初中数学经典难题含答案.docx
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初中数学经典难题含答案
初中数学经典难题（含答案）
经典难题
（一）
1、已知：
如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：
CD＝GF．（初二）
A
F
G
C
E
B
O
D
2、已知：
如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15°．
A
P
C
D
B
求证：
△PBC是正三角形．（初二）
D2
C2
B2
A2
D1
C1
B1
C
B
D
A
A1
3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．
求证：
四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）
A
N
F
E
C
D
M
B
4、已知：
如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．
求证：
∠DEN＝∠F．
经典难题
（二）
1、已知：
△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．
·
A
D
H
E
M
C
B
O
（1）求证：
AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝60°，求证：
AH＝AO．（初二）
·
G
A
O
D
B
E
C
Q
P
N
M
2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
求证：
AP＝AQ．（初二）
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
·
O
Q
P
B
D
E
C
N
M
·
A
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：
AP＝AQ．（初二）
P
C
G
F
B
Q
A
D
E
4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．
求证：
点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）
经典难题（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．
A
F
D
E
C
B
求证：
CE＝CF．（初二）
2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．
E
D
A
C
B
F
求证：
AE＝AF．（初二）
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
D
A
E
P
C
B
A
求证：
PA＝PF．（初二）
O
D
B
F
A
E
C
P
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：
AB＝DC，BC＝AD．（初三）
经典难题（四）
1、已知：
△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
A
P
C
B
求：
∠APB的度数．（初二）
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：
∠PAB＝∠PCB．（初二）
P
A
D
C
B
3、Ptolemy（托勒密）定理：
设ABCD为圆内接凸四边形，求证：
AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．
C
B
D
A
（初三）
4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且
AE＝CF．求证：
∠DPA＝∠DPC．（初二）
F
P
D
E
C
B
A
经典难题（五）
A
P
C
B
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，l＝PA＋PB＋PC，求证：
≤L＜2．
A
C
B
P
D
2、已知：
P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
A
C
B
P
D
3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
E
D
C
B
A
4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80°，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30°，∠EBA＝20°，求∠BED的度数．
经典难题
（一）
1、
2、
3、
4、
经典难题
（二）
1、
2、
3、
4、
经典难题（三）
1、
2、
3、
4、
经典难题（四）
1、
2、
3、
4、证明：
过D作DQ⊥AE，DG⊥CF,并连接DF和DE，如右图所示
则S△ADE=
SABCD=S△DFC
∴
AE﹒DQ=
DG﹒FC
又∵AE=FC,
∴DQ=DG,
∴PD为∠APC的角平分线，
∴∠DPA=∠DPC
经典难题（五）
1、
2、
3、
3、
4、
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