惠州市届高三第二次调研考试数学文科试题及答案.docx
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惠州市届高三第二次调研考试数学文科试题及答案
惠州市2014届高三第二次调研考试试题
数学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1.已知集合
，集合
，
表示空集，那么
（）
A．
B．
C．
D．
2.命题“存在实数
，使
”的否定为（）
A．对任意实数
，都有
B．不存在实数
，使
C．对任意实数
，都有
D．存在实数
，使
3.双曲线
的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
4.直线
与圆
的位置关系是（）
A．相切B．相交且直线不经过圆心
C．相离D．相交且直线经过圆心
5.已知
，
，若
，则
等于（）
A．
B．
C．
D．
6.函数
的定义域为（）
A．
B．
C．
D．
7.已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
为（）
A．
B．
C．
D．
8.已知函数
的部分
图像如图所示，则
的值分别为（）
A．
B．
C．
D．
9．已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，给出下列4个命题：
①若
②若
③若
④若
其中真命题的序号为（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
10.设
是正
及其内部的点构成的集合，点
是
的中心，若集合
.则集合
表示的平面区域是（）
A．三角形区域B．四边形区域
C．五边形区域D．六边形区域
二、填空题：
（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分）
（一）必做题：
第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
11.复数
的虚部为__________．
12.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为_________.
13.设变量
满足约束条件
，则
的
最大值为_________.
（二）选做题：
第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系下，圆
的圆心到直线
的距离为．
15.（几何证明选讲选做题）如图，圆
是
的外接圆，过点
的切线交
的延长线于点
，且
，
，则
的长为 ．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数
.
（1）求函数
的最小正周期和最值；
（2）求函数
的单调递减区间．
17．（本小题满分12分）
对某校高一年级学生参加社区服务次数统计，随机抽去了
名学生作为样本，得到这
名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表如下：
（1）求出表中
的值；
（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于
次的学生中任选
人，求至少一人参加社区服务次数在区间
内的概率．
18.（本小题满分14分）
如图，在三棱锥
中，
底面
为
的中点,
.
（1）求证：
平面
；
（2）求点
到平面
的距离。
19.（本小题满分14分）
已知数列
的前
项和是
，且
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，求适合方程
的正整数
的值．
20.（本小题满分14分）
已知椭圆的一个顶点为
，焦点在
轴上，若右焦点到直线
的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线
与椭圆相交于不同的两点
、
，当
时，求
的取值范围.
21．（本小题满分14分）
已知函数
（1）若函数
在点
处的切线方程为
，求
的值；
（2）若
，函数
在区间
内有唯一零点，求
的取值范围；
（3）若对任意的
，均有
，求
的取值范围．
参考答案
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1．【解析】因为
，所以
，选
；
2．【解析】特称命题的否定为：
对任意实数
，都有
，选
；
3．【解析】由
可知
，
所以
，离心率
，选
4．【解析】圆心
到直线
的距离为
，而圆的半径为
，距离等于半径，所以直线与圆相切，选
；
5．【解析】由
得
，解得
，选
；
6．【解析】要使解析式有意义，必须满足
，解得
，选
；
7．【解析】
，即
，得
，据等差数列前
项和公式
得
，选
8．【解析】据五点法可得
，解得
，
，选
；
9．【解析】若
则
与
的位置关系不能确定，所以命题①错误，
若
，命题②正确，若两平面垂直于同一条直线，则这两平面平行，所以命题③正确，两直线同时平行于一个平面，这两条直线的位置关系不能确定，所以命题④正确，综上所述，选
；
10．【解析】因为正三角形中心为正三角形的重心，重心为中线
的一个三等分点，如图所示，图中六边形
区域为集合
所表示的平面区域，选
。
二、填空题（本大题共5小题，第14、15小题任选一道作答，共20分）
11．
12．
13．
14．
15．
11．【解析】由
，可得虚部为
；
12．【解析】第一次循环：
；第二次循环：
；；
第三次循环：
，
；跳出循环，输出
；
13．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当目标函数对应的直线过点
时；
的值最大，即
；
14．【解析】
化为普通方程为
，可知圆心坐标为
，
化为普通方程为
，
；
15．【解析】据切割线定理可得
，即
，
解得
或
，舍去
，所以
。
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分12分）
解：
（1）
…………………………3分
…………………………4分
当
即
时，
取最大值2；…………5分
当
即
时，
取最小值-2…………6分
（2）由
，………………………8分
得
………………………10分
∴单调递减区间为
.………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：
（1）因为
，所以
……………2分
又因为
，所以
……………3分
所以
，
……………4分
（2）设参加社区服务的次数在
内的学生为
，参加社区服务的次数在
内的学生为
；……………5分
任选
名学生的结果为：
共
种情况；……………8分
其中至少一人参加社区服务次数在区间
内的情况有
，共
种情况…10分
每种情况都是等可能出现的，所以其中至少一人参加社区服务次数在区间
内的概率为
.……………12分
18.（本小题满分14分）
证明：
（1）因为
平面
，
平面
，
所以
…………2分
又因为在
中，
，
为
的中点，
所以
…………4分
又
平面
，
平面
，且
，
所以
平面
………6分
（2）法一：
因为
平面
且
平面
所以平面
平面
，……………8分
又因为平面
平面
，
所以点
到
的距离
即为点
到平面
的距离，……………10分
在直角三角形
中，由
……………11分
得
……………13分
所以点
到平面
的距离为
.………………………14分
法二：
设点
到平面
的距离为
，据
………8分
即
，得
………………………13分
所以点
到平面
的距离为
.………………………14分
19．（本小题满分14分）
（1）当
时，
，由
，得
……………………1分
当
时，∵
，
，…………………2分
∴
，即
∴
…………………………………………5分
∴
是以
为首项，
为公比的等比数列．…………………………………6分
故
…………………………………………7分
（2）
，
……………9分
…………………………………………11分
……13分
解方程
，得
…………………………………………14分
20.（本小题满分14分）
解:
（1）依题意可设椭圆方程为
，………………………….2分
则右焦点
的坐标为
，………………………….3分
由题意得
，解得
，
故所求椭圆的标准方程为
.………………………….5分
（2）设
、
、
，其中
为弦
的中点，
由
，得
…………………….7分
因为直线与椭圆相交于不同的两点，所以
即
①，………………………….8分
，所以
，
从而
………………………….9分
所以
，………………………….10分
又
，所以
，
因而
，即
②，……………………….11分
把②式代入①式得
，解得
，………………………….12分
由②式得
，解得
，………………………….13分
综上所述，求得
的取值范围为
.………………………….14分
21．（本小题满分14分）
（1）
，所以
，得
.………………2分
又
，所以
，得
.………………3分
（2）因为
所以
，
.………………4分
当
时，
，当
时，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增………………5分
又
，可知
在区间
内有唯一零点等价于
或
，.………………7分
得
或
..………………8分
（3）若对任意的
，均有
，等价于
在
上的最大值与最小值之差
……………10分
（ⅰ）当
时，在
上
，
在
上单调递增，
由
，得
，
所以
.………………9分
（ⅱ）当
时，由
得
由
得
或
所以
，同理
.………………10分
当
，即
时，
，与题设矛盾；
.………………11分
当
，即
时，
恒成立；……………12分
当
，即
时，
恒成立；
.………………13分
综上所述，
的取值范围为
..………………14分
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