拉格朗日插值实验报告.docx

1、拉格朗日插值实验报告实验名称： 实验一 拉格朗日插值1 引言我们在生产生活中常常会遇到这样的问题：某个实际问题中，函数f(x)在区间a,b上存在且连续，但却很难找到其表达式，只能通过实验和观测得到有限点上的函数表。显然，根据这些点的函数值来求其它点的函数值是非常困难的。有些情况虽然可以写出表达式，但结构复杂，使用不方便。所以我们总是希望根据已有的数据点（或函数表）来构造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似值。插值法是解决此类问题的一种比较古老的、但却很常用的方法。它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。2 实验目的和要求运用Matlab编写三个.m文

2、件，定义三种插值函数，要求一次性输入整张函数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点。分别通过分段线性插值、分段二次插值和全区间上拉格朗日插值计算f，f，f的近似值。已知函数表如下：xf(x)3 算法原理与流程图（1）原理设函数y=在插值区间a,b上连续，且在n+1个不同的插值节点ax0,x1,xnb上分别取值y0,y1,yn。目的是要在一个性质优良、便于计算的插值函数类中，求一简单函数P(x)，满足插值条件P(xi)=yi(i=0,1,n)，而在其他点xxi上，作为f(x)近似值。求插值函数P(x)的方法称为插值法。在本实验中，采用拉格朗日插值法。分段低次插值当给定了n+1个点x0x1xn

3、上的函数值y0,y1,yn后，若要计算xxi处函数值f(x)的近似值，可先选取两个节点xi-1与xi使xxi-1,xi，然后在小区间xi-1,xi上作线性插值，即得这种分段低次插值叫分段线性插值，又称折线插值。类似地，我们可以选取距离x最近的三个节点xi-1，xi与xi+1，然后进行二次插值，即得这种分段低次插值叫分段二次插值，又称分段抛物线插值。全区间上拉格朗日插值对节点xi(i=0,1,n)中任一点xk(0kn)，作一n次多项式lk(x)，使它在该点上的取值为1，在其余点xi(i=0,1,k-1,k+1,n)上取值为零。对应于每一节点xk(k=0,1,n)，都能写出一个满足此条件的多项式，

4、这样写出了n+1个多项式l0(x),l1(x),ln(x)，其中；由条件可得于是我们可以得出如下的拉格朗日n次插值多项式（对于全区间上的插值，n取函数表的长度）（2）流程图 分段线性插值 分段二次插值 全区间拉格朗日插值4 程序代码及注释1、分段线性插值%分段线性插值function y=piece_linear(x0,y0,x)% x0，y0为已知点，x为待求点n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);% n，p，m分别为x0，y0，x长度if n=p fprintf(Error! Please input again!n);% x0和y0长度不等时，报错e

5、lsefor i=1:m z=x(i); sum=; l=0;%给l赋初值,根据x的值确定l if zx0(n) fprintf(Error!x(%d) is out of range!n,i); break; end%当插值点超出范围时，报错 for j=2:n if zx0(j) l=j; end if l=0 break; end end%一旦l有非零值，则终止循环,选出合适的l for k=l-1:l a=; for s=l-1:l if s=k a=a*(z-x0(s)/(x0(k)-x0(s); end end sum=sum+y0(k)*a; end y(i)=sum; fpri

6、ntf(y(%d)=%fnx1=%.3f y1=%.5f,x2=%.3f y2=%.5fnn,i,y(i),x0(l-1),y0(l-1),x0(l),y0(l);%输出插值结果和所需节点endendend2、分段二次插值%分段二次插值function y=piece_square(x0,y0,x)% x0，y0为已知点，x为待求点n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);% n，p，m分别为x0，y0，x长度if n=p fprintf(Error! Please input again!n);% x0和y0长度不等时，报错elsefor i=1:m z=x

7、(i); sum=; l=0;%给l赋初值,根据x的值确定lif zx0(n) fprintf(Error!x(%d) is out of range!n,i); break; end%当插值点超出范围时，报错 for j=1:n-2 p=*(x0(j)+x0(j+1); if zp l=j; end if l=0 break; end%一旦l有非零值，则终止循环,选出合适的l end if l=0 l=n-1; end%输入正确时，若l还等于零，l=n-1 for k=l-1:l+1 a=; for s=l-1:l+1 if s=k a=a*(z-x0(s)/(x0(k)-x0(s); en

8、d end sum=sum+y0(k)*a; end y(i)=sum;fprintf(y(%d)=%fnx1=%.3f y1=%.5fnx2=%.3f y2=%.5fnx3=%.3f y3=%.5fnn,i,y(i),x0(l-1),y0(l-1),x0(l),y0(l),x0(l+1),y0(l+1);%输出插值结果与所需节点endendend3、拉格朗日全区间插值%拉格朗日全区间插值function y=lagrange(x0,y0,x)% x0，y0为已知点，x为待求点n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);%n，p，m分别为x0，y0，x长度if

9、n=p fprintf(Error! Please input again!n);%x0和y0长度不等时，报错elsefor i=1:m z=x(i); s=; if zx0(n) fprintf(Error!x(%d) is out of range!n,i); break; end%当插值点超出范围时，报错 for k=1:n p=; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;fprintf(y(%d)=%.5fn,i,y(i);%输出插值结果endendend5 算例分析1、 测

10、试示例 x=1 2 3 4; y=2 3 4; y2=lagrange(x,y,x0)Error! Please input again! x=1 2 3 4; y=2 3 4 5; x0= ; y2=lagrange(x,y,x0)Error!x(1) is out of range! x=1 2 3 4; y=2 3 4 5; x0= ; y2=lagrange(x,y,x0)y(1)=Error!x(2) is out of range!y2 = 2、首先输入函数变及待求点 x= ; y= ; x0= ;注：保证在matlab工作目录中有三个.m文件3、分段线性插值y0=piece_li

11、near(x,y,x0)y(1)=x1= y1=,x2= y2=y(2)=x1= y1=,x2= y2=y(3)=x1= y1=,x2= y2=y0 = 4、分段二次插值 y1=piece_square(x,y,x0)y(1)=x1= y1=x2= y2=x3= y3=y(2)=x1= y1=x2= y2=x3= y3=y(3)=x1= y1=x2= y2=x3= y3=y1 = 5、全区间拉格朗日插值 y2=lagrange(x,y,x0)y(1)=y(2)=y(3)=y2 = 6 讨论与结论1、使用tic,toc函数计算下列四种方法计算上述问题所运行的时间Functionlagrange(

12、x0,y0,x)piece_linear(x0,y0,x)piece_square(x0,y0,x)运行时间(s)从三次实验结果可知，三个程序的运行时间都很短。2、程序优化由分段线性插值和分段二次插值的原理，x取值在函数表范围内时，插值结果有意义，而当x取值在函数表范围以外，利用分段线性插值公式仍可以进行运算并得到一个值，但其结果不准确；分段二次插值则无法找到三个合适的点以求插值，不予以输出结果；若输入的函数表x与y的长度不相等，则无法插值。所以加入以下判断以提高插值的准确性n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);if n=p fprintf(Error! Please input again!n);if zx0(n) fprintf(Error!x(%d) is out of range!n,i); break; end3、作图比较上图为三种方法的插值曲线，其中x取0到，步长为，由图可得，三种曲线非常接近，这说明我们用拉格朗日插值计算所给点函数值的近似值时，引起的误差还是比较小的。参考文献1 易大义，沈云宝，李有法. 计算方法(第2版)，浙江大学出版社. .2 张琨 高思超 毕靖 编着 MATLAB2010从入门到精通 电子工业出版社