九年级数学上册第一章特殊平行四边形13正方形的性质与判定第2课时正方形的判定同步练习新版北师大版.docx

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九年级数学上册第一章特殊平行四边形13正方形的性质与判定第2课时正方形的判定同步练习新版北师大版

第2课时　正方形的判定

知识点1　用定义判定正方形

1．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（　　）

A．AB＝BD且AC⊥BD

B．∠A＝90°且AB＝AD

C．∠A＝90°且AC＝BD

D．AC和BD互相垂直平分

2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：

________________．

知识点2　利用菱形判定四边形是正方形

3．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是（　　）

A．OA＝OC，OB＝OD

B．OA＝OB＝OC＝OD

C．OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD

D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD

图1－3－17

4．如图1－3－17，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（　　）

A．22.5°角　　B．30°角

C．45°角　　D．60°角

5．教材习题1.8第3题变式题如图1－3－18，有4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．请判断四边形PQEF的形状．

图1－3－18

知识点3　利用矩形判定四边形是正方形

6．2017·齐齐哈尔矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：

________，使其成为正方形．（只填一个即可）

　图1－3－19

7．如图1－3－19所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定的方法是__________________________．

8．2017·邵阳如图1－3－20所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.

（1）求证：

平行四边形ABCD是矩形；

（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．

　图1－3－20

9．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是（　　）

A．矩形

B．对角线互相垂直的四边形

C．菱形

D．对角线互相垂直且相等的四边形

　图1－3－21

10．如图1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形ECFB为正方形的是（　　）

A．BC＝ACB．CF⊥BF

C．BD＝DFD．AC＝BF

　图1－3－22

11．教材习题1.8第3题变式题如图1－3－22，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（　　）

A．30B．34C．36D．40

12．2017·贵阳期末如图1－3－23，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．

（1）求证：

四边形ABCD是菱形；

（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：

四边形ABCD是正方形．

图1－3－23

13．如图1－3－24，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为N.

（1）求证：

四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？

并给出证明．

图1－3－24

14．观察如图1－3－25所示图形的变化过程，解答以下问题：

图1－3－25

如图1－3－26，在△ABC中，D为BC边上的一动点（点D不与B，C两点重合），DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.

（1）试探索当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；

（2）在

（1）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形？

为什么？

图1－3－26

15．如图1－3－27，在四边形ABCD中，E，G分别是AD，BC的中点，F，H分别是BD，AC的中点．

（1）当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？

并证明你的结论；

（2）当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？

并证明你的结论；

（3）当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？

并证明你的结论．

图1－3－27

1．B　2.AB＝BC（答案不唯一）

3．D

4．C　.

5．解：

在正方形ABCD中，AP＝BQ＝CE＝DF，AB＝BC＝CD＝DA，

∴AF＝BP＝CQ＝DE.

又∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，

∴FP＝PQ＝QE＝EF，

∴四边形PQEF是菱形．

∵△AFP≌△BPQ，

∴∠APF＝∠BQP.

∵∠BPQ＋∠BQP＝90°＝∠BPQ＋∠APF，

∴∠FPQ＝90°，

∴四边形PQEF为正方形．

6．AB＝BC或AC⊥BD（答案不唯一）

7．有一组邻边相等的矩形是正方形

8．解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD.

∵∠OBC＝∠OCB，

∴OB＝OC，

∴AC＝BD，

∴平行四边形ABCD是矩形．

（2）AB＝AD（或AC⊥BD，答案不唯一）．

9．D　10.D

11．B　

12．证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO.

又∵△ACE是等边三角形，

∴EO⊥AC，即AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO.

又∵△ACE是等边三角形，

∴EO平分∠AEC，

∴∠AED＝

∠AEC＝

×60°＝30°.

又∵∠AED＝2∠EAD，

∴∠EAD＝15°，

∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝15°＋30°＝45°.

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，

∴四边形ABCD是正方形．

13．解：

（1）证明：

∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠DAC.

∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

∴∠MAE＝∠CAE，

∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝

×180°＝90°.

又∵AD⊥BC，CE⊥AN，

∴∠ADC＝∠CEA＝90°，

∴四边形ADCE为矩形．

（2）当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE为正方形．

证明：

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ACB＝∠B＝45°.

∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，

∴DC＝AD.

又∵四边形ADCE是矩形，

∴矩形ADCE是正方形．

∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．

14．解：

（1）当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形．

理由：

∵AE∥DF，DE∥AF，

∴四边形AEDF为平行四边形．

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠FAD.

又∵DE∥AF，

∴∠FAD＝∠ADE，

∴∠EAD＝∠ADE，

∴AE＝DE，

∴平行四边形AEDF为菱形．

（2）当∠BAC＝90°时，菱形AEDF是正方形．因为有一个角是直角的菱形是正方形．

15．解：

（1）当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形．

证明：

∵E，F分别是AD，BD的中点，G，H分别是BC，AC的中点，

∴EF∥AB，EF＝

AB，

GH∥AB，GH＝

AB，

FG∥CD.

∴EF∥GH，EF＝GH，

∴四边形EFGH是平行四边形．

∵AB⊥CD，

∴EF⊥FG，即∠EFG＝90°，

∴四边形EFGH是矩形．

（2）当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．

证明：

∵E，F分别是AD，BD的中点，H，G分别是AC，BC的中点，

∴EF＝

AB，GH＝

AB，FG＝

CD，EH＝

CD.

又∵AB＝CD，

∴EF＝FG＝GH＝EH，

∴四边形EFGH是菱形．

（3）当AB＝CD且AB⊥CD时，四边形EFGH是正方形．

证明：

∵E，F分别是AD，BD的中点，

∴EF∥AB，EF＝

AB，

同理，EH∥CD，EH＝

CD，FG＝

CD，

GH＝

AB.

∵AB＝CD，

∴EF＝EH＝GH＝FG，

∴四边形EFGH是菱形．

∵AB⊥CD，

∴EF⊥EH，即∠FEH＝90°，

∴菱形EFGH是正方形．