小升初22次课程12牛吃草教师版.docx

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小升初22次课程12牛吃草教师版

牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。

“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天？

”这题很简单，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。

因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。

这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。

解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。

牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。

正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。

即找出“原有草”、“新生草”及他们之间的关系是解决“牛吃草”问题的关键。

【例1】一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？

【难度】★ 

【解析】这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量——即原来的草的数量。

因为总草量可以分成两部分：

原有的草与新长出的草。

新长出的草虽然在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。

假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6周需要吃27×6=162（份），此时新草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃23×9=207（份），此时新草与原有的草也均被吃完。

而162份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和；207份是原有的草的数量与9周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为：

（207-162）÷（9-6）=15（份），所以，原有草的数量为：

162-15×6=72（份）。

这片草地每周新长草15份相当于可安排15头牛专吃新长出来的草，于是这片草地可供21头牛吃72÷（21-15）＝12（周）

【答案】见解析。

12周。

【例2】一块1000平方米的牧场里的草能够让12头牛吃16个星期，或让18头牛吃8个星期，如果在全部时间内草能够匀速生长，那么一块1000平方米的牧场在8个星期能养活多少头牛？

【难度】★★ 

【解析】假设1头牛1个星期吃1份草，那么12头牛16周需要吃12×16=192（份），18头牛8周需吃18×8=144（份），此时新草与原有的草也均被吃完。

而192份是原有的草的数量与16周新长出的草的数量的总和；144份是原有的草的数量与8周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为：

（192-144）÷（16-8）=6（份），所以，原有草的数量为：

192-16×6=96（份）。

这片草地每周新长草6份相当于可安排6头牛专吃新长出来的草，而这片草地原有草8周可供96÷8＝12（头），综上，可供12+6=18头牛

【答案】18头.

【例3】一块草地，每天牧草生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃这块草地，可以吃多少天？

【难度】★★ 

【解析】假设1头牛1天吃1份草，则4只羊1天吃1份草，16头牛20天池16×20=320份草,这是原有草和20天新长草之和，80只羊吃12天共吃掉（80÷4）×12=240份草,这是原有草和12天新长草之和,则每天新长草（320-240）÷（20-12）=10份,原有草320-20×10=120份,10头牛和60只羊每天吃10×1+60÷4=25份草,其中每天新长的草10份刚好购10牛吃,另外所需的15份草由原有草120份来提供,可以吃120÷15=8天.

【答案】8天.

【例4】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。

已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。

照此计算，可供多少头牛吃10天？

【难度】★★

【解析】与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少，但是，我们同样可以利用与例1类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。

设1头牛1天吃的草为1份，20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份，也就是寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛在吃草。

由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛同时在吃草，所以原有草两有（20+10）×5=150（份），由150÷10=15知道，牧场原有的草可供15头牛吃10天。

由寒冷导致的原因占去10头牛吃的草，所以可供5头牛吃10天。

【答案】见解析，5头牛。

【例5】一块1000平方米的牧场里的草能够让12头牛吃16个星期，或让18头牛吃8个星期，如果在全部时间内草能够匀速生长，那么一块4000平方米的牧场在6个星期能养活多少头牛？

【难度】★★ 

【解析】先把两块牧场统一成面积相等的，4000平方米是1000平方米的四倍，所以4000平方米的牧场能够让12×4=48头牛吃16个星期，或者能让18×4=72头牛吃8个星期，假设1头牛1个星期吃1份草，那么48头牛16周需要吃48×16=768（份），72头牛8周需吃72×8=576（份），此时新草与原有的草也均被吃完。

而768份是原有的草的数量与16周新长出的草的数量的总和；576份是原有的草的数量与8周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为：

（768-576）÷（16-8）=24（份），所以，原有草的数量为：

768-16×2=384（份），每周新长草可安排24头牛专吃新长出来的草，而这片草地原有草6周可供384÷6＝64（头），综上，可供64+24=88头牛。

【答案】88头.

【例6】有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。

草地上的草一样厚，而且长得一样快。

第一块草荐地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。

问第三块草地可供19头牛吃多少天？

【难度】★★★

【解析】把三块地统一成面积相等的。

5，6，8的最小公倍数是120.这样，第一块5公顷可供11头牛吃10天，120÷5=24，变为120公顷草地可供11×24=264（头）牛吃10天。

第二块6公顷可供12头牛吃14天，120÷6=20，变为120公顷草地可供12×20=240（头）牛吃14天。

120÷8=15。

问题变成：

120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？

因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：

一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天？

即每天新长出的草：

（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份）

草地原有草：

（264—180）×10=840（份）

可供285头牛吃的时间：

840÷（285—180）=8（天）

【答案】第三块草地可供19头牛吃8天。

【例7】一个水库原有存水量一定，河水每天均匀入库，用5台抽水机连续20天可将水库抽干，用6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要求6天抽干水库，问：

需要多少台同样的抽水机？

【难度】★★ 

【解析】假设1台抽水机一天可以抽走1份水,则5台抽水机20天可以抽走5×1×20=100份水,这是原有水和20天的新入库水之和.6台抽水机15天抽走6×1×15=90份水,这是原有水和15天的新入库水之和.每天新入库的水为（100-90）÷（20-15）=2份,原有水100-20×2=60份水.则每天新入库的水需要2台抽水机抽走,原有水需要60÷6=10台抽水机,所以共需要10+2=12台抽水机.

【答案】12台.

【例8】某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，若同时开4个检票口，需30分钟检完票，同时开5个检票口需20分钟检完票，如果同样开7个检票口，那么需要多少分钟检完票?

【难度】★★ 

【解析】假设一个检票口1分钟能检1份人,则4个检票口30分钟能检4×30=120份人,这是原有人和30分钟新来人的总和.5个检票口20分钟能检5×20=100份人,这是原有人和20分钟新来人的总和.每分钟新来人为（120-100）÷（30-20）=2份,这部分人需要2个检票口来检票,还剩7-2=5个检票口来消化原有人,原有人为100-20×2=60份,60÷5=12分钟.

【答案】12分钟.

【习题1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天，那么可供19头牛吃几天？

【难度】★

【解析】假设1头牛1天吃1份草,24头牛6天吃24×6=144份草,这是原有草和6天新长草之和,20头牛10天吃20×10=200份草,这是原有草和10天新长草之和,可求出每天新长草（200-144）÷（10-6）=14份草,则原有草为144-6×14=60份草.每天新长的14份草够14头牛吃,剩下19-14=5头牛只能吃原有草,60÷5=12天.

【答案】12天.

【习题2】牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天，问5天可供多少头牛？

【难度】★

【解析】假设1头牛1天吃1份草,10头牛20天吃10×20=200份草,这是原有草和20天新长草之和,15头牛10天吃15×10=150份草,这是原有草和10天新长草之和,可求出每天新长草（200-150）÷（20-10）=5份草,则原有草为200-5×20=100份草.每天新长的5份草够5头牛吃,原有草5天够100÷5=20头牛吃，所以共20+5=25头牛

【答案】25头.

【习题3】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。

经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天或可供16头牛吃6天。

那么，可供11头牛吃几天？

【难度】★★ 

【解析】假设1头牛1天吃1份草,20头牛5天吃20×5=100份草,这是原有草和5天减少草之差,16头牛6天吃16×6=96份草,这是原有草和6天减少草之差,可求出每天减少草（100-96）÷（6-1）=4份草,则原有草为100+5×4=120份草.每天减少的4份草假设有额外4头牛吃，即有11+4=15头吃，那么原有草够120÷15=8天。

【答案】8天。

【习题4】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速度在减少。

已知牧场上的草可供33头牛吃5天或可供24头牛吃6天。

照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？

【难度】★★ 

【解析】假设1头牛1天吃1份草,33头牛5天吃33×5=165份草,这是原有草和5天减少草之差,24头牛6天吃24×6=144份草,这是原有草和6天减少草之差,可求出每天减少草（165-144）÷（6-1）=21份草,则原有草为165+5×21=270份草.每天减少的21份草假设有额外21头牛吃，那么原有草够270÷10=27头，27-21=6头。

【答案】6头

【习题5】一片牧草，可供9头牛吃12天，也可供8头牛吃16天，开始只有4头牛吃，从第7天起又增加了若干头牛吃，再吃6天吃完了所有的草，问：

从第7天起增加了多少头牛？

【难度】★★ 

【解析】假设1头牛1天吃1份草,9头牛12天吃9×12=108份草,这是原有草和12天新长草之和,8头牛16天吃8×16=128份草,这是原有草和16天新长草之和,可求出每天新长草（128-108）÷（16-12）=5份草,则原有草为108-5×12=48份草.原有草加上12天新长草共48+12×5=108份，其中4头牛从头吃到尾，共吃了7-1+6=12天，4×12=48份，108-48=60份草，60÷6=10头

【答案】10头

【习题6】一个农夫有2公顷4公顷两块牧场，俩了那两块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快，农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，5天吃完了或者农夫将4头牛赶到2公顷的牧场，15天又吃完；最后，农夫把6头牛赶到4公顷的牧场，这块牧场够吃多少天？

【解析】把两块地统一成面积相等的。

2，4的最小公倍数是4.这样，第一块2公顷可供8头