 1（正割在圆外的部分）.通过这些构造,容易看出正割和正切函数在 接近 /2(90 度)的时候发散,而余割和余切在 接近零的时候发散。同角三角函数关系式平方关系:sin

8、2()+cos2()=1cos2(a）=（1+cos2a）/2tan2(）+1=sec2()sin2（a）=(1-cos2a）/2cot2（)+1=csc2()积的关系：sin=tancoscos=cotsintan=sinseccot=coscscsec=tancsccsc=seccot倒数关系：tan cot1sin csc1cos sec1商的关系:sin/costansec/csccos/sincotcsc/sec直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,对称性180度-的终边和的终边关于y轴对称.-的终边和的终边关于x轴对称。

9、180度+的终边和的终边关于原点对称。180度的终边关于y=x对称。诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k)sincos（2k）costan（k)tancot(k)cot公式二:设为任意角,+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（）sincos(）costan(）tancot（）cot公式三：任意角与 的三角函数值之间的关系：sin(）sincos(）costan(）tancot（）cot公式四:利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系：sin()sincos（)costan（）tancot（）cot公式五：利用公式一和公式三可以得到2

10、-与的三角函数值之间的关系：sin（2)sincos（2）costan（2）tancot（2）cot公式六：/2及3/2与的三角函数值之间的关系：sin（/2)coscos（/2）sintan(/2）cotcot（/2）tansin(/2）coscos（/2）sintan(/2）cotcot（/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2）cotcot（3/2）tansin（3/2）coscos（3/2）sintan（3/2)cotcot（3/2）tan(以上kZ）补充：6954种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则)f()f（)sincostancotsec

11、csc360k+sincostancotseccsc90-cossincottancscsec90+cossin-cottancscsec180-sin-costan-cotseccsc180+sin-costancotseccsc270-cos-sincottancscsec270+-cossin-cottancscsec360-sincos-tan-cotseccsc-sincostancotseccsc定名法则90的奇数倍+的三角函数，其绝对值与三角函数的绝对值互为余函数。90的偶数倍+的三角函数与的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变”定号法则将看做锐角(注意是“看做”），

12、按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号,符号看象限”。（或为“奇变偶不变，符号看象限”2在K/中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中所在象限的正负号。关于正负号有可口诀;一全二正弦，三切四余弦,即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切为正，第四象限余弦为正.）比如：90+。定名：90是90的奇数倍，所以应取余函数;定号:将看做锐角，那么90+是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin(90+）=cos , cos（90+）sin 这个非常神奇,屡试不爽还有一个口诀“纵变横不变,符号看象限”，例如：sin（90+），9

13、0的终边在纵轴上,所以函数名变为相反的函数名，即cos，将看做锐角,那么90+是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin(90+)=cos两角和与差的三角函数cos（+）=coscossinsincos(-)=coscos+sinsinsin()=sincoscossintan（+）=（tan+tan）/(1-tantan）tan（)=(tan-tan)/(1+tantan)和差化积公式：sin+sin=2sin(+)/2cos（-）/2sinsin=2cos（+)/2sin（-)/2cos+cos=2cos(+）/2cos()/2cos-cos=-2sin(+)/2sin（）/2积化和差

14、公式：sincos=(1/2)sin（+）+sin（）cossin=（1/2)sin(+）sin(）coscos=（1/2）cos（+)+cos（)sinsin=-(1/2）cos(+)-cos(）倍角公式：sin（2)=2sincos=2/（tan+cot)cos（2)=(cos)2(sin）2=2（cos）2-1=12(sin)2tan(2)=2tan/（1-tan2)三倍角公式：sin(3) = 3sin4sin3 = 4sinsin(60+）sin(60)cos（3） = 4cos33cos = 4coscos(60+）cos(60-)tan（3) = （3tantan3)/（1-3t

15、an2) = tantan(/3+）tan(/3）半角公式:sin（/2）=(1-cos）/2)cos（/2）=（(1+cos）/2）tan（/2)=（1-cos）/（1+cos)）=sin/（1+cos）=（1cos)/sin辅助角公式:Asin+Bcos=（A2+B2）sin（+arctan（B/A）)，其中sint=B/(A2+B2)cost=A/(A2+B2）tant=B/AAsin-Bcos=(A2+B2）cos(t),tant=A/B万能公式sin(a）= (2tan（a/2)）/（1+tan2(a/2)）cos（a)= （1tan2(a/2）)/（1+tan2(a/2)）tan(

16、a）= (2tan(a/2）/(1tan2(a/2）)降幂公式sin2=（1-cos（2)/2=versin（2)/2cos2=（1+cos（2）/2=covers(2）/2tan2=（1-cos（2）)/(1+cos(2)）万能公式：sin=2tan(/2)/1+tan2;(/2）cos=1-tan2;（/2）/1+tan2;（/2）tan=2tan(/2)/1tan2；(/2）三角和的三角函数：sin(+）=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos（+)=coscoscoscossinsinsincossin-sinsincostan（+)=（t

17、an+tan+tantantantan）/(1-tantan-tantantantan）其它公式asin（a)+bcos（a）=sqrt（a2+b2）sin(a+c） 其中，tan(c)=b/aasin（a）bcos(a)=sqrt（a2+b2)cos（a-c) 其中,tan（c)=a/b1+sin(a）=（sin(a/2）+cos（a/2)）2 1-sin（a)=(sin（a/2)cos(a/2）)2其他非重点三角函数csc(a）=1/sin(a) sec(a）=1/cos（a)cos30=sin60sin30=cos60推导公式tan+cot=2/sin2tancot=2cot21+cos

18、2=2cos21-cos2=2sin21+sin=sin(/2)+cos(/2）2其他及证明：sin+sin（+2/n）+sin(+22/n)+sin（+23/n）+sin+2*(n-1)/n=0cos+cos（+2/n）+cos（+22/n)+cos（+2*3/n）+cos+2*(n1）/n=0以及sin2()+sin2（2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanBtan(A+B）=0cosx+cos2x+.。+cosnx= sin（n+1)x+sinnxsinx/2sinx证明：左边=2sinx(cosx+cos2x+。.。+cosnx)/2s

19、inx=sin2x-0+sin3xsinx+sin4xsin2x+.+ sinnxsin（n-2)x+sin(n+1）x-sin（n-1）x/2sinx (积化和差）=sin（n+1）x+sinnx-sinx/2sinx=右边等式得证sinx+sin2x+。.+sinnx= cos（n+1)x+cosnxcosx-1/2sinx证明：左边=-2sinxsinx+sin2x+.。.+sinnx/（-2sinx）=cos2x-cos0+cos3x-cosx+.。+cosnx-cos（n-2）x+cos(n+1)xcos（n-1)x/（-2sinx)=- cos（n+1)x+cosnxcosx1/2

20、sinx=右边等式得证三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a）=sin2acosa+cos2asina=2sina（1sin2a）+(12sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a=cos（2a+a）=cos2acosasin2asina=（2cos2a-1）cosa-2（1cos2a）cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina4sin3a=4sina（3/4-sin2a）=4sina（3/2)2-sin2a=4sina(sin260-sin2a)=4sina(sin60+sina）（sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a）

21、/2*2sin(60-a）/2cos（60+a）/2=4sinasin（60+a）sin（60-a）cos3a=4cos3a3cosa=4cosa(cos2a3/4）=4cosacos2a-(3/2）2=4cosa（cos2acos230)=4cosa(cosa+cos30）(cosacos30）=4cosa*2cos(a+30）/2cos（a-30)/2*-2sin(a+30）/2sin（a30）/2=4cosasin（a+30）sin（a30)=-4cosasin90(60a)sin-90+(60+a）=4cosacos(60a)-cos(60+a)=4cosacos(60a）cos(60

22、+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a）tan(60+a）幂级数c0+c1x+c2x2+.。+cnxn+.。.=cnxn (n=0.)c0+c1（xa）+c2（xa）2+。.。+cn（xa)n+。.=cn(xa）n （n=0。)它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,。.及a都是常数, 这种级数称为幂级数。泰勒展开式(幂级数展开法）：f（x）=f(a）+f（a)/1!(x-a)+f（a）/2！（x-a)2+.。.f(n)（a)/n!（xa)n+。.实用幂级数:ex = 1+x+x2/2！+x3/3！+.+xn/n!+.ln(1+x）= xx2/3+x3/3。.(1）k1*xk/k+.。. （x|1）sin x = xx3/3！+x5/5!-.。（1）k1x2k-1/（2k-1）!+。. (-x）cos x = 1x2/2！+x4/4！.。.（-1）kx2k/（2k）！+。. （x）arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(24)x5/5 + 。. (x1）arccos x = - （ x + 1/2x3/3 + 13/（24）*x5/5 + . ） （x|1)arctan x = x - x3/3 + x5/5 . （x1)sinh x = x+x3/3!+x5/5！+.(1）k1x2k1/(2k-1