高中数学导数的概念及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
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高中数学导数的概念及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
《导数的概念几起几何意义》教学设计
【教学目标】
1、知识与技能目标
会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数，掌握求导数的基本步骤，初步学会求解简单函数在一点处的切线方程。
2、过程与方法目标
通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感态度与价值观
经历数学发现过程，感受数学研究方法，提升数学学习兴趣和信念，应用图形计算器进行数学实验中改善数学学习的方法。
【教学重点、难点】
重点：
导数概念的建构及用定义求导数的方法。
难点：
导数的几何解释及切线概念的形成。
【教学准备】
课件、视频、探究卡
【教学过程】
一、创设情境，导入新课
同学们，今天我们将开始新的章节的学习，在这之前，让我们通过一段动画了解一下本章内容。
（设计意图：
动画视频引入本节内容，让学生对其初步了解）
二、学生探究，引出概念
微积分，伟大而神秘，是我们近代数学的基础，其中，导数又是微积分的核心概念之一，今天，就让我们重回三百年，跟随两位大师的足迹，去探寻微积分和导数的起源。
（设计意图：
微积分对学生而言是一个神秘的概念，通过铺垫激起学生的好奇心）
众所周知，牛顿在运动学中发现了微积分的基本规律，300年前的牛顿，思考了这样一个问题：
问题1：
假设一辆马车行驶的路程s与时间t满足s=t2,求马车在5~6s，5~5.1s，5~5.001s，
5~5.00001s内的平均速度.根据结果，你有什么发现？
学生通过计算得出结论，时间间隔越小，平均速度越接近于10m/s.
（设计意图：
通过计算、观察结论，初步引导学生产生瞬时速度的意识）
问题2：
速率的本质是什么？
:
生活中还有什么变化率的问题？
你能举例说明吗？
（设计意图：
联系生活实例，帮助学生联系平均变化率的概念）
问题3：
回忆吹气球的过程，有什么变化现象？
这些变化的快慢怎样?
你能从数学的角度，描述和解析这种变化快慢的现象吗？
（设计意图：
播放视频，仿照问题1，探究气球半径的变化规律，体会数学建模的思想）
问题4：
根据以上两个例子，你能推出更一般的概念吗？
（设计意图：
学生尝试给出概念，建立总结与归纳的能力）
给出平均变化率的概念
平均变化率
若将上述问题中的函数关系用
示，那么问题中的平均变化率可用式子
表示，我们把这个式子称为函数
从
到
的平均变化率.
学生朗读，分析概念中的关键字
问题5：
猜想一下这里可以出什么题目，按照下面的模板出一道题考考你的同桌吧！
已知函数
，则
从到的平均变化为?
（设计意图：
新高考中开放性题目越来越多，有意识练习）
问题6：
再回到马车行驶问题，观察问题1中的4个平均变化率，你有什么猜想？
试着讨论一下，怎样求马车在5s时的瞬时速率？
采用小组讨论，展示发言，提出问题，再次讨论的形式，对于论证过程中的
是0又不能是0的矛盾，引导学生一步一步得出其本身不为0，但极限为0的结论，初步感受极限的思想。
（设计意图：
引导学生认识平均变化率的局限性，瞬时变化率概念的必要性）
给出导数的概念
导数的概念：
函数
在
处的瞬时变化率是
，
我们称它为函数
在
处的导数，记作
或
，
即
=
学生大声齐读概念，找同学分析概念中的关键词。
思考：
（1）lim是什么意思？
PPT展示中国古代的极限思想：
庄子：
一尺之棰，日取其半，万世不竭.
刘徽的“割圆术”：
割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.
基本思想：
无限分割，以直代曲.
思考：
（2）如何求函数
在点
处的瞬时变化率？
一差、二比、三极限
（设计意图：
体会瞬时变化率的概念，体会极限的思想）
三、例题讲解，神话概念
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种产品，需要对原油进行冷却或者加热，如果在第xh时，原油的温度为
。
计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
学生上台板书，学生互相评价.
通过例题结果，引导学生发现导数的值有正有负，可大可小，分析导数值的符号与大小的实际意义。
（设计意图：
深化理解导数的概念，会用其基本思想解决实际问题）
问题7：
平均变化率的几何意义是什么？
:
导数的几何意义是什么？
分析图像，引导学生概括总结，得出导数和平均变化率的几何意义
（设计意图：
从几何角度解析，体会数形结合的基本思想）
例2：
例2：
向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量Ｖ与水深ｈ的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是？
你能试着画出其余三个选项的图像吗？
（设计意图：
引导学生体会导数的几何意义）
四：
课堂小结，巩固升华
问题1：
本节课我们学到了哪些内容？
问题2：
求瞬时变化率的方法是什么？
问题3：
本节课体现了哪些数学思想方法？
数学的乐趣是在不断的探索中得到的，我们看的很远，是因为我们站在巨人的肩膀上，科学的发展是永无止境的，会面的发展还需大家继续努力！
五：
课后作业
作业：
1.阅读探究卡后面的《牛顿与莱布尼茨简介》，结合本节课的收获，完成探究卡上的微课题提纲.
2.分层检测卷课时作业第1练.
六：
板书设计
课题：
5.1导数的概念及其几何意义
1.平均变化率的概念
2.导数的概念
3.典例分析
《导数的概念及其几何意义》学情分析
学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．
在平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数的图像，平均变化表示什么？
这个思考为研究导数的几何意义埋下了伏笔。
因此，在将瞬时变化率定义为导数之后，立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。
效果分析
学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．
在平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数的图像，平均变化表示什么？
这个思考为研究导数的几何意义埋下了伏笔。
因此，在将瞬时变化率定义为导数之后，立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。
本节课，学生能够积极思考，可以自己建构概念，解决问题。
不足之处是在学生互评上需要再多加历练。
《导数的概念及其几何意义》教材分析
导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。
本课是人教版高中数学选择性必修二第五章的第一节时内容，基本内容是平均变化率和导数的概念以及导数的几何意义。
平均变化率是学习导数的前奏，有助于学生了解导数概念的实际背景及几何意义，进而有利于学生更好地学习瞬时变化率——导数。
导数作为微积分的重要概念之一，导函数的概念及其几何意义是整个导数阶段学习的基础。
在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。
从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。
它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。
从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展，同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用。
《导数的概念及其几何意义》
评测练习
姓名：
班级：
探究1：
假设一辆马车行驶的路程s与时间t满足s=t2,求马车在5~6s，5~5.1s，5~5.001s，
5~5.00001s内的平均速度.
5~6s：
5~5.1s：
5~5.001s：
6~5.00001s：
探究2：
观察吹气球的过程，这些变化的快慢怎样?
怎样从数学的角度，描述和解析这种变化快
慢的现象？
吹气球的理想化数学模型：
其体积公式为：
气球半径与体积的关系为：
当空气容量V从0L增加到1L时，气球半径增加了：
当空气容量V从1L增加到2L时，气球半径增加了：
当空气容量V从2L增加到3L时，气球半径增加了：
探究3：
向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量Ｖ与水深ｈ的函数关系的图像如右图所示，
那么水瓶的形状是？
你能试着画出其余三个选项的图像吗？
选项：
选项：
选项：
结合本节课的收获，你认为可以从哪些角度入手继续研究，请自找角度研究一个微课题。
课后阅读：
牛顿与莱布尼茨简介
《导数概念》课后反馈练习
姓名：
＿＿
一、基础训练
1.质点的运动规律为
，则从
到
这段时间内质点的平均速度为（）
A.
B.
C.
D.
2.如果某物体的运动方程为
，（s的单位为m,t的单位为s）,那么该物体在
s时的瞬时
速度为（）
A.
B.
C.
D.
3.已知函数
，当
由
变为
时，函数值的增量
=＿＿＿＿；
4.已知函数
，则函数从
到
的平均变化率是＿＿＿＿；
5.已知
，求
。
二、拔高拓展训练
6.已知
，若
，求
的值。
7.在曲线
的图像上取一点
及附近一点
，
求：
（1）
；
（2）
.
三、能力提升
8.若函数
在
处的导数为
，求：
（1）
；
（2）
.
答案：
一、基础训练
1.A；2.C；3.
；4.
；5.
；
二、拔高拓展训练
6.
；7.
（1）
；
（2）
；
三、能力提升
8.
（1）
;
（2）
；
《导数的概念及其几何意义》课后反思
今天完成了选择性必修二的《导数的概念及其几何意义》一节，有以下几点思考：
在教师用书上明确指出了课程目标：
“微积分的创立是数学发展中的量程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。
导数、定积分都是微积分的核心概念。
它们有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
在本章中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念”。
相对于老一套教材，新教材适当增加实例与背景，确实是体现课改理念的表现。
在本节教材中，用气球膨胀、高台跳水（3次）、原油温度、药物浓度共6次举例，还在习题中用到排污治理、物体运动、车轮旋转、汽车行驶等实际背景，特别是高台跳水，包括练习和习题在内，共举了10次。
在教学中为了说明这些实例，我们找实物、下载图片、作课件，可谓费尽思，但这些实例是否起到了帮助学生学习和理解的作用，对我们教学的辅助作用有多大，应引起我们的思考。
我们在教学前应当体会编写者的意图，科学设计，而不是照搬教材，让学生在研究实例的过程中自主体会导数概念的本质，还数学的本来面目。
由于新教材中强调不讲极限（数列极限与函数极限）概念，所以就有人认为：
中学数学现在不学极限了，不学极限直接学导数啦。
但仔细阅读教材后可以发现，实际上并不是“不学极限学导数”。
教材以气球平均膨胀率问题和高台跳水平均速度问题为背景，引出平均变化率的概念。
设函数在上有定义，设，，则称为函数从到的平均变化率。
记（自变量的增量），（函数的增量），则平均变化率可表示为。
本质是对应函数的增量与自变量的增量的比值；表示函数在某一范围内平均的变化趋势（增减）和快慢程度。
在高台跳水问题中，通过从平均速度到瞬时速度的过程抽象出瞬时速度的概念，再抽象出瞬时变化率的概念。
设函数在及其附近有定义，在附近给自变量以增量，则函数有相应的增量，若趋近于0时，趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为当趋近于0时的极限，记作。
设函数在及其附近有定义，若存在，则称它为函数在的瞬时变化率，也称它为函数在的导数，记作或，即。
本质是函数在某一点的导数，就是函数在该点的瞬时变化率，而瞬时变化率就是函数在这一点附近平均变化率的极限（当自变量增量趋近于0）。
在导数的定义学之后，我们就要引导学生思考本文开始提出的题目。
学生在学导数之前对切线的认识停留在直线与圆、直线与椭圆等二次曲线的关系上，认为直线与曲线相切就是直线与曲线只有一个交点，如不在导数的几何意义学习中得到纠正，对导数的认识就不全面，对导数的应用就会出错，如本文开始提出的问题。
教师用书上对教材编排作了以下说明：
“为了突出导数概念的实际背景，教科书选取了两个典型实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从而理解导数概念的本质——导数就是瞬时变化率。
在此基础上，教科书借助函数图象的直观，阐明了曲线的切线斜率和导数间的关系。
在介绍导数的定义、几何意义的过程中，教科书结合内容提示了“逼近”“以直代曲”等数学思想”。
分析教材，教材为我们呈现了“由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程”的三种方式：
①数值逼近；②解析式抽象；③几何直观感受。
正是这三种不同的方式，强化了导数的思想和内涵，是导数概念学习的核心。
课标分析
1、整体定位
《标准》中对导数及其应用的整体定位如下：
“微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。
导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。
通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。
”
为了更好地理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：
（1）要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。
由于在中学阶段，学生没有学习极限，而导数又作为一种特殊的极限，我们如何处理这部分内容呢？
导数及其应用在编排上更侧重于思想和概念的本质，不能把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是通过实际的背景和具体应用事例—膨胀率、加速度、增长率等实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，同时加强学生对导数几何意义的认识和理解。
（2）导数的运算不宜要求过高
由于没有学习极限，因此，我们不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数。
这里，只要求学生能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x,y=x,y=,y=的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（a+b））的导数。
（3）注重导数在研究函数和生活实践中的应用
导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般，最有效的工具。
这里，我们要求学生能借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值。
以及利用导数解诸如运动速度、物种繁殖、绿化面积增长率等实际问题，以及利润最大、用料最省、效率最高等优化问题。
（4）关注数学文化
重视和学生一起收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
2、课程标准的要求
（1）导数概念及其几何意义
①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算
①能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x,y=x,y=,y=的导数。
②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（a+b））的导数。
③会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用
①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。
函数的单调性是函数的重要性质，函数的单调性问题是高考的热点问题，若利用函数定义求解，一般较为复杂，学生失分率高，新教材引入导数以后，有效地解决了这一难题。
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