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力和力的平衡

第二章力和力的平衡

本章学习提要

1．有关力的知识，包括力的概念、几种常见的力。

2．力的等效替代方法（力的合成与分解）。

3．共点力的平衡问题。

这一章内容是整个力学的基础，也是今后学习气体、电场和电磁现象的重要基础，本章的重点是力的合成与分解以及共点力的平衡，本章的难点是力的分解和共点力平衡条件的实际应用，学习中不仅要学习和掌握有关力的知识，也要注重学习解决实际问题的重要思想方法，感悟力的平衡在社会生活中的重要意义。

A生活中常见的力

一、学习要求

理解力的概念，知道力学中常见的几种力。

理解重力的概念，知道重心的意义和重力的方向。

通过对形变的观察认识弹力，理解弹力的概念，知道弹性形变和弹力的方向，知道弹力的大小与形变有关系。

知道静摩擦力和最大静摩擦力的概念，能联系生活和生产的实例，应用弹力等知识解决简单的实际问题。

二、要点辨析

1．力

力是物体对物体的作用，力对物体的作用效果：

①使物体发生形变。

②使物体的运动状态发生改变。

我们可以从被作用物体发生形变或运动状态的变化来判断物体是否受到力的作用。

物体受到力的作用，必定有另一个物体施加这种作用。

可见力是不能脱离施力物体和受力物体而独立存在的。

力是矢量，在描述一个力时必须指出它的大小、方向和作用点，力的大小、方向、作用点叫做力的三要素。

2．形变和弹力

物体在外力作用下形状的变化叫做形变。

外力撤消的过程中，能自动恢复原状的形变叫做弹性形变。

发生弹性形变的物体，因要恢复原状，而对使它产生形变的物体施加的力称为弹力。

产生弹力的条件是：

①物体要直接接触。

②物体接触面发生弹性形变。

接触而不发生弹性形变的物体间不存在弹力。

弹力是一种常见的力，拉力、压力、推力、支持力和绳的张力在本质上都是弹力。

弹力的作用点位于两物体的接触面或接触点的受力物体一侧。

弹力的方向总是跟物体形变的方向相反，与物体恢复原状的方向相同，且与接触面垂直，例如放在水平桌面上的球（图2-1），由于两物相互挤压，都发生了弹性形变：

桌面向下凹陷；球被向上压缩。

桌面在恢复原状向上弹起时对球施加了弹力（支持力），方向竖直向上垂直于接触面。

可见这时弹力（支持力）的方向与桌面的形变方向相反，与桌面恢复原状的方向相同。

球在恢复原状向下弹起时对桌面施加了竖直向下、垂直接触面的弹力（压力）。

可见压力方向与球的形变方向相反，与它恢复原状方向相同。

3．常见力的种类

根据力的不同性质，在力学部分可分为重力、弹力、摩擦力。

关于弹力已作辨析。

重力：

物体受到的重力是由于地球对物体的吸引而引起的。

重力的方向总是竖直向下的，重力的作用点是物体的重心。

重心的位置与物体的形状和质量分布有关，质量均匀分布的有规则的物体的重心在它的几何中心，重力的大小与物体的质量成正比G＝mg。

用弹簧测力计可以测量重力的大小。

摩擦力：

一个物体在另一个物体表面上滑动时，受到的阻碍相对运动的力，叫做滑动摩擦力。

一个物体在另一个物体表面上并不滑动，但有相对运动趋势时受到阻碍相对运动的力叫做静摩擦力。

静摩擦力的最大值叫做最大静摩擦力。

三、例题分析

【例1】如图2-2所示，用细绳竖直吊着的小球下端接触一斜面，问小球受到几个弹力？

【分析】由于小球受到重力而使竖直绳产生拉伸形变，竖直绳要恢复原状，对小球产生竖直向上的拉力，小球与下方的斜面虽然接触，但没有相互挤压而发生形变，如果移开斜面，小球仍会保持原有的平衡状态，所以小球与斜面之间没有弹力。

【解答】小球只受到一个弹力，即钢绳对小球竖直向上的拉力。

【例2】相互接触的两个物体之间是否一定存在弹力呢？

如图2-3所示，小球在A、B处有弹力吗？

【解答】产生弹力的条件是相互接触而有形变，如果接触面或接触点之间不存在相互挤压而发生形变的情况，那么两个物体之间就不存在弹力。

如图2-3所示，图中小球与竖直平面和水平地面的接触点分别为A、B，在B点小球和水平面都有形变而在A点不发生形变，虽然眼睛看不出来，但若把竖直平面和水平地面都想像成用软橡胶做成的，马上就会感觉到在B点，水平地面会凹下去，而在A点无形变发生，所以在B点小球对水平地面有压力，水平地面对小球有支持力，在A点不存在弹力。

用平衡的方法也可以判断出在B点小球与水平地面之间存在弹力，而在A点不存在弹力，假设把小球下面的水平地面移开，小球会立即下落，说明水平地面对小球有支持力；而把竖直平面轻轻移开，小球仍会保持平衡，说明竖直平面对小球没有力的作用。

四、基本训练

1．力是_____对_______的作用；力的作用效果是使物体发生_____________或________________。

力学中常见的力按性质分类有______、__________和_________。

2．质量为50kg的人在上海地面所受的重力多大？

在月球表面所受的重力又是多大？

（上海的重力加速度为9.794m/s2，月球的重力加速度是地球表面的

）

3．

如图2-4所示，一块均匀的且左右是对称的薄板悬挂在天花板下，试用直尺画出薄板的重心位置。

4．弹力指的是发生_________的物体因要恢复原状，而对使它_____________的物体施加的力；弹力的方向总是跟物体形变的方向_________，且与接触面_______，物体间弹力的产生条件是____________，产生弹力的两物体必须___________，且发生___________。

5．下列各种形变中属于弹性形变的是（）。

（A）把细钢丝弯曲成弹簧

（B）汽车开过软泥地时留下的轮胎纹印

（C）把铜锭压制成铜板

（D）弹簧测力计在称过重物后指针恢复到零刻度

6．画出图2-5中各静止物体受到的弹力的示意图。

（要求画出图中A物体所受弹力的方向和作用点）

7．

如图2-6所示，手拉一放在地面上的箱子，箱子没有被拉动，画出这时箱子受到的重力、拉力、摩擦力和地面对箱子的支持力。

这里的摩擦力属于哪一类？

（货物可以看作质点）

8．

如图2-7所示，排球运动员在扣球瞬间手与球相互接触，画出球受到的弹力（用F1表示），这个力是什么物体形变产生的？

再画出手受到的弹力（用F2表示），它又是什么物体形变产生的？

9．以下关于弹力的说法中错误的是（）。

（A）只有发生弹性形变的物体，才会对它所接触的物体产生弹力的作用

（B）两个靠在一起的物体，它们相互之间一定有弹力作用

（C）就力的性质而言，压力、支持力、拉力都是弹力

（D）压力和支持力的方向总是垂直于接触面

10．

如图2-8所示，画一画拍球时网球受到的弹力，它是什么物体形变产生的？

再观察一下球拍的网面是否也有形变？

是否也受弹力？

11．

如图2-9所示，画一画这个半球形物体所受的弹力。

B力的合成

一、学习要求

知道合力、分力，理解力的合成概念。

理解力的合成的平行四边形定则，学会用平行四边形定则作图求合力。

会用解直角三角形的方法计算合力，知道矢量求和与标量求和是不同的运算方法。

认识力的合成是一种等效替代方法，认识什么是“等效”与“替代”，培养联系生活和生产的实例，应用知识解决实际问题的能力，在实验中培养探究能力和实事求是的科学态度。

二、要点辨析

1．力的三要素和力的图示

力是矢量，影响力的效果有三个要素——力的大小、方向和作用点。

力的图示就是用带有方向的线段来表示力的三要素，线段的长短按规定比例表示力的大小，箭头的指向表示力的方向，线段的起点或终点表示力的作用点，实际作图时通常用线段的起点表示力的作用点。

例如在图2-10中，一辆小车受到600N的水平向右的拉力，如何用力的图示法表示小车受到的水平拉力？

①为了清楚地表示力的大小，先得选定一个标度，这里确定用0.5cm长的线段表示200N的力，那么600N的力，线段长度应是1.5cm。

②O点是力的作用点，从O点开始水平向。

右画一条1.5cm长的线段。

③在线段末端画上向右的箭头，表示力的方向向右，最后还要标上力的符号F。

2．共点力

力的作用线：

力的作用线就是沿力的方向的那条直线，或者说与力矢量重合的那条直线。

共点力：

物体同时受几个力的作用，若这几个力作用于物体上的同一点上（作用点相同），或者它们的作用点虽然不相同，但力的作用线相交于同一点，这几个力就叫做共点力。

例如在图2-11中的各个图中，分别画出了物体受到的三个力，这三个力是共点力吗？

图（a）中的三个力F1、F2、F3作用在物体上的同一点，所以这三个力是共点力；图（b）中重力G的作用点在O点，绳对小球的拉力FA的作用点在A点，墙对小球的压力FB的作用点在B点，虽然三力的作用点不相同，但三力的作用线相交于O点，所以这三个力是共点力；图（c）中的三个力G、FA、FB作用点也不同，但三个力的作用线相交于物体外的O1点，所以这三个力是共点力；图（d）中的三个力不可能相交于同一点，所以这三个力不是共点力。

3．平行四边形定则

求几个已知力的合力叫做力的合成，力的合成遵循平行四边形定则。

求两个互成角度的共点力的合成，可以用表示这两个力的线段为邻边，作平行四边形，两个力所夹的对角线就表示合力的大小和方向，这就是力的平行四边形定则。

由合力与分力的概念和平行四边形定则可知，合力与所有的分力，在作用效果上是相同的，可以互相替代。

合力不一定比分力大，可以等于或小于分力。

4．合力与分力的关系

（1）合力大小与分力大小的关系。

初学者往往产生一种直觉，合力比分力大，其实合力大于、等于、小于分力的情况都可能发生，分析图2-12可以看出合力大小随分力F1和F2之间的夹角大小变化的情况。

当两分力之间的夹角为0°时，即两分力的方向相同时，合力最大，等于两分力的大小之和；随着两分力之间的夹角增大，合力的大小变小；当两分力的夹角增大到180°，即两分力的方向相反时，合力的大小最小，等于两分力的大小之差。

可见合力的大小在两分力的和与差的范围内变化。

（2）合力方向与分力方向之间的关系。

由图2-12可以看出，当两分力F1、F2的夹角为0°，即两分力的方向相同时，合力的方向就是分力的方向；当两分力F1、F2的夹角为180°，即两分力的方向相反时，合力的方向与较大的一个分力方向相同；当两分力的夹角大于0°，小于180°时，合力方向介于两分力方向之间，合力的方向可以用合力与某一分力之间的夹角来表示。

三、例题分析

【例1】两个小孩拉一辆车，一个用力450N，另一个用力600N，两力的夹角是90°，求他们的合力。

【解答】这是一个已知分力求合力的问题，可以根据平行四边形定则用作图法求解。

用一点O代表小车，选定10mm长的线段表示150N的力，作F1＝450N、F2＝600N的图示，再根据平行四边形定则，作图求出表示合力F的对角线，如图2-13所示。

量得对角线长50mm，所以合力大小

F＝150×

N＝750N，

再用量角器量出合力F与分力F1的夹角α＝53°。

所以，合力F的方向在两分力F1、F2之间，与分力F1成53°夹角。

【讨论】合力F的大小和方向还可以通过计算的方法求出。

图中，F1与F2的夹角是90°，所以OF2FF1是矩形，△OF2F是直角三角形，根据三角函数关系可得。

F＝

＝

N＝750N，

tanα＝

＝1.33，α＝53°。

【例2】关于两个共点力的合力与两个分力的大小关系，下列说法中正确的是（）。

（A）合力的大小，一定比任意一个分力大

（B）合力的大小，至少大于其中一个分力

（C）合力的大小，一定等于两个分力的大小之和

（D）合力的大小，可以比两个分力都小，也可能比两个分力都大

【解答】因为两个力F1、F2的合力大小范围为

|F1－F2|≤F合≤F1＋F2。

可见，合力可能比两个分力都大，也可能比两个分力都小，也有可能合力的大小在两个分力大小之间，或者与分力相等。

所以正确答案是D。

四、基本训练

1．如果一个力作用在物体上，它产生的效果跟几个力共同作用在同一物体上的效果相同时，这个力叫做那几个力的______力，而那几个力叫做这个力的_____力。

2．如图2-14所示。

在四幅物体的受力图中，物体各受三个力作用，其中肯定不属共点力的是（）。

3．一个球重0.4N，受到水平风的作用力是0.2N，则球所受的合力是多大？

方向与竖直方向成几度角？

4．

如图2-15所示，一个光滑圆柱形锅炉用A、B两支座支撑着，每个支座对锅炉的作用力均为2000N，两支座对锅炉作用力的合力为多大？

（在原图上用作图法求出）

5．关于合力的叙述，错误的是（）。

（A）合力的作用效果与原来几个力的效果相同

（B）合力的性质一定与原来的力相同

（C）合力的大小一定不会比各力的代数和大

（D）两个互成180°的共点力的合力随夹角的减小而增大

6．大小均为50N的三个共点力，F1、F2、F3，在同一平面内互成120°角，则其合力为_______N；若F1、F2的方向不变，将F3在同一平面内转动60°，则三力的合力大小又为_______N。

7．已知两个分力F1＝3N，F2＝4N，则它们的合力的最大值是_____N。

当这两个力互相垂直时，其合力大小为_____N。

8．请在图2-16中，用作图法求解合力。

9．一根绳子能承受的最大拉力为100N，若两人沿相反方向拉绳，当每人用力达到_______N时，绳子会被拉断，若绳的一端被固定，一人用力拉绳子的另一端，则此人用力达到______N时，绳就会被拉断。

10．平面上有5个力作用在O点，如图2-17所示，O点和各力的矢量终点恰好在一个正六边形的各顶点，这5个力中最小的力是1N，那么这5个力的合力大小为________。

11．

如图2-18所示，在野营时需要用绳来系住一根直杆，绳OA、OB、OC在同一平面内。

OA、OB绳的拉力相同，夹角是90°。

已经知道绳能承受的拉力跟绳的横截面积成正比，那么在这种情况下，选择OC绳的直径，应是OA或OB绳的几倍？

C力的分解

一、学习要求

理解力的分解是力的合成的逆运算。

能按力的实际作用效果分解力，会用平行四边形定则和直角三角形知识求分力。

认识力的分解是等效替代原来一个力的一种方法，学会联系生活和生产的实例，培养应用知识解决实际问题的能力。

通过对赵州桥和斜拉桥的事例感悟我国科技事业发展的久远历史和现代成就。

二、要点辨析

1．力的分解

求一个力的分力叫做力的分解，力的分解与力的合成运算法则相同，都遵循平行四边形定则。

力的分解是力的合成的逆运算。

力的分解与合成的不同点在于：

两个力，乃至若干个力的合力是唯一的。

一个物体无论受到多少个共点力，总可以找到一个力来等效替代它们，其作用效果不变，而力的分解方案却不止一个，理论上有无数个解，即对一个力，理论上可以找到任意个等效替代方案。

一个力分解后，其分力还可以再分解，因此，一个力可以用两个力来等效替代它，也可以用多个力来等效替代它。

合成与分解的上述特点也可以从研究平行四边形的性质得出，已知两条邻边作一个平行四边形，对角线是唯一的，即两个互成角度的力的合力是唯一的。

但是，对一条确定的对角线，可以作无数个平行四边形，即一个力的分力可以有无数组。

分解一个力，因为有无数种分解方法，要得到唯一确定的解，必须给出附加条件，能得到唯一确定的解一般有以下两种情况：

①已知两个分力的方向，求两个分力的大小。

②已知一个分力的大小和方向，求另一个分力的大小和方向。

2．如何确定分力的方向

从矢量运算的角度看，分解一个力有无数个解，每一个解都是正确的；但从一个具体的物理问题，具体的物理情景看，并不是每一个解都有确定的物理含义。

在解决物理问题时，主要考虑以下两点：

①按力的作用效果。

②选择处理问题简捷。

例如，在图2-19中，对一块放在粗糙斜面上的静止木块，如何分解它的重力呢？

（1）从力的作用效果看：

①木块重力沿斜面方向的分量，使木块产生沿斜面向下滑动的趋势。

假设斜面是光滑的，木块在这个分力的作用下将沿斜面下滑，②重力沿垂直斜面方向的分量，使木块紧贴斜面，从而使木块与斜面之间产生相互挤压，因此，可以将木块重力沿这两个方向，即沿平行斜面方向和垂直斜面方向分解。

（2）在解题时，如果斜面上的木块还受到一个水平向右的力，也需要分解，此时按分力作用效果选择分解的方向，未必是最佳方案。

如果选择水平方向为x轴，竖直方向为y轴，将所有的力都分解在这两个方向上，然后进行处理，常常显得更简便一些。

（3）为了解题方便，尽量采用把已知力分解成互相垂直的两个分力的方法，利用直角三角函数关系进行运算，上面的两种分解方法都运用了这种分解方法。

三、例题分析

【例1】如图2-20所示，吊灯与OA和OB绳相交于O点，OB绳与竖直墙壁垂直，OA绳与天花板的夹角α＝45°，吊灯总重20N，吊灯通过绳子使O点受到一个竖直向下的力F，大小等于吊灯的重力，求力F沿OA、OB两根绳方向的分力大小。

【解答】过O点以力F为对角线，以OA、OB的反向延长线为两分力的方向，作平行四边形，平行四边形的两条邻边即为力F沿OA和OB绳方向的分力（图2-20）。

吊灯对O点的力F＝G＝20N。

由直角△OFFA可知，sinα＝

，tanα＝

，

所以FA＝

＝

N≈28.3N，FB＝

＝

N＝20N。

【例2】两根长度相等的轻绳T端悬挂一质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板上M、N两点，M、N两点间的距离为s，如图2-21所示。

已知两绳所能承受的最大拉力均为F，则每根绳的长度不得短于_______。

【解答】如图2-22所示，根据菱形对角线垂直平分的性质有△ABC∽△EBD，其中BD表示F，BE表示

，设绳的最小长度为l，则

＝

即

＝

解得l＝

四、基本训练

1．将一个力分解，可以有_______组解，力的分解方法是力的合成方法的________。

若要将一个力分解为两个力得到唯一确定的解，须有附加条件：

①_______或②________。

2．在图2-23中沿OA方向画一个15N的力，它的一个分力方向沿OB，大小为6N，用作图方法画出另一个分力的方向，并求这个分力的大小。

3．如图2-24所示，一人通过箱带拉着一个旅行箱前进，拉力是12N，箱带与水平面夹角是30°，则拉力的水平分力是多大？

竖直分力是多大？

4．请在图2-25中，用作图法求出已知力F的两个分力F1和F2。

5．如图2-26所示，请根据力的作用效果，在各图中，作出小球重力的两个分力。

6．

如图2-27所示，一个重200N的光滑油桶搁在直角形槽内，槽壁AB与竖直方向夹角为30°，BC与竖直方向夹角为60°，求油桶对两槽壁的压力。

7．

图2-28中帆板船的帆与船身成37°角，今有垂直于帆，大小为400N的风力作用于帆面上，则船在前进方向上获得的推力为多大？

在船的侧面所受的推力为多大？

8．将一个大小等于20N的力F分解成两个力。

若其中一个分力的方向与F成30°角，另一个分力的大小为12N，则分解的结果有______个解。

9．

如图2-29所示，用两根绳子OA和OB系住一重物，绳OA固定于A点，手拉绳OB使OB由水平位置逐渐转向OBʹ方向，同时保持OA与天花板夹角θ（θ＞45°）不变，在这一过程中绳OB所受的拉力大小将（）

（A）始终减小

（B）始终增大

（C）先减小后增大

（D）先增大后减小

10．

有一只四个人也难推动的大橱，仅你一个人居然也能移动它，信不信？

你可按下面的办法去试试：

找两块木板，它们的总长度略大于橱与墙壁之间的距离，搭成一个人字形（图2-30中A、B），两个底角要小，这时你往中央一站，大橱被推动了。

（1）为什么木板能产生很大的推力？

（2）这与你学过的哪一知识很类似？

（3）有什么办法把大橱推得更远？

11．

【小实验】测一根细线（或头发）能承受多大的力。

如图2-31所示，在一根长度已知的细线的中央悬挂着重力已知的重物，然后沿着尺将双手慢慢分开，观察分开到什么距离时线断了，就可计算细线能承受的最大拉力。

请做这个实验并计算出细绳能承受的最大拉力。

D共点力的平衡

一、学习要求

知道什么是物体的平衡状态。

知道共点力平衡的概念，理解共点力平衡的条件，能运用力的合成和分解方法解决简单的共点力平衡问题，初步学会对物体的受力分析，感悟共点力平衡在常见的悬吊、起重、支撑中的实用价值。

二、要点辨析

1．平衡状态和平衡条件

物体保持静止或匀速直线运动的状态叫做平衡状态。

如果某时刻物体的速度为零，它是不是处于平衡状态呢？

不一定。

例如，竖直向上抛出一个物体，当物体到达最高点时速度为零，但它此刻并不处于平衡状态，因为它不能保持速度为零，下一时刻将向下运动。

所以判定物体是否处于平衡状态的要点，是看它能否保持静止或保持匀速直线运动。

要使物体处于平衡状态，作用在物体上的力必须满足一定的条件，这个条件叫做平衡条件。

在共点力作用下物体的平衡条件是合力等于零，即F合＝0。

由共点力平衡条件可知：

①当物体仅受两个力而处于平衡状态时，则这两个力一定大小相等，方向相反，作用在同一直线。

②当物体仅受三个力而处于平衡状态时，则任意两个力的合力，一定跟第三个力大小相等，方向相反，这三个力一定是共点力。

③当物体受n个力而处于平衡状态时，则任意的（n－1）个力的合力，一定跟剩下的一个力大小相等，方向相反。

④当物体受多个方向不在一条直线上的力时，可以采用正交分解方法。

先选取两个相互垂直的坐标轴：

x轴和y轴，再将所有的力都分解在x和y方向。

物体的平衡条件转化为：

沿x方向的合力等于零；沿y方向的合力等于零。

2．受力分析的关键

正确分析物体的受力情况，是解决力学问题非常重要的第一步，如果受力分析错，后面就全错了。

如何才能正确地分析物体的受力情况呢？

（1）首先要明确受力分析的目的。

简单地说，受力分析就是要正确地画出物体受到的全部力，不能多一个，也不能漏掉一个，必须弄清每一个已知力的大小、方向、作用点，对于未知的力也要心中有数。

（2）其次是要熟悉各种力产生的原因，大小、方向和作用点的特点。

力学中常见的力是重力、弹力、摩擦力。

重力是由于地球对物体的吸引而产生的，大小为mg，方向竖直向下，作用点在物体的重心。

弹力产生的条件是接触而有形变，方向与形变方向相反，作用点在接触面（点）受力物体一侧，摩擦力产生的原因是接触而有相对滑动（或滑动趋势），方向平行于接触面（沿接触面切线方向），与相对运动（或相对运动趋势）相反，作用点在接触面受力物体一侧。

（3）在具体分析受力时，注意分析力存在的原因，施力物体是谁，没有原因的力和无施力物体的力是不存在的，在具体作受力分析时，如果找不到产生力的原因和力的施力物体，那么这个力就是虚构的，实际上并不存在。

三、例题分析

【例1】重为G的球，置于倾角为α的光滑斜面上，下方用垂直斜面的挡板挡住，使球静止，求：

（1）斜面对小球的支持力FN1。

（2）挡板对小球的压力FN2。

【解答】小球受到重力G，斜面的支持力FN1，挡板对它的压力FN2受力情况如图2-32（a）所示。

解法一：

力的合成法[图2—32（b）]。

由于小球保持静止，所以三个力的合力为零，即FN1与FN2的合力F，与重力G必定等大反向，F＝G。

由图（b）中含有阴影的直角三角形可得

FN1＝Fcosα，FN2＝Fsinα。

所以FN1＝Gcosα，FN2＝Gsinα。

解法二：

力的分解法[图2-32（c）]。

选取沿斜面方向为x轴，垂直斜面方向为y轴（这样建立坐标系只要分解一个重力，其余两力在坐标轴上不要分解，解题简单方便），把重力G沿x轴、y轴方向分解成两分力G2和G1，则根据平衡条件，在x轴、y轴上的合力分别为零。

故有

FN2－Gsinα＝0，FN1－Gcosα＝0，

得FN2＝Gsinα，FN1＝