拉格朗日插值实验报告.docx
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拉格朗日插值实验报告
实验名称：
实验一拉格朗日插值
1引言
我们在生产生活中常常会遇到这样的问题：
某个实际问题中，函数f（x）在区间[a,b]上存在且连续，但却很难找到其表达式，只能通过实验和观测得到有限点上的函数表。
显然，根据这些点的函数值来求其它点的函数值是非常困难的。
有些情况虽然可以写出表达式，但结构复杂，使用不方便。
所以我们总是希望根据已有的数据点（或函数表）来构造某个简单函数P（x）作为f（x）的近似值。
插值法是解决此类问题的一种比较古老的、但却很常用的方法。
它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。
2实验目的和要求
运用Matlab编写三个.m文件，定义三种插值函数，要求一次性输入整张函数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点。
分别通过分段线性插值、分段二次插值和全区间上拉格朗日插值计算f，f，f的近似值。
已知函数表如下：
x
f（x）
3算法原理与流程图
（1）原理
设函数y=在插值区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的插值节点a≤x0,x1,…,xn≤b上分别取值y0,y1,…,yn。
目的是要在一个性质优良、便于计算的插值函数类Φ中，求一简单函数P（x），满足插值条件P（xi）=yi（i=0,1,…,n），而在其他点x≠xi上，作为f（x）近似值。
求插值函数P（x）的方法称为插值法。
在本实验中，采用拉格朗日插值法。
分段低次插值
当给定了n+1个点x0这种分段低次插值叫分段线性插值，又称折线插值。
类似地，我们可以选取距离x最近的三个节点xi-1，xi与xi+1，然后进行二次插值，即得
这种分段低次插值叫分段二次插值，又称分段抛物线插值。
全区间上拉格朗日插值
对节点xi（i=0,1,…,n）中任一点xk（0≤k≤n），作一n次多项式lk（x），使它在该点上的取值为1，在其余点xi（i=0,1,…,k-1,k+1,…,n）上取值为零。
对应于每一节点xk（k=0,1,…,n），都能写出一个满足此条件的多项式，这样写出了n+1个多项式l0（x）,l1（x）,…,ln（x），其中
；
由条件
可得
于是我们可以得出如下的拉格朗日n次插值多项式（对于全区间上的插值，n取函数表的长度）
（2）流程图
分段线性插值分段二次插值全区间拉格朗日插值
4程序代码及注释
1、分段线性插值
%分段线性插值
functiony=piece_linear（x0,y0,x）
%x0，y0为已知点，x为待求点
n=length（x0）;p=length（y0）;m=length（x）;
%n，p，m分别为x0，y0，x长度
ifn~=p
fprintf（'Error!
Pleaseinputagain!
\n'）;
%x0和y0长度不等时，报错
else
fori=1:
m
z=x（i）;
sum=;
l=0;
%给l赋初值,根据x的值确定l
ifz（1）|z>x0（n）
fprintf（'Error!
x（%d）isoutofrange!
\n',i）;
break;
end
%当插值点超出范围时，报错
forj=2:
n
ifzl=j;
end
ifl~=0
break;
end
end
%一旦l有非零值，则终止循环,选出合适的l
fork=l-1:
l
a=;
fors=l-1:
l
ifs~=k
a=a*（z-x0（s））/（x0（k）-x0（s））;
end
end
sum=sum+y0（k）*a;
end
y（i）=sum;
fprintf（'y（%d）=%f\nx1=%.3fy1=%.5f,x2=%.3fy2=%.5f\n\n',i,y（i）,x0（l-1）,y0（l-1）,x0（l）,y0（l））;
%输出插值结果和所需节点
end
end
end
2、分段二次插值
%分段二次插值
functiony=piece_square（x0,y0,x）
%x0，y0为已知点，x为待求点
n=length（x0）;p=length（y0）;m=length（x）;
%n，p，m分别为x0，y0，x长度
ifn~=p
fprintf（'Error!
Pleaseinputagain!
\n'）;
%x0和y0长度不等时，报错
else
fori=1:
m
z=x（i）;
sum=;
l=0;
%给l赋初值,根据x的值确定l
ifz（1）|z>x0（n）
fprintf（'Error!
x（%d）isoutofrange!
\n',i）;
break;
end
%当插值点超出范围时，报错
forj=1:
n-2
p=*（x0（j）+x0（j+1））;
ifzl=j;
end
ifl~=0
break;
end
%一旦l有非零值，则终止循环,选出合适的l
end
ifl==0
l=n-1;
end
%输入正确时，若l还等于零，l=n-1
fork=l-1:
l+1
a=;
fors=l-1:
l+1
ifs~=k
a=a*（z-x0（s））/（x0（k）-x0（s））;
end
end
sum=sum+y0（k）*a;
end
y（i）=sum;
fprintf（'y（%d）=%f\nx1=%.3fy1=%.5f\nx2=%.3fy2=%.5f\nx3=%.3fy3=%.5f\n\n',i,y（i）,x0（l-1）,y0（l-1）,x0（l）,y0（l）,x0（l+1）,y0（l+1））;
%输出插值结果与所需节点
end
end
end
3、拉格朗日全区间插值
%拉格朗日全区间插值
functiony=lagrange（x0,y0,x）
%x0，y0为已知点，x为待求点
n=length（x0）;p=length（y0）;m=length（x）;
%n，p，m分别为x0，y0，x长度
ifn~=p
fprintf（'Error!
Pleaseinputagain!
\n'）;
%x0和y0长度不等时，报错
else
fori=1:
m
z=x（i）;
s=;
ifz（1）|z>x0（n）
fprintf（'Error!
x（%d）isoutofrange!
\n',i）;
break;
end
%当插值点超出范围时，报错
fork=1:
n
p=;
forj=1:
n
ifj~=k
p=p*（z-x0（j））/（x0（k）-x0（j））;
end
end
s=p*y0（k）+s;
end
y（i）=s;
fprintf（'y（%d）=%.5f\n',i,y（i））;
%输出插值结果
end
end
end
5算例分析
1、测试示例
>>x=[1234];
>>y=[234];
>>y2=lagrange（x,y,x0）
Error!
Pleaseinputagain!
>>x=[1234];
>>y=[2345];
>>x0=[];
>>y2=lagrange（x,y,x0）
Error!
x
（1）isoutofrange!
>>x=[1234];
>>y=[2345];
>>x0=[];
>>y2=lagrange（x,y,x0）
y
（1）=
Error!
x
（2）isoutofrange!
y2=
2、首先输入函数变及待求点
>>x=[];
>>y=[];
>>x0=[];
注：
保证在matlab工作目录中有三个.m文件
3、分段线性插值
y0=piece_linear（x,y,x0）
y
（1）=
x1=y1=,x2=y2=
y
（2）=
x1=y1=,x2=y2=
y（3）=
x1=y1=,x2=y2=
y0=
4、分段二次插值
>>y1=piece_square（x,y,x0）
y
（1）=
x1=y1=
x2=y2=
x3=y3=
y
（2）=
x1=y1=
x2=y2=
x3=y3=
y（3）=
x1=y1=
x2=y2=
x3=y3=
y1=
5、全区间拉格朗日插值
>>y2=lagrange（x,y,x0）
y
（1）=
y
（2）=
y（3）=
y2=
6讨论与结论
1、使用tic,toc函数计算下列四种方法计算上述问题所运行的时间
Function
lagrange（x0,y0,x）
piece_linear（x0,y0,x）
piece_square（x0,y0,x）
运行时间（s）
从三次实验结果可知，三个程序的运行时间都很短。
2、程序优化
由分段线性插值和分段二次插值的原理，x取值在函数表范围内时，插值结果有意义，而当x取值在函数表范围以外，利用分段线性插值公式仍可以进行运算并得到一个值，但其结果不准确；分段二次插值则无法找到三个合适的点以求插值，不予以输出结果；若输入的函数表x与y的长度不相等，则无法插值。
所以加入以下判断以提高插值的准确性
n=length（x0）;p=length（y0）;m=length（x）;
ifn~=p
fprintf（'Error!
Pleaseinputagain!
\n'）;
ifz（1）|z>x0（n）
fprintf（'Error!
x（%d）isoutofrange!
\n',i）;
break;
end
3、作图比较
上图为三种方法的插值曲线，其中x取0到，步长为，由图可得，三种曲线非常接近，这说明我们用拉格朗日插值计算所给点函数值的近似值时，引起的误差还是比较小的。
参考文献
[1]易大义，沈云宝，李有法.计算方法（第2版），浙江大学出版社..
[2]张琨高思超毕靖编着MATLAB2010从入门到精通电子工业出版社
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