北师大版七年级下册 第5讲 相交线尖子班.docx

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北师大版七年级下册第5讲相交线尖子班

第5讲相交线

知识点1直线交点个数

1.两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线．

2.n条直线两两相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）=

个交点，最少有1个交点．

【典例】

1.观察下列平面图形：

第一个图2条直线相交，最多有1个交点；第二个图3条直线相交最多有3个交点；第三个图4条直线相交；最多有6个交点，…，像这样，则30条直线相交，最多交点的个数是_____________.

【答案】435

【解析】解：

∵第一个图，2条直线相交，最多有1个交点，

第二个图，3条直线相交最多有3个交点，

第三个图，4条直线相交，最多有6个交点，

而3=1+2，6=1+2+3，

∴第四个图5条直线相交，最多有1+2+3+4=10（个）交点

∴30条直线相交，最多交点的个数是1+2+3+…+29=（1+29）×29÷2=435．

故答案为435.

【方法总结】

根据2条，3条，4条直线相交时最多的交点个数发现规律，根据规律，写出n条相交线交点最多的个数的表达式：

1+2+3+4+5+…+（n﹣1），因为1+2+3+4+5+…+（n﹣1）=，所以n条相交线交点最多的个数为，令n=30即可求出答案.

一般地：

n条直线两两相交，最多有

个交点，最少有1个交点．

【随堂练习】

1．在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，依此类推，则　　．

【解答】如图：

2条直线相交有1个交点；

3条直线相交有1+2个交点；

4条直线相交有1+2+3个交点；

5条直线相交有1+2+3+4个交点；

6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；

…

n条直线相交有

1+2+3+…+n﹣1．

则1

＝2[

（1）+（）+（）+（）+…+（）

＝2×

（1）

．

故答案是：

．

2．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？

它们最多能把平面分成多少个部分？

【解答】解：

如图，图中共有34个交点．

4条平行线5部分，

加一条线10部分，

再加一条16部分，

再加一条22部分，

可以看出规律5→10→16→22，

所以答案是5+5+6+6+6+9+10＝47．

知识点2邻补角与对顶角

邻补角

1.邻补角：

两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.

2.邻补角的模型：

∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，

特点：

①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

3.邻补角的性质：

两个角的和为180°.

对顶角

1.对顶角的模型：

∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.

特点：

①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线.

2.对顶角的性质：

对顶角相等.

【典例】

1.如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．

（1）直接写出图中∠AOC的对顶角：

__________，∠EOB的邻补角：

______________;

（2）若∠AOC=70°且∠BOE：

∠EOD=2：

3，求∠AOE的度数．

【解析】解：

（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠EOB的邻补角是∠AOE，

故答案为：

∠BOD，∠AOE；

（2）∵∠AOC=70°，

∴∠BOD=∠AOC=70°.

∵∠BOE：

∠EOD=2：

3，

∴∠BOE=×∠BOD=×70°=28°，

∴∠AOE=180°﹣∠BOE=180°﹣28°=152°．

∴∠AOE的度数为152°．

【方法总结】

（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；

（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：

∠EOD=2：

3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．

本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，牢记“对顶角相等”和“互为邻补角的两个角的和等于180°”是解题的关键．

【随堂练习】

1．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE∠EOC

（1）求∠AOE的度数；

（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．

①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；

②若∠AOF＝120°时，直接写出α的度数．

【解答】解：

（1）∵∠AOE∠EOC，即∠AOE：

∠EOC＝2：

3．

∴设∠AOE＝2x，则∠EOC＝3x，

∴∠AOC＝5x，

∵∠AOC＝∠BOD＝75°，

∴5x＝75°，

解得：

x＝15°，

则2x＝30°，

∴∠AOE＝30°；

（2）①∵∠AOE＝30°，

∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝150°，

∵OF平分∠BOE，

∴∠BOF＝75°，

∵∠BOD＝75°，

∴∠DOF＝75°+75°＝150°；

②分两种情况：

当OF在∠BOC的内部时，如图2，

∵∠AOF＝120°，∠AOE＝30°，

∴α＝∠EOF＝120°﹣30°＝90°，

当OF在∠BOD的内部时，如图3，

∴α＝360°﹣∠AOF﹣∠AOE＝360°﹣120°﹣30°＝210°，

综上所述，α的度数为90°或210°．

2．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．

（1）求∠BOD的度数；

（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．

①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；

②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．

【解答】解：

（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，

∴∠AOC＝30°，

又∵∠AOB＝90°，

∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；

（2）①分两种情况：

当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°，

即9t+30°﹣3t＝45°，

解得t＝2.5；

当OF平分∠AOB时，AOF＝45°，

即9t﹣150°﹣3t＝45°，

解得t＝32.5；

综上所述，当t＝2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；

②t的值为12s或36s．

分两种情况：

当OE平分∠BOD时，∠BOE∠BOD，

即9t﹣60°﹣3t（60°﹣3t），

解得t＝12；

当OF平分∠BOD时，∠DOF∠BOD，

即3t﹣（9t﹣240°）（3t﹣60°），

解得t＝36；

知识点3垂线

垂线

1.两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.

2.垂直的模型：

说法：

①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.

②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.

结论：

两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.

3.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂线段

1.过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.

2.垂线段模型：

线段AB是点A到直线a的垂线段.

3.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：

垂线段最短.

4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

注意：

距离是长度，不是线段.

【典例】

1.如图，点O在直线AB上，点M，N在直线AB外，若MO⊥AB，NO⊥AB，垂足均为O，则可得点N在直线MO上，其理由是______________.

【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【解析】解：

其理由是：

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

故答案为：

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

2.如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD.

（1）①图中与∠AOF互余的角是___________；

②与∠COE互补的角是___________．

（把符合条件的角都写出来）

（2）如果∠AOC比∠EOF的小6°，求∠BOD的度数．

【解析】解：

（1）①图中与∠AOF互余的角是∠BOD，∠AOC；

②与∠COE互补的角是∠EOD，∠BOF，

故答案为：

①∠BOD，∠AOC；②∠EOD，∠BOF；

（2）∵OE⊥AB，OF⊥CD，

∴∠EOC+∠AOC=90°，∠AOF+∠AOC=90°，

∴∠EOC=∠AOF.

设∠AOC=x°，则∠EOC=∠AOF=（90﹣x）°，

∠EOF=∠AOF+∠AOE=（90﹣x）°+90°=.

∵，列方程∠AOC比∠EOF的小6°，

∴可列方程为x=，

解得x=25.

∴∠BOD=∠AOC=25°.

【方法总结】

结论：

在同一平面内，已知直线AB，若MO⊥AB，NO⊥AB且垂足为O，则M，O，N在同一条直线上.

方法：

求一个角的度数时，若涉及多个有关联的未知角，用方程的思想解题比较简单明了.设所求角度数为x，用x表示出题目中有关联的各个角，根据等量关系列出方程，解方程，进而求得答案.

3.如图，AC⊥CB于C，CD⊥AB于D，下列关系中一定成立的是_________（填序号）

（1）AD＞CD；

（2）CD＞BD；（3）BC＞BD；（4）AC＞AD.

【答案】（3）（4）

【解析】解：

∵BD⊥CD，

∴BC＞BD（垂线段最短），

AC＞AD（垂线段最短）.

所以（3）（4）正确.

（1）

（2）不一定成立.

故答案为：

（3）（4）．

4.如图，BC⊥AC，BC=3，AC=4，AB=5，则点C到线段AB的距离是________．

【答案】2.4

【解析】解：

如图，作CD⊥AB于点D，CD的长即为点C到直线AB的距离.

设点C到线段AB的距离是x，

∵BC⊥AC，

∴S△ABC=AB·x=AC·BC，

即×5·x=×3×4，

解得x=2.4，

即点C到线段AB的距离是2.4．

故答案为：

2.4．

【方法总结】

注意：

垂线段是一条线段，距离是长度，即一个有长度单位的一个数值.点到直线的距离即垂线段的长度.一定要分清两者的联系与区别.

结论：

已知直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则斜边上的高为，即直角顶点到斜边的距离.

【随堂练习】

1．如图，OA⊥OB，引射线OC（点C在∠AOB外），OD平分∠BOC，OE平分∠AOD．

（1）若∠BOC＝40°，请依题意补全图，并求∠BOE的度数；

（2）若∠BOC＝α（0°＜α＜90°），请直接写出∠BOE的度数（用含α的代数式表示）．

【解答】解：

（1）如图，∵OD是∠BOC的平分线，

∴∠COD＝∠BOD＝20°，

∴∠AOD＝∠BOD+∠AOB＝20°+90°＝110°，

又∵OE是∠AOD的平分线，

∴∠DOE∠AOD＝55°，

∴∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝55°﹣20°＝35°；

（2）同

（1）可得∠COD＝∠BODα，

∠AODα+90°，

∠DOE∠AOD（α+90°）α+45°，

则∠BOEα+45°α＝45°α．

2．根据要求画图，并回答问题．

已知：

直线AB，CD相交于点O，且OE⊥AB．

（1）过点O画直线MN⊥CD；

（2）若点F是

（1）中所画直线MN上任意一点（O点除外），若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．

【解答】解：

（1）如图所示：

（2）如上图：

①当F在OM上时，

∵EO⊥AB，MN⊥CD，

∴∠EOB＝∠MOD＝90°，

∴∠MOE+∠EOD＝90°，∠EOD+∠BOD＝90°，

∴∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°；

②当F在ON上时，如图在F′点时，

∵MN⊥CD，

∴∠MOC＝90°＝∠AOC+∠AOM，

∴∠AOM＝90°﹣∠AOC＝55°，

∴∠BON＝∠AOM＝55°，

∴∠EOF′＝∠EOB+∠BON＝90°+55°＝145°，

答：

∠EOF的度数是35°或145°．

知识点4同位角、内错角、同旁内角

模型：

1.同位角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.

2.内错角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.

3.同旁内角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.

4.三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形.

【典例】

1.如图，与∠α构成同旁内角的角有________个.

【答案】3

【解析】解：

如图，由同旁内角构成“U”形，可在图中找出与∠α构成同旁内角的角有：

∠1、∠2、∠3，

共3个，

故答案为3.

2.如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？

请把它们全部写出来．

【解析】解：

由同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形，可在图中找出

同位角：

∠3与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6．

内错角：

∠1与∠4，∠3与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8；

同旁内角：

∠3与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5；

【方法总结】

判断一对角是不是同位角、内错角或同旁内角有两种方法：

①按定义判断，找到截线（两个角的公共边所在的直线）与被截线，判断两个角的位置关系；②按两个角构成的形状判断，若构成“F”形，则为同位角；若构成“Z”形，则为内错角；若构成“U”形，则为同旁内角.数角的对数的时候，要认真仔细，做到不重不漏.

【随堂练习】

1．已知：

如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：

一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：

从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径，路径1：

∠1﹣同旁内角→∠9﹣内错角→∠3．

路径2：

∠1一内错角→∠12一内错角→∠6﹣同位角→∠10﹣同旁内角→∠3．

试一试：

（1）从起始∠1跳到终点角∠8；

（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点∠8？

【解答】解：

（1）路径∠1∠12∠8；

（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能跳到终点∠8．其路径为：

路径：

∠1∠10∠5∠8．

2．如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？

其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．

（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？

请指出与∠2是内错角的有哪些角？

（2）若∠1＝115°，测得∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？

请说明理由．

【解答】解：

（1）与∠1是同旁内角的有∠AOE，∠MOE，∠ADE；

与∠2是内错角的有∠MOE，∠AOE；

（2）∵AB∥CD，

∴∠BOE＝∠1＝115°，

∵∠BOM＝45°，

∴∠MOE＝∠BOM﹣∠BOE＝145°﹣115°＝30°，

∴向上折弯了30°．

综合运用

1.如图，2条直线两两相交最多能有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有_________个交点，…，n条直线两两相交最多能有___________个交点（用含有n的代数式表示）

【答案】10

【解析】解：

2条直线相交有1个交点；

3条直线相交有1+2=3（个）交点；

4条直线相交有1+2+3=6（个）交点；

5条直线相交有1+2+3+4=10（个）交点；

6条直线相交有1+2+3+4+5=15（个）交点；

…

n条直线相交有1+2+3+5+…+（n﹣1）=个交点．

故答案为：

10；．

2.如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠AOF=∠DOE．

（1）图中的对顶角有___对，它们是_____________________；

（2）∠COB的邻补角是___________，∠COE的补角是___________；

（3）若∠AOC=70°，∠DOE=32°，那么∠BOE=_____，∠DOF=______．

【答案】

（1）2∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD；

（2）∠AOC和∠BOD，∠DOE和∠AOF；

（3）38°78°

【解析】解：

（1）对应角有2对，它们是∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD；

（2）∠COB的邻补角是∠AOC和∠BOD，∠COE的补角是∠DOE和∠AOF；

（3）∵∠AOC=70°，

∴∠BOD=70°．

∴∠BOE=∠BOD-∠EOD=70°﹣32°=38°．

∵∠AOD=∠180°﹣∠AOC=∠180°﹣70°=110°，∠AOF=∠DOE=32°．

∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=110°-32°=78°．

故答案为：

（1）2；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD；

（2）∠AOC和∠BOD；∠DOE和∠AOF；

（3）38°；78°．

3.如图所示，某自来水厂计划把河流AB中的水引到蓄水池C中，问从河岸AB的何处开渠，才能使所开的渠道最短？

画图表示，并说明设计的理由．

【解析】解：

利用垂线段最短，过点C作AB的垂线，垂足即开渠处，

如图所示．

从河岸AB的D点处开渠，可使所开的渠道最短．理由是垂线段最短．

4.作图并写出结论：

如图，点P是∠AOB的边OA上一点，请过点P画出OA，OB的垂线，分别交BO的延长线于M、N，线段_______的长表示点P到直线BO的距离；线段_____的长表示点M到直线AO的距离；线段ON的长表示点O到直线______的距离；点P到直线OA的距离为______．

【解析】解：

如图所示：

线段PN的长表示点P到直线BO的距离；

线段PM的长表示点M到直线AO的距离；

线段ON的长表示点O到直线PN的距离；

点P到直线OA的距离为0，

故答案为：

PN，PM，PN，0．

5.如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三角形，其中AC⊥BC，AC=900米，BC=1200米，AB=1500米．

（1）试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离．

（2）画出表示小丽家到街道AB距离的线段．

【解析】解：

（1）∵AC=900米，BC=1200米，AB=1500米，

∴AC⊥BC，

∴小雨家到街道BC的距离为：

900m，小樱家到街道AC的距离为：

1200m；

（2）如图所示：

CD即为小丽家到街道AB距离．

6.如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．

（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？

请你全部写出来；

（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？

∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？

【解析】解：

（1）如图所示：

同位角共有5对：

分别是∠1和∠5，∠2和∠3，∠3和∠7，∠4和∠6，∠4和∠9；

（2）∠4和∠5是同旁内角，∠6和∠8也是同旁内角，故∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同．

7.如图，∠1和∠4，∠2和∠5，∠3和∠5，∠3和∠4分别是哪两条直线被哪一条直线多截成的？

它们各是什么角？

【解析】解：

∠1和∠4是BE截取AB、DC，它们是同位角，

∠2和∠5，是AC截取AB、DC，它们是内错角，

∠3和∠5，是AC截取AB、BC，它们是同旁内角，

∠3和∠4，是BC截取AB、AC，它们是同旁内角．

8.如图所示，a、b两条直线交于一点，生成∠9，探索∠9与原有角的位置关系．

（1）直线b、c被直线a所截，∠9与∠4是_______．

（2）∠9与∠5是直线_______被直线_______所截形成的_______．

（3）图中共有几对同旁内角？

【解析】解：

（1）∠9与∠4是同位角，

故答案为：

同位角；

（2））∠9与∠5是直线a、c被直线b所截形成的内错角，

故答案为：

a、c；b；内错角；

（3）图中∠9和∠1，∠9和∠6，∠1和∠6，∠12和∠2，∠10和∠5，∠4和∠7是同旁内角，共6对.

9.已知直线AB和CD相交于O点，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠BOD的度数．

【解析】解：

∵CO⊥OE，

∴∠COE=90°.

∵∠COF=34°，

∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°﹣34°=56°.

又∵OF平分∠AOE，

∴∠AOF=∠EOF=56°.

∵∠COF=34°，

∴∠AOC=∠AOF-∠COF=56°﹣34°=22°.

则∠BOD=∠AOC=22°．