16．如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是．
三．解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知函数f（x）＝sinx－
cosx＋2，记函数f（x）的最小正周期为β，向量a＝（2，cosα），b＝（1，tan（α＋
））（0<α<
），且a·b＝
．
（1）求f（x）在区间[
，
]上的最值；
（2）求
的值．
18．（本小题满分12分）
某校高三
（1）班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图所示，据此解答如下问题：
（1）求高三
（1）班全体女生的人数；
（2）求分数在[80,90）之间的女生人数，并计算频率分布直方图中[80,90）之间的矩形的高；
（3）若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析女生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．
19．（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，底面ABCD中，AB⊥AD，AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形．
（1）求证：
平面DEC⊥平面BDE；
（2）求点A到平面BDE的距离．
20．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝|x－a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在
（1）的条件下，若f（x）＋f（x＋5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρ＝2
sinθ．
（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（2）若点P坐标为（3，
），圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．
22．（本小题满分12分）
数列
首项
，前
项和
与
之间满足
．
（1）求证：
数列
是等差数列；
（2）求数列
的通项公式；
（3）设存在正数
，使
对于一切
都成立，求
的最大值．
吉林省实验中学2016---2017学年度下学期
高二年级数学学科（理）期末考试试题
答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
C
C
B
D
D
C
D
A
B
二、填空题
13．
．14．_____4_____．
15．－1≤m<
．16．②③④．
三、解答题
17．[解析]
（1）f（x）＝sinx－
cosx＋2＝2sin（x－
）＋2，
∵x∈[
，
]，∴x－
∈[
，π]，
∴f（x）的最大值是
4，最小值是2．--------------------------------------5分
（2）∵β＝2π，
∴a·b＝2＋cosαtan（α＋π）＝2＋sinα＝
，
∴sinα＝
，又0<α<
．
∴
＝
＝2cosα＝2
＝
．----------10分
18．[答案]
（1）25
（2）0
．016 （3）
[解析]
（1）设全班女生人数为x．因为
＝0．008×10＝0．08，所以x＝25．---3分
（2）25－21＝4，根据比例关系得所求矩形的高为0．016．--------------------6分
（3）分数在[80,90）之间4人编号为1,2,3,4．[90,100]之间编号为5,6．所有可能根据列举法得（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2
6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6），共15个基本事件，其中符合要求的是（1,5），（1,6），（2,5），（2,6），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6），共9个基本事件，所求概率为
＝
．-----------------12分
19．
（1）证明 因为AB⊥AD，AD
＝2，AB＝3，所以BD＝
，
又因为
BC＝7，CD＝6，所以根据勾股定理可得BD⊥CD，
因为BE＝7，DE＝6，同理可得BD⊥DE．
因为DE∩CD＝D，DE⊂平面DEC，CD⊂平面DEC，
所以BD⊥平面DEC．因为BD⊂平面BDE，
所以平面DEC⊥平面BDE．-------------------6分
（2）解 如图，取CD的中点O，连接OE，
因为△DCE是边长为6的正三角形，
所以EO⊥CD，EO＝3
，
易知EO⊥平面ABCD，
则VE－ABD＝
×
×2×3×3
＝3
，
又因为直角三角形BDE的面积为
×6×
＝3
，
设点A到平面BDE的距离为h，则由VE－ABD＝VA－BDE，
得
×3
h＝3
，所以h＝
，所以点A到平面BDE的距离为
．-----12分
20．[解析] 方法一
（1）由f（x）≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3．
又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以
解得a＝2．----6分
（2）当a＝2时，f（x）＝|x－2|，设g（x）＝f（x）＋f（x＋5），
于是g（x）＝|x－2|＋|x＋3|＝
所以当x<－3时，g（x）>5；
当－3≤x≤2时，g（x）＝5；
当x>2时，g（x）>5．
综上可得，g（x）的最小值为5．
从而，若f（x）＋f（x＋5）≥m，即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m取值范围为（－∞，5]．------------------12分
方法二
（1）同方法一．
（2）当a＝2时，f（x）＝|x－2|．设g（x）＝f（x）＋f（x＋5）．
由|x－2|＋|x＋3|≥|（x－2）－（x＋3）|＝5（当
且仅当－3≤x≤2时等号成立），得g（x）的最小值为5．
从而，若f（x）＋f（x＋5）≥m，即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（－∞，5]．
21．[解析]
（1）由
得直线l的普通方程为x＋y－3－
＝0．
又由ρ＝2
sinθ，得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2
y＝0，即x2＋（y－
）2＝5．---------6分
（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3－
t）2＋（
t）2＝5，即t2－3
t＋4＝0．由于Δ＝（3
）2－4×4－2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1＋t2＝3
，t1·t2＝4．又直线l过点P（3，
），A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3
．-------------------12分
22．解析:
（1）因为
时，
得
由题意
又
是以
为首项，
为公差的等差数列．--------4分
（2）由
（1）有
时，
．
又
--------------8分
（3）设
则
在
上递增故使
恒成立只需
又
又
，
所以，
的最大值是
．-----------------------12分
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