北师大版七年级下册 第5讲 相交线尖子班.docx

1、北师大版七年级下册 第5讲 相交线尖子班第5讲 相交线知识点1 直线交点个数1. 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线2. n条直线两两相交，最多有1+2+3+（n1）=个交点，最少有1个交点【典例】1.观察下列平面图形：第一个图2条直线相交，最多有1个交点；第二个图3条直线相交最多有3个交点；第三个图4条直线相交；最多有6个交点，像这样，则30条直线相交，最多交点的个数是_.【答案】435【解析】解：第一个图，2条直线相交，最多有1个交点， 第二个图，3条直线相交最多有3个交点， 第三个图，4条直线相交，最多有6个交点， 而3=1+2，6=1+2+3，第四

2、个图5条直线相交，最多有1+2+3+4=10（个）交点30条直线相交，最多交点的个数是1+2+3+29=（1+29）292=435故答案为435.【方法总结】根据2条，3条，4条直线相交时最多的交点个数发现规律，根据规律，写出n条相交线交点最多的个数的表达式：1+2+3+4+5+（n1），因为1+2+3+4+5+（n1）=，所以n条相交线交点最多的个数为，令n=30即可求出答案.一般地：n条直线两两相交，最多有个交点，最少有1个交点【随堂练习】1在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，依此类推，则【解答】如图：2条直线相交有1个交点

3、；3条直线相交有1+2个交点；4条直线相交有1+2+3个交点；5条直线相交有1+2+3+4个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；n条直线相交有1+2+3+n1则12（1）+（）+（）+（）+（）2（1）故答案是：2平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？【解答】解：如图，图中共有34个交点4条平行线5部分，加一条线10部分，再加一条16部分，再加一条22部分，可以看出规律 5101622，所以答案是5+5+6+6+6+9+1047知识点2 邻补角与对顶角邻补角1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另

4、一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.2. 邻补角的模型：1和3是邻补角，1和4是邻补角，2和3是邻补角，2和4是邻补角，特点：成对出现；两个角有公共的顶点；两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.3. 邻补角的性质：两个角的和为180.对顶角1. 对顶角的模型：1和2是对顶角，3和4是对顶角.特点：成对出现；两个角有公共的顶点；每个角的两边互为另一个角的反向延长线.2. 对顶角的性质：对顶角相等.【典例】1.如图，直线AB、CD相交于点O，OE把BOD分成两部分（1）直接写出图中AOC的对顶角： _，EOB的邻补角：_;（2）若AOC=70且BOE：EOD=2：3，求AOE的

5、度数【解析】解：（1）AOC的对顶角是BOD，EOB的邻补角是AOE，故答案为：BOD，AOE；（2）AOC=70，BOD=AOC=70.BOE：EOD=2：3，BOE=BOD =70=28，AOE=180BOE =18028=152AOE的度数为152【方法总结】（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；（2）根据对顶角相等求出BOD的度数，再根据BOE：EOD=2：3求出BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180即可求出AOE的度数本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，牢记“对顶角相等”和“互为邻补角的两个角的和等于180”是解题的关键【随堂练习】1如图，直线AB、CD相交于点

6、O已知BOD75，OE把AOC分成两个角，且AOEEOC（1）求AOE的度数；（2）将射线OE绕点O逆时针旋转（0360）到OF如图2，当OF平分BOE时，求DOF的度数；若AOF120时，直接写出的度数【解答】解：（1）AOEEOC，即AOE：EOC2：3设AOE2x，则EOC3x，AOC5x，AOCBOD75，5x75，解得：x15，则2x30，AOE30；（2）AOE30，BOE180AOE150，OF平分BOE，BOF75，BOD75，DOF75+75150；分两种情况：当OF在BOC的内部时，如图2，AOF120，AOE30，EOF1203090，当OF在BOD的内部时，如图3，36

7、0AOFAOE36012030210，综上所述，的度数为90或2102如图，直线CD与EF相交于点O，COE60，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分COE（1）求BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0t40）当t为何值时，直线EF平分AOB；若直线EF平分BOD，直接写出t的值【解答】解：（1）COE60，OA平分COE，AOC30，又AOB90，BOD180309060；（2）分两种情况：当OE平分AOB时，AOE45，即9t+303t45，解得t2.5；当OF平分AOB时，AOF45

8、，即9t1503t45，解得t32.5；综上所述，当t2.5s或32.5s时，直线EF平分AOB；t的值为12s或36s分两种情况：当OE平分BOD时，BOEBOD，即9t603t（603t），解得t12；当OF平分BOD时，DOFBOD，即3t（9t240）（3t60），解得t36；知识点3 垂线垂线1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.2. 垂直的模型：说法：直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.结论：两垂直直线形成的四个角都

9、是直角，均为90.3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线段1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.2. 垂线段模型：线段AB是点A到直线a的垂线段.3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.注意：距离是长度，不是线段.【典例】1.如图，点O在直线AB上，点M，N在直线AB外，若MOAB，NOAB，垂足均为O，则可得点N在直线MO上，其理由是_.【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【解析】解：其理由是：在同一

10、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.如图，直线AB与CD相交于O，OEAB，OFCD.（1）图中与AOF互余的角是_；与COE互补的角是_（把符合条件的角都写出来）（2）如果AOC比EOF的小6，求BOD的度数 【解析】解：（1）图中与AOF互余的角是BOD，AOC；与COE互补的角是EOD，BOF，故答案为：BOD，AOC；EOD，BOF；（2）OEAB，OFCD，EOC+AOC=90，AOF+AOC=90，EOC=AOF.设AOC=x，则EOC=AOF=（90x），EOF=AOF+AOE=（90x）+90=.，列方

11、程AOC比EOF的小6，可列方程为x=，解得x=25.BOD=AOC=25.【方法总结】结论：在同一平面内，已知直线AB，若MOAB，NOAB且垂足为O，则M，O，N在同一条直线上.方法：求一个角的度数时，若涉及多个有关联的未知角，用方程的思想解题比较简单明了.设所求角度数为x，用x表示出题目中有关联的各个角，根据等量关系列出方程，解方程，进而求得答案.3.如图，ACCB于C，CDAB于D，下列关系中一定成立的是_（填序号）（1）ADCD；（2）CDBD；（3）BCBD；（4）ACAD.【答案】（3）（4）【解析】解：BDCD，BCBD（垂线段最短），ACAD（垂线段最短）.所以（3）（4）正

12、确.（1）（2）不一定成立.故答案为：（3）（4）4.如图，BCAC，BC=3，AC=4，AB=5，则点C到线段AB的距离是_【答案】2.4【解析】解：如图，作CDAB于点D，CD的长即为点C到直线AB的距离.设点C到线段AB的距离是x，BCAC，SABC=ABx=ACBC，即5x=34，解得x=2.4，即点C到线段AB的距离是2.4故答案为：2.4【方法总结】注意：垂线段是一条线段，距离是长度，即一个有长度单位的一个数值.点到直线的距离即垂线段的长度.一定要分清两者的联系与区别.结论：已知直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则斜边上的高为，即直角顶点到斜边的距离.【随堂练习】1如图，

13、OAOB，引射线OC（点C在AOB外），OD平分BOC，OE平分AOD（1）若BOC40，请依题意补全图，并求BOE的度数；（2）若BOC（090），请直接写出BOE的度数（用含的代数式表示）【解答】解：（1）如图，OD是BOC的平分线，CODBOD20，AODBOD+AOB20+90110，又OE是AOD的平分线，DOEAOD55，BOEDOEBOD552035；（2）同（1）可得CODBOD，AOD+90，DOEAOD（+90）+45，则BOE+45452根据要求画图，并回答问题已知：直线AB，CD相交于点O，且OEAB（1）过点O画直线MNCD；（2）若点F是（1）中所画直线MN上任意一

14、点（O点除外），若AOC35，求EOF的度数【解答】解：（1）如图所示：（2）如上图：当F在OM上时，EOAB，MNCD，EOBMOD90，MOE+EOD90，EOD+BOD90，EOFBODAOC35；当F在ON上时，如图在F点时，MNCD，MOC90AOC+AOM，AOM90AOC55，BONAOM55，EOFEOB+BON90+55145，答：EOF的度数是35或145知识点4 同位角、内错角、同旁内角模型：1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角如1与8，2与5.2. 内错角：两条直线被第三条

15、直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角如1与6，4与5.3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角如1与5，4与6.4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.【典例】

16、1.如图，与构成同旁内角的角有_个.【答案】3【解析】解：如图，由同旁内角构成“U”形，可在图中找出与构成同旁内角的角有：1、2、3，共3个，故答案为3.2.如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们全部写出来【解析】解：由同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形，可在图中找出同位角：3与7，2与8，4与6内错角：1与4，3与5，2与6，4与8；同旁内角：3与6，2与5，2与4，4与5；【方法总结】判断一对角是不是同位角、内错角或同旁内角有两种方法：按定义判断，找到截线（两个角的公共边所在的直线）与被截线，判断两个角的位置关系；按

17、两个角构成的形状判断，若构成“F”形，则为同位角；若构成“Z”形，则为内错角；若构成“U”形，则为同旁内角.数角的对数的时候，要认真仔细，做到不重不漏.【随堂练习】1已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从起始位置1跳到终点位置3写出其中两种不同路径，路径1：1同旁内角9内错角3路径2：1一内错角12一内错角6同位角10同旁内角3试一试：（1）从起始1跳到终点角8；（2）从起始角1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点8？【解答】解：（1）路径1128；（

18、2）从起始角1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能跳到终点8其路径为：路径：110582如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变（1）请指出与1是同旁内角的有哪些角？请指出与2是内错角的有哪些角？（2）若1115，测得BOM145，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由【解答】解：（1）与1是同旁内角的有AOE，MOE，ADE；与2是内错角的有MOE，AOE；（2）ABCD，BOE1115，BOM45，MOEBOMBOE14511530，向上折弯了30综合运用

19、1.如图，2条直线两两相交最多能有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有_个交点，n条直线两两相交最多能有_个交点（用含有n的代数式表示）【答案】10 【解析】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2=3（个）交点；4条直线相交有1+2+3=6（个）交点；5条直线相交有1+2+3+4=10（个）交点；6条直线相交有1+2+3+4+5=15（个）交点；n条直线相交有1+2+3+5+（n1）=个交点故答案为：10；2.如图所示，直线AB，CD相交于点O，AOF=DOE（1）图中的对顶角有_对，它们是_；（2）COB的邻补角是_

20、，COE的补角是_；（3）若AOC=70，DOE=32，那么BOE=_，DOF=_【答案】（1）2 AOC和BOD，BOC和AOD；（2）AOC和BOD，DOE和AOF；（3）38 78【解析】解：（1）对应角有2对，它们是AOC和BOD，BOC和AOD；（2）COB的邻补角是AOC和BOD，COE的补角是DOE和AOF；（3）AOC=70，BOD=70BOE=BOD -EOD=7032=38AOD=180AOC =18070=110，AOF=DOE=32DOF=AOD-AOF =110-32=78故答案为：（1）2；AOC和BOD，BOC和AOD；（2）AOC和BOD；DOE和AOF；（3）

21、38；783.如图所示，某自来水厂计划把河流AB中的水引到蓄水池C中，问从河岸AB的何处开渠，才能使所开的渠道最短？画图表示，并说明设计的理由【解析】解：利用垂线段最短，过点C作AB的垂线，垂足即开渠处，如图所示从河岸AB的D点处开渠，可使所开的渠道最短理由是垂线段最短4.作图并写出结论：如图，点P是AOB的边OA上一点，请过点P画出OA，OB的垂线，分别交BO 的延长线于M、N，线段_的长表示点P到直线BO的距离；线段_的长表示点M到直线AO的距离； 线段ON的长表示点O到直线_的距离；点P到直线OA的距离为_【解析】解：如图所示：线段PN的长表示点P到直线BO的距离；线段PM的长表示点M到

22、直线AO的距离；线段ON的长表示点O到直线PN的距离；点P到直线OA的距离为0，故答案为：PN，PM，PN，05.如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三角形，其中ACBC，AC=900米，BC=1200米，AB=1500米（1）试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离（2）画出表示小丽家到街道AB距离的线段【解析】解：（1）AC=900米，BC=1200米，AB=1500米，ACBC，小雨家到街道BC的距离为：900m，小樱家到街道AC的距离为：1200m；（2）如图所示：CD即为小丽家到街道AB距离6.如图，已知直线a，b被直线c，d所

23、截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题（1）在图中的19这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；（2）4和5是什么位置关系的角？6和8之间的位置关系与4和5的相同吗？【解析】解：（1）如图所示：同位角共有5对：分别是1和5，2和3，3和7，4和6，4和9；（2）4和5是同旁内角，6和8也是同旁内角，故6和8之间的位置关系与4和5的相同7.如图，1和4，2和5，3和5，3和4分别是哪两条直线被哪一条直线多截成的？它们各是什么角？ 【解析】解：1和4是BE截取AB、DC，它们是同位角，2和5，是AC截取AB、DC，它们是内错角，3和5，是AC截取AB、BC，它们是同旁内角，3和4

24、，是BC截取AB、AC，它们是同旁内角8.如图所示，a、b两条直线交于一点，生成9，探索9与原有角的位置关系（1）直线b、c被直线a所截，9与4是_（2）9与5是直线_被直线_所截形成的_（3）图中共有几对同旁内角？【解析】解：（1）9与4是同位角，故答案为：同位角；（2）9与5是直线a、c被直线b所截形成的内错角，故答案为：a、c；b；内错角；（3）图中9和1，9和6，1和6，12和2，10和5，4和7是同旁内角，共6对.9.已知直线AB和CD相交于O点，COOE，OF平分AOE，COF=34，求BOD的度数【解析】解：COOE，COE=90.COF=34，EOF=COE-COF =9034=56.又OF平分AOE，AOF=EOF=56.COF=34，AOC=AOF-COF =5634=22.则BOD=AOC=22