圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型教案资料.docx
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圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型教案资料
2017届高三第一轮复习专题训练之
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
定点问题是常见的出题形式,化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法,是设出直线方程,通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式,代入直线方程即可。
技巧在于:
设哪一条直线?
如何转化题目条件?
圆锥曲线是一种很有趣的载体,自身存在很多性质,这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论,那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型:
模型一:
“手电筒”模型
例题、(07山东)已知椭圆C:
若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。
求证:
直线过定点,并求出该定点的坐标。
解:
设,由得,
,
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且,
,,
,
整理得:
,解得:
,且满足
当时,,直线过定点与已知矛盾;
当时,,直线过定点
综上可知,直线过定点,定点坐标为
◆方法总结:
本题为“弦对定点张直角”的一个例子:
圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB,则AB必过定点。
(参考XX文库文章:
“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”)
◆模型拓展:
本题还可以拓展为“手电筒”模型:
只要任意一个限定AP与BP条件(如定值,定值),直线AB依然会过定点(因为三条直线形似手电筒,固名曰手电筒模型)。
(参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节)
此模型解题步骤:
Step1:
设AB直线,联立曲线方程得根与系数关系,求出参数范围;
Step2:
由AP与BP关系(如),得一次函数;
Step3:
将代入,得。
◆迁移训练
练习1:
过抛物线M:
上一点P(1,2)作倾斜角互补的直线PA与PB,交M于A、B两点,求证:
直线AB过定点。
(注:
本题结论也适用于抛物线与双曲线)
练习2:
过抛物线M:
的顶点任意作两条互相垂直的弦OA、OB,求证:
直线AB过定点。
(经典例题,多种解法)
练习3:
过上的点作动弦AB、AC且,证明BC恒过定点。
(本题参考答案:
)
练习:
4:
设A、B是轨迹:
上异于原点的两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,当变化且时,证明直线恒过定点,并求出该定点的坐标。
(参考答案)
【答案】设,由题意得,又直线OA,OB的倾斜角满足,故,所以直线的斜率存在,否则,OA,OB直线的倾斜角之和为从而设AB方程为,显然,
将与联立消去,得
由韦达定理知①
由,得1===
将①式代入上式整理化简可得:
,所以,
此时,直线的方程可表示为即
所以直线恒过定点.
练习5:
(2013年高考陕西卷(理))已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是的角平分线,证明直线过定点.
【答案】解:
(Ⅰ)A(4,0),设圆心C
(Ⅱ)点B(-1,0),
.
直线PQ方程为:
所以,直线PQ过定点(1,0)
练习6:
已知点是平面上一动点,且满足
(1)求点的轨迹对应的方程;
(2)已知点在曲线上,过点作曲线的两条弦和,且,判断:
直线是否过定点?
试证明你的结论.
【解】
(1)设(5分)
)
练习7:
已知点A(-1,0),B(1,-1)和抛物线.,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,如图.
(I)证明:
为定值;
(II)若△POM的面积为,求向量与的夹角;
(Ⅲ)证明直线PQ恒过一个定点.
解:
(I)设点、M、A三点共线,
(II)设∠POM=α,则
由此可得tanα=1.
又
(Ⅲ)设点、B、Q三点共线,
即
即
由(*)式,代入上式,得
由此可知直线PQ过定点E(1,-4).
模型二:
切点弦恒过定点
例题:
有如下结论:
“圆上一点处的切线方程为”,类比也有结论:
“椭圆处的切线方程为”,过椭圆C:
的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线,切点为A、B.
(1)求证:
直线AB恒过一定点;
(2)当点M在的纵坐标为1时,求△ABM的面积。
【解】
(1)设M
∵点M在MA上∴①同理可得②
由①②知AB的方程为
易知右焦点F()满足③式,故AB恒过椭圆C的右焦点F()
(2)把AB的方程
∴又M到AB的距离
∴△ABM的面积
◆方法点评:
切点弦的性质虽然可以当结论用,但是在正式的考试过程中直接不能直接引用,可以用本题的书写步骤替换之,大家注意过程。
◆方法总结:
什么是切点弦?
解题步骤有哪些?
参考:
PPT圆锥曲线的切线及切点弦方程,XX文库
参考:
“尼尔森数学第一季_3下”,优酷视频
拓展:
相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理,资料
练习1:
(2013年广东省数学(理)卷)已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:
的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(Ⅲ)当点在直线上移动时,求的最小值.
【答案】(Ⅰ)依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得.所以抛物线的方程为.
(Ⅱ)抛物线的方程为,即,求导得
设,(其中),
则切线的斜率分别为,,
所以切线:
即,即
同理可得切线的方程为
因为切线均过点,所以,
所以为方程的两组解.
所以直线的方程为.
(Ⅲ)由抛物线定义可知,,
所以
联立方程,消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得,
所以
又点在直线上,所以,
所以
所以当时,取得最小值,且最小值为.
练习2:
(2013年辽宁数学(理))如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),切线的斜率为.
(I)求的值;(II)当在上运动时,求线段中点的轨迹方.
【答案】
模型三:
相交弦过定点
相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展,结论同样适用。
参考尼尔森数学第一季_3下,优酷视频。
但是具体解题而言,相交弦过定点涉及坐标较多,计算量相对较大,解题过程一定要注意思路,同时注意总结这类题的通法。
例题:
如图,已知直线L:
的右焦点F,且交椭圆C于A、B两点,点A、B在直线上的射影依次为点D、E。
连接AE、BD,试探索当m变化时,直线AE、BD是否相交于一定点N?
若交于定点N,请求出N点的坐标,并给予证明;否则说明理由。
法一:
解:
先探索,当m=0时,直线L⊥ox轴,则ABED为矩形,由对称性知,AE与BD相交于FK中点N,且。
猜想:
当m变化时,AE与BD相交于定点
证明:
设,当m变化时首先AE过定点N
∴KAN=KEN∴A、N、E三点共线同理可得B、N、D三点共线
∴AE与BD相交于定点
法2:
本题也可以直接得出AE和BD方程,令y=0,得与x轴交点M、N,然后两个坐标相减=0.计算量也不大。
◆方法总结:
方法1采用归纳猜想证明,简化解题过程,是证明定点问题一类的通法。
这一类题在答题过程中要注意步骤。
例题、已知椭圆C:
,若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?
并证明你的结论。
方法1:
点A1、A2的坐标都知道,可以设直线PA1、PA2的方程,直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M,通过韦达定理,可以求出点M的坐标,同理可以求出点N的坐标。
动点P在直线上,相当于知道了点P的横坐标了,由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标,得到两条直线的斜率的关系,通过所求的M、N点的坐标,求出直线MN的方程,将交点的坐标代入,如果解出的t>2,就可以了,否则就不存在。
解:
设,,直线的斜率为,则直线的方程为,由消y整理得
是方程的两个根,则,,
即点M的坐标为,
同理,设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为
,直线MN的方程为:
,
令y=0,得,将点M、N的坐标代入,化简后得:
又,椭圆的焦点为,即
故当时,MN过椭圆的焦点。
方法总结:
本题由点A1(-2,0)的横坐标-2是方程的一个根,结合韦达定理,得到点M的横纵坐标:
,;其实由消y整理得,得到,即,很快。
不过如果看到:
将中的换下来,前的系数2用-2换下来,就得点N的坐标,如果在解题时,能看到这一点,计算量将减少,这样真容易出错,但这样减少计算量。
本题的关键是看到点P的双重身份:
点P即在直线上也在直线A2N上,进而得到,由直线MN的方程得直线与x轴的交点,即横截距,将点M、N的坐标代入,化简易得,由解出,到此不要忘了考察是否满足。
◆方法2:
先猜想过定点,设弦MN的方程,得出方程,进而得出与T交点Q、S,两坐标相减=0.如下:
◆方法总结:
法2计算量相对较小,细心的同学会发现,这其实是上文“切点弦恒过定点”的一个特例而已。
因此,法2采用这类题的通法求解,就不至于思路混乱了。
相较法1,未知数更少,思路更明确。
练习1:
(10江苏)在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆+=1的左右顶点为A,B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.
⑴设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹
⑵设x1=2,x2=,求点T的坐标
⑶设t=9,求证:
直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)
解析:
问3与上题同。
练习2:
已知椭圆中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过、、三点.过椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线与椭圆交于、两点,与所在的直线交于点Q.
(1)求椭圆的方程:
(2)是否存在这样直线,使得点Q恒在直线上移动?
若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.
解析:
(1)设椭圆方程为
将、、代入椭圆E的方程,得
解得.∴椭圆的方程
(也可设标准方程,知类似计分)
(2)可知:
将直线
代入椭圆的方程并整理.得
设直线与椭圆的交点,
由根系数的关系,得
直线的方程为:
由直线的方程为:
,即
由直线与直线的方程消去,得
∴直线与直线的交点在直线上.故这样的直线存在
模型四:
动圆过定点问题
动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题,也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用。
例题1.已知椭圆是抛物线的一条切线。
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点的动直线L交椭圆C于A、B两点,试问:
在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?
若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由。
解:
(I)由
因直线相切
,故所求椭圆方程为(II)当L与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:
当L与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:
由
即两圆相切于点(0,1)
因此,所求的点T如果存在,只能是(0,1).事实上,点T(0,1)就是所求的点,证明如下。
当直线L垂直于x轴时,以AB为直径的圆过点T(0,1)
若直线L不垂直于x轴,可设直线L:
由
记点、
∴TA⊥TB,即以AB为直径的圆恒过点T(0,1),故在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.
◆方法总结:
圆过定点问题,可以先取特殊值或者极值,找出这个定点,再证明用直径所对圆周角为直角。
例题2:
如图,已知椭圆的离心率是,分别是椭圆的左、右两个顶点,点是椭圆的右焦点。
点是轴上位于右侧的一点,且满足。
(1)求椭圆的方程以及点的坐标;
(2)过点作轴的垂线,再