高中数学313 二倍角的正弦余弦正切公式教学设计学情分析教材分析课后反思.docx

高中数学313 二倍角的正弦余弦正切公式教学设计学情分析教材分析课后反思.docx

《高中数学313 二倍角的正弦余弦正切公式教学设计学情分析教材分析课后反思.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学313 二倍角的正弦余弦正切公式教学设计学情分析教材分析课后反思.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学313二倍角的正弦余弦正切公式教学设计学情分析教材分析课后反思

3．1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式

学习目标　1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.

2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．

知识点一　二倍角公式的推导

思考1　二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？

思考2　根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sinα或cosα表示cos2α？

知识点二　二倍角公式的变形

1．公式的逆用

2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝sin2α，

cos2α－sin2α＝cos_2α，＝tan2α.

2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式

升幂公式

1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，

1＋cosα＝2cos2,1－cosα＝2sin2.

降幂公式

cos2α＝，sin2α＝.

1．sinα＝2sincos.（　√　）

2．cos4α＝cos22α－sin22α.（　√　）

3．对任意角α，tan2α＝.（　×　）

提示　公式中所含各角应使三角函数有意义．如α＝及α＝，上式均无意义.

类型一　给角求值

例1　

（1）计算：

cos2－sin2；

考点　应用二倍角公式化简求值

题点　利用余弦的二倍角公式化简求值

解　原式＝cos＝.

（2）计算：

；

考点　应用二倍角公式化简求值

题点　利用正切的二倍角公式化简求值

解　＝2·＝2·＝－2.

（3）计算：

cos20°cos40°cos80°.

考点　应用二倍角公式化简求值

题点　利用正弦的二倍角公式化简求值

解　原式＝·2sin20°cos20°cos40°cos80°

＝·sin40°·cos40°cos80°

＝sin80°cos80°

＝·sin160°

＝＝.

反思与感悟　对于给角求值问题，一般有两类

（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．

（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．

跟踪训练1　

（1）coscoscos的值为（　　）

A.B．－C.D．－

考点　应用二倍角公式化简求值

题点　利用正弦的二倍角公式化简求值

答案　D

解析　coscoscos

＝cos··

＝

＝＝

＝＝－.

（2）－cos2＝________；

考点　应用二倍角公式化简求值

题点　利用余弦的二倍角公式化简求值

答案　－

解析　原式＝＝－cos＝－.

类型二　给值求值

例2　

（1）若sinα－cosα＝，则sin2α＝________.

考点　应用二倍角公式化简求值

题点　综合应用二倍角公式化简求值

答案　

解析　（sinα－cosα）2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα

＝1－sin2α＝2，

即sin2α＝1－2＝.

（2）若tanα＝，则cos2α＋2sin2α等于（　　）

A.B.C．1D.

考点　应用二倍角公式化简求值

题点　综合应用二倍角公式化简求值

答案　A

解析　cos2α＋2sin2α＝＝.

把tanα＝代入，得

cos2α＋2sin2α＝＝＝.故选A.

引申探究

在本例

（1）中，若改为sinα＋cosα＝，求sin2α.

解　由题意，得（sinα＋cosα）2＝，

∴1＋2sinαcosα＝，即1＋sin2α＝，

∴sin2α＝－.

反思与感悟　

（1）条件求值问题常有两种解题途径：

①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．

（2）一个重要结论：

（sinθ±cosθ）2＝1±sin2θ.

跟踪训练2　

（1）（2017·石家庄高一检测）若sin（π－α）＝，且≤α≤π，则sin2α的值为（　　）

A．－B．－

C.D.

考点　二倍角的正弦、余弦、正切公式

题点　利有二倍角公式求二倍角的正弦值

答案　A

解析　因为sin（π－α）＝，所以sinα＝，

又因为≤α≤π，

所以cosα＝－＝－，

所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.

（2）已知α为锐角，若cos＝，则cos＝________.

考点　应用二倍角公式化简求值

题点　综合应用二倍角公式化简求值

答案　

解析　因为α为锐角，cos＝>0，

所以α＋为锐角，sin＝，

则sin＝2sincos

＝2××＝.

又cos＝sin，所以cos＝.

类型三　利用二倍角公式化简证明

例3　

（1）化简：

.

考点　应用二倍角公式化简求值

题点　利用二倍角公式化简三角函数式

解　方法一　原式＝

＝＝

＝tanθ.

方法二　原式＝

＝

＝＝tanθ.

（2）求证：

·＝tan2α.

考点　三角恒等式的证明

题点　三角恒等式的证明

证明　左边＝·＝tan2α＝右边．

反思与感悟　三角函数式化简、证明的常用技巧

（1）特殊角的三角函数与特殊值的互化．

（2）对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分．

（3）对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．

（4）利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等．

（5）利用“1”的恒等变形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等．

跟踪训练3　α为第三象限角，则－＝________.

考点　应用二倍角公式化简求值

题点　利用二倍角公式化简三角函数式

答案　0

解析　∵α为第三象限角，∴cosα<0，sinα<0，

∴－

＝－

＝－＝0.

1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：

8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍（n∈N*）．

2．二倍角余弦公式的运用

在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：

①1＋cos2α＝2cos2α；②cos2α＝；

③1－cos2α＝2sin2α；④sin2α＝.

学情分析

本节课是本章的第三节，是在前两节的基础上的一个强化和提升，我做了以下方面的研究：

1.学生学习数学的兴趣状况分析

从问卷调查的结果来看，其中有70%以上的学生对数学学科表现出“很有兴趣”以及“有兴趣”，表现出“兴趣一般”以及“完全没有兴趣”的学生占30%左右。

从这个结果来看，大部分的学生对数学学科的兴趣还是比较浓厚的，在结合访谈调查，发现对数学感兴趣的学生中，大部分认为数学在实际生活中应用十分广泛，觉得学习数学能够了解和解决很多生活中的问题，能够使人变得聪明，这又说明一些学生已经认识到了数学的作用。

学生的数学兴趣，能够从学生的数学学习动机中变现出来。

在调查学生动机时，有超过一半的学生认为学习数学是为了“日后工作需要”，这说明高中生能够认识到数学对其未来职业的影响。

但是依旧有49%左右的学生，认为学习数学是为了“升学”和“考试”。

2.数学课堂自主学习状况分析

通过问卷调查发现，学生在课堂上对教师的提问，基本能够做到“自主发言”的有21.4%，而“不愿意主动发言”或者“不愿意发言”的则有23.6%左右，针对这个这个结果深入剖析，不爱发言的学生主要是由于自卑，说错了跑丢面子等因素造成。

而在数学课堂上，学生基本呈现出被动学习的状态，缺少主动学习的意识。

3.高中生所期盼的学习方式

在调查中发现，只有5%左右的学生希望独立学习，而有55%左右到额学生希望与同学、教师一同学习，有40%的学生希望“教师讲授为主，自己的学习为辅”从这个结果来看，大部分的学生能够接收合作学习，并喜欢合作学习，之后极少部分的学生希望全部由教师讲授，自己被动接受。

通过谈话调查，我们还发现，结合课内与课外两种学习方式以及趣味性、活动的教学形式，是学生最喜欢的。

课后反思

我在备课的过程中，首先反复阅读了课程标准和教材，教材内容的处理收到了一定的预期效果，尤其是练习的处理，充分发挥了学生的主体作用，也提高了学生主体的合作意识，达到了设计中所预想的目标。

然而还有一些缺憾：

对本节内容，难度不高，本人认为，教师的干预（讲解）还是太多。

在以后的教学中，对于一些较简单的内容，应放手让学生多一些探究与合作。

随着教育改革的深化，教学理念、教学模式、教学内容等教学因素，都在不断更新，作为数学教师要更新教学观念，从学生的全面发展来设计课堂教学，关注学生个性和潜能的发展，使教学过程更加切合《课程标准》的要求。

对于本教学设计，时间仓促，不足之处在所难免，期待与各位同仁交流。

教材分析

本章是高中数学人教A版必修四第三章《三角恒等变换》，本章是研究三角函数的重要途径，是进行化简的重要工具，也是高考考查的热点，常见的有两种命题方式：

（1）选择、填空题中，利用和、差角公式或倍角公式给角求值或给式子求值；

（2）解答题中，常和三角函数、平面向量等综合命题；重点是：

两角差得余弦公式的推导，进而得出二倍角公式。

难点是：

对二倍角的逆用，以及常见变形应用。

在学习时，应该注意以下几点：

1.两角差的余弦公式是推导其他公式的基础，应该彻底理解其推导的方法，并且以此为出发点，明确各组公式间的内在联系与推导的过程；

2.注重公式的发现和推导过程，淡化化简技巧，避免繁难运算；

3.在进行三角恒等变换时，依据式子结构特点，分析三角函数名、角之间的关系，合理选用公式的正用、逆用以及变形用；

4.在进行二倍角训时，应紧扣和、差角，二倍角这两组公式及变形式子，结合三角变换的常用方法，从角与名的特征入手，有方向的化简；

5.常见的三角变化有：

角的变换，函数名的变换以及结构形式的变换，要注意，无论是哪种变换必须有利于沟通条件和结论；

6.解决三角恒等变换与向量、三角函数等的综合问题时，要注意灵活运用公式计算。

评测练习

1．（2017·山东）已知cosx＝，则cos2x等于（　　）

A．－B.C．－D.

考点　二倍角的正弦、余弦、正切公式

题点　利用二倍角公式求二倍角的余弦值

答案　D

解析　cos2x＝2cos2x－1＝2×2－1＝.

故选D.

2．sin15°sin75°的值是（　　）

A.B.C.D.

考点　二倍角的正弦、余弦、正切公式

题点　利用二倍角公式求二倍角的正弦值

答案　C

解析　sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝sin30°＝.

3．sin4－cos4等于（　　）

A．－B．－C.D.

考点　应用二倍角公式化简求值

题点　利用余弦的二倍角公式化简求值

答案　B

解析　原式＝·

＝－＝－cos＝－.

4.＝________.

考点　应用二倍角公式化简求值

题点　利用正切的二倍角公式化简求值

答案　

解析　原式＝×＝tan

＝tan＝.

5．证明：

＝tan＋.

考点　三角恒等式的证明

题点　三角恒等式的证明

证明　∵左边＝

＝

＝＝

＝tan＋＝右边，

∴原等式成立．

课后反思

我在备课的过程中，首先反复阅读了课程标准和教材，教材内容的处理收到了一定的预期效果，尤其是练习的处理，充分发挥了学生的主体作用