行测75分必备数学运算经典题型总结.docx

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行测75分必备数学运算经典题型总结

目录

一、容斥原理2

二、作对或做错题问题2

三、植树问题2

四、和差倍问题3

五、浓度问题（含十字交叉法内容）3

六、行程问题（相遇、追及、电梯问题）5

七、抽屉问题6

八、“牛吃草”问题9

九、利润问题9

十、平均数问题10

十二、时钟问题12

十三、年龄问题12

十四、比例问题（什锦糖问题/十字交叉法）13

十五、尾数计算问题（N次方的尾数变化、弃九法）15

十六、最小公倍数和最小公约数问题17

十七、星期日期问题17

十九、比赛场次问题17

二十、接球问题18

二十一、对折剪绳问题18

二十二、圆分割平面问题18

一、容斥原理

　　容斥原理关键就两个公式：

　　1.两个集合的容斥关系公式：

A+B=A∪B+A∩B

2.三个集合的容斥关系公式：

A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C

推出：

满足条件一的个数+满足条件二的个数－两者都满足的个数＝总个数-两者都不满足的个数

其中满足条件一的个数是指只满足条件一不满足条件二的个数加上两条件都满足的个数

　　请看例题：

　　【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是（  ）

　　A.22        B.18       C.28      D.26

　　【解析】设A=第一次考试中及格的人数（26人）,B=第二次考试中及格的人数（24人）,显然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。

答案为A。

　　【例题2】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。

问两个频道都没看过的有多少人？

　　【解析】设A=看过2频道的人（62），B=看过8频道的人（34），显然，A+B=62+34=96；

A∩B=两个频道都看过的人（11），则根据公式A∪B=A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。

【例题3】有62名学生，会击剑的有11人，会游泳的有56人，两种都不会用的有4人，问两种都会的学生有多少人？

思路一：

两种都会+只会击剑不会游泳+只会游泳不会击剑＝62－4 

设都会的为T，11－T+56-T+T＝58，求得T=9 

思路二：

套公式，11+56－T＝62－4，求得T＝9 

二、作对或做错题问题

　　【例题】某次考试由30到判断题，每作对一道题得4分，做错一题倒扣2分，小周共得96分，问他做错了多少道题？

　　A.12        B.4        C.2        D.5

　　【解析】

　　方法一

　　假设某人在做题时前面24道题都做对了,这时他应该得到96分,后面还有6道题,如果让这最后6道题的得分为0,即可满足题意.这6道题的得分怎么才能为0分呢?

根据规则,只要作对2道题,做错4道题即可,据此我们可知做错的题为4道,作对的题为26道.

　　方法二

　　作对一道可得4分,如果每作对反而扣2分,这一正一负差距就变成了6分.30道题全做对可得120分,而现在只得到96分,意味着差距为24分,用24÷6=4即可得到做错的题,所以可知选择B

三、植树问题

　　核心要点提示：

①总路线长②间距（棵距）长③棵数。

只要知道三个要素中的任意两个要素，就可以求出第三个。

　　【例题1】李大爷在马路边散步，路边均匀的栽着一行树，李大爷从第一棵数走到底15棵树共用了7分钟，李大爷又向前走了几棵树后就往回走，当他回到第5棵树是共用了30分钟。

李大爷步行到第几棵数时就开始往回走？

　　A.第32棵     B.第32棵     C.第32棵     D.第32棵

　　解析：

李大爷从第一棵数走到第15棵树共用了7分钟，也即走14个棵距用了7分钟，所以走没个棵距用0.5分钟。

当他回到第5棵树时，共用了30分钟，计共走了30÷0.5=60个棵距，所以答案为B。

第一棵到第33棵共32个棵距，第33可回到第5棵共28个棵距，32+28=60个棵距。

　　【例题2】为了把2008年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。

某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的（不相交）两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗：

（ ）

　　A.8500棵  B.12500棵  C.12596棵   D.13000棵

　　解析：

设两条路共有树苗ⅹ棵，根据栽树原理，路的总长度是不变的，所以可根据路程相等列出方程：

（ⅹ+2754-4）×4=（ⅹ-396-4）×5（因为2条路共栽4排，所以要减4）

解得ⅹ=13000，即选择D。

四、和差倍问题

　　核心要点提示：

和、差、倍问题是已知大小两个数的和或差与它们的倍数关系，求大小两个数的值。

（和+差）÷2=较大数；（和—差）÷2=较小数；较大数—差=较小数。

　　【例题】甲班和乙班共有图书160本，甲班的图书是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

解析：

设乙班的图书本数为1份，则甲班和乙班图书本书的合相当于乙班图书本数的4倍。

乙班160÷（3+1）=40（本），甲班40×3=120（本）。

五、浓度问题（含十字交叉法内容）

溶液的重量＝溶质的重量+溶剂的重量

浓度＝溶质的质量/溶液质量

浓度又称为溶质的质量分数。

【例1】（2008年北京市应届第14题）——

　　甲杯中有浓度为17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的溶液600克。

现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同。

问现在两倍溶液的浓度是多少（）

　　A.20%B.20.6%C.21.2%D.21.4%

　　【答案】B。

　　【解析】这道题要解决两个问题：

（1）浓度问题的计算方法

　　浓度问题在国考、京考当中出现次数很少，但是在浙江省的考试中，每年都会遇到浓度问题。

这类问题的计算需要掌握的最基本公式是

（2）本题的陷阱条件

　　“现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两倍溶液的浓度相同。

”这句话描述了一个非常复杂的过程，令很多人望而却步。

然而，只要抓住了整个过程最为核心的结果——“甲、乙两杯溶液的浓度相同”这个条件，问题就变得很简单了。

　　因为两杯溶液最终浓度相同，因此整个过程可以等效为——将甲、乙两杯溶液混合均匀之后，再分开成为400克的一杯和600克的一杯。

因此这道题就简单的变成了“甲、乙两杯溶液混合之后的浓度是多少”这个问题了。

　　根据浓度计算公式可得，所求浓度为：

如果本题采用题设条件所述的过程来进行计算，将相当繁琐。

关于稀释，加浓，配制。

其中混合后的浓度为P.

稀释，一溶液加水，相当于a克P1%的溶液，和b克0%的溶液配制。

P1          P       a 

      P

0           P1-P     b

加浓，相当于a克p1%的溶液，和b克100%的溶液配制。

P1         P-100   a 

      P

100        P1-P    b

配制则是a克P1%的溶液，和b克P2%的溶液配制。

可列以下十字相乘：

P1       P-P2     a 

    P

P2       P1-P     b 

注：

有些题不用十字交叉法更简单。

例：

有含盐15%的盐水20千克，要使盐水含盐20%,需加盐多少千克？

析：

15           80      20 

       20

100          5       b

80/5=20/b得b=1.25g 

例：

从装满100g浓度为80％的盐水杯中倒出40g盐水后再倒入清水将杯倒满，这样反复三次后，杯中盐水的浓度是（）

A.17.28%   B.28.8%     C.11.52%   D.48% 

析：

开始时，溶质为80克。

第一次倒出40g，再加清水倒满，倒出了盐80*40%，此时还剩盐80*60%。

同理，第二次，剩80*60%*60%。

第三次，乘80*60%^3=17.28g，即浓度为17.28% 

特例：

有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？

析：

设甲浓度P1,乙浓度P2。

混合后的相等浓度为P.拿出的等量的水为a 

则对于甲 

P1      P-P2     120-a 

     P 

P2      P1-P     a 

对于乙 

P2        P-P1     80-a 

     P          

P1        P2-P     a

则120-a      a 

    :

      =     :

 a            80-a 

得a=120*80/120+80 

一般地，对于质量为m1,m2的溶液，也有a=m1*m2 / （m1+m2） 

35.有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？

A24B48C32D16

【天字一号解析】

公式：

mn/（m+n）=120*80/（120＋80）＝48

就这个题目我们先通过简单的方程方法来做!

六、行程问题（相遇、追及、电梯问题）

【例1】（2006年北京市社招第21题）——

　　某单位围墙外面的公路围成了边长为300米的正方形，甲乙两人分别从两个对角沿逆时针同时出发，如果甲每分钟走90米，乙每分钟走70米，那么经过（）甲才能看到乙

　　A.16分40秒B.16分C.15分D.14分40秒

　　【答案】A。

　　【解析】这道题是一道较难的行程问题，其难点在于“甲看到乙”这个条件。

有一种错误的理解就是“甲看到乙”则是甲与乙在同一边上的时候甲就能看到乙，也就是甲、乙之间的距离小于300米时候甲就能看到乙了，其实不然。

考虑一种特殊情况，就是甲、乙都来到了这个正方形的某个角旁边，但是不在同一条边上，这个时候虽然甲、乙之间距离很短，但是这时候甲还是不能看到乙。

由此看出这道题的难度——甲看到乙的时候两人之间的距离是无法确定的。

　　有两种方法来“避开”这个难点——

　　解法一：

借助一张图来求解

　　虽然甲、乙两人沿正方形路线行走，但是行进过程完全可以等效的视为两人沿着直线行走，甲、乙的初始状态如图所示。

　　图中的每一个“格档”长为300米，如此可以将题目化为这样的问题“经过多长时间，甲、乙能走入同一格档？

”

　　观察题目选项，发现有15分钟、16分钟两个整数时间，比较方便计算。

因此代入15分钟值试探一下经过15分钟甲、乙的位置关系。

经过15分钟之后，甲、乙分别前进了

　　90×15＝1350米＝（4×300＋150）米

　　70×15＝1050米＝（3×300＋150）米

　　也就是说，甲向前行进了4个半格档，乙向前行进了3个半格档，此时两人所在的地点如图所示。

　　甲、乙两人恰好分别在两个相邻的格档的中点处。

这时甲、乙两人相距300米，但是很明显甲还看不到乙，正如解析开始处所说，如果单纯的认为甲、乙距离差为300米时，甲就能看到乙的话就会出错。

　　考虑由于甲行走的比乙快，因此当甲再行走150米，来到拐弯处的时候，乙行走的路程还不到150米。

此时甲只要拐过弯就能看到乙。

因此再过150/90＝1分40秒之后，甲恰好拐过弯看到乙。

所以甲从出发到看到乙，总共需要16分40秒，甲就能看到乙。

　　这种解法不是常规解法，数学基础较为薄弱的考生可能很难想到。

　　解法二：

考虑实际情况

　　由于甲追乙，而且甲的速度比乙快，因此实际情况下，甲能够看到乙恰好是当甲经过了正方形的一个顶点之后就能看到乙了。

也就是说甲从一个顶点出发，在到某个顶点时，甲就能看到乙了。

　　题目要求的是甲运动的时间，根据上面的分析可知，经过这段时间之后，甲正好走了整数个正方形的边长，转化成数学运算式就是

　　90×t＝300×n

　　其中，t是甲运动的时间，n是一个整数。

带入题目四个选项，经过检验可知，只有A选项16分40秒过后，甲运动的距离为

　　90×（16×60＋40）/60＝1500＝300×5

符合“甲正好走了整数个正方形的边长”这个要求，它是正确答案。

1.两次相遇公式：

单岸型S=（3S1+S2）/2两岸型S=3S1-S2

例题：

两艘渡轮在同一时刻垂直驶离H河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸720米处相遇。

到达预定地点后，每艘船都要停留10分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。

这两艘船在距离乙岸400米处又重新相遇。

问：

该河的宽度是多少？

A.1120米B.1280米C.1520米D.1760米

典型两次相遇问题，这题属于两岸型（距离较近的甲岸720米处相遇、距离乙岸400米处又重新相遇）代入公式3*720-400=1760选D

如果第一次相遇距离甲岸X米，第二次相遇距离甲岸Y米，这就属于单岸型了，也就是说属于哪类型取决于参照的是一边岸还是两边岸

2.漂流瓶公式：

T=（2t逆*t顺）/（t逆-t顺）

例题：

AB两城由一条河流相连，轮船匀速前进，A――B，从A城到B城需行3天时间，而从B城到A城需行4天，从A城放一个无动力的木筏，它漂到B城需多少天？

　　A、3天B、21天C、24天D、木筏无法自己漂到B城

解：

公式代入直接求得24

3.沿途数车问题公式：

发车时间间隔T=（2t1*t2）/（t1+t2）车速/人速=（t1+t2）/（t2-t1）

例题：

小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，没隔6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（）倍？

A.3B.4C.5D.6

解：

车速/人速=（10+6）/（10-6）=4选B

4.往返运动问题公式：

V均=（2v1*v2）/（v1+v2）

例题：

一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米，返回时速度为每小时20千米，则它的平均速度为多少千米/小时？

（）

A.24B.24.5C.25D.25.5

解：

代入公式得2*30*20/（30+20）=24选A

5.电梯问题：

能看到级数=（人速+电梯速度）*顺行运动所需时间（顺）

能看到级数=（人速-电梯速度）*逆行运动所需时间（逆）

例题：

小明在商场的一楼要乘扶梯到二楼。

扶梯方向向上，小芳则从二楼到一楼。

已知小明的速度是小芳的2倍。

小明用了2分钟到达二楼，小芳用了8分钟到达一楼。

如果我们把一个箱子放在一楼的第一个阶梯上,问多长时间可以到达二楼？

这个题目也是2个行程问题的比较

（1）小明跟扶梯之间是方向相同

（1）:

（V小明＋V扶梯）=1/2

（2）小芳跟扶梯的方向相反

（2）:

（V小芳－V扶梯）=1/8

（1）-2×

（2）=3V扶梯＝1/4可见扶梯速度是1/12答案就显而易见了。

总结：

在多个行程问题模型存在的时候。

我们利用其速度差，速度和的关系将未知的变量抵消。

可以很轻松的一步求得结果！

七、抽屉问题

三个例子：

（1）3个苹果放到2个抽屉里，那么一定有1个抽屉里至少有2个苹果。

（2）5块手帕分给4个小朋友，那么一定有1个小朋友至少拿了2块手帕。

（3）6只鸽子飞进5个鸽笼，那么一定有1个鸽笼至少飞进2只鸽子。

我们用列表法来证明例题

（1）：

放 法

抽 屉

①种

②种

③种

④种

第1个抽屉

3个

2个

1个

0个

第2个抽屉

0个

1个

2个

3个

从上表可以看出，将3个苹果放在2个抽屉里，共有4种不同的放法。

第①、②两种放法使得在第1个抽屉里，至少有2个苹果；第③、④两种放法使得在第2个抽屉里，至少有2个苹果。

即：

可以肯定地说，3个苹果放到2个抽屉里，一定有1个抽屉里至少有2个苹果。

由上可以得出：

题 号

物 体

数 量

抽屉数

结 果

（1）

苹 果

3个

放入2个抽屉

有一个抽屉至少有2个苹果

（2）

手 帕

5块

分给4个人

有一人至少拿了2块手帕

（3）

鸽 子

6只

飞进5个笼子

有一个笼子至少飞进2只鸽

上面三个例子的共同特点是：

物体个数比抽屉个数多一个，那么有一个抽屉至少有2个这样的物体。

从而得出：

抽屉原理1：

把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

再看下面的两个例子：

（4）把30个苹果放到6个抽屉中，问：

是否存在这样一种放法，使每个抽屉中的苹果数都小于等于5？

（5）把30个以上的苹果放到6个抽屉中，问：

是否存在这样一种放法，使每个抽屉中的苹果数都小于等于5？

解答:

（4）存在这样的放法。

即：

每个抽屉中都放5个苹果；（5）不存在这样的放法。

即：

无论怎么放，都会找到一个抽屉，它里面至少有6个苹果。

从上述两例中我们还可以得到如下规律：

抽屉原理2：

把多于m×n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m＋1个或多于m＋l个的物体。

可以看出，“原理1”和“原理2”的区别是：

“原理1”物体多，抽屉少，数量比较接近；“原理2”虽然也是物体多，抽屉少，但是数量相差较大，物体个数比抽屉个数的几倍还多几。

以上两个原理，就是我们解决抽屉问题的重要依据。

抽屉问题可以简单归结为一句话：

有多少个苹果，多少个抽屉，苹果和抽屉之间的关系。

解此类问题的重点就是要找准“抽屉”，只有“抽屉”找准了，“苹果”才好放。

我们先从简单的问题入手：

（1）3只鸽子飞进了2个鸟巢，则总有1个鸟巢中至少有几只鸽子？

（答案：

2只）

（2）把3本书放进2个书架，则总有1个书架上至少放着几本书？

（答案：

2本）

（3）把3封信投进2个邮筒，则总有1个邮筒投进了不止几封信？

（答案：

1封）

（4）1000只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少含有几只鸽子？

（答案：

1000÷50＝20，所以答案为20只）

（5）从8个抽屉中拿出17个苹果，无论怎么拿。

我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出了几个苹果？

（答案：

17÷8＝2……1，2＋1＝3，所以答案为3）

（6）从几个抽屉中（填最大数）拿出25个苹果，才能保证一定能找到一个抽屉，从它当中至少拿了7个苹果？

（答案：

25÷□＝6……□，可见除数为4，余数为1，抽屉数为4，所以答案为4个）

抽屉问题又称为鸟巢问题、书架问题或邮筒问题。

如上面

（1）、

（2）、（3）题，讲的就是这些原理。

上面（4）、（5）、（6）题的规律是：

物体数比抽屉数的几倍还多几的情况，可用“苹果数”除以“抽屉数”，若余数不为零，则“答案”为商加1；若余数为零，则“答案”为商。

其中第（6）题是已知“苹果数”和“答案”来求“抽屉数”。

抽屉问题的用处很广，如果能灵活运用，可以解决一些看上去相当复杂、觉得无从下手，实际上却是相当有趣的数学问题。

例1：

某班共有13个同学，那么至少有几人是同月出生？

（）

A.13B.12C.6D.2

解1：

找准题中两个量，一个是人数，一个是月份，把人数当作“苹果”，把月份当作“抽屉”，那么问题就变成：

13个苹果放12个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放两个苹果。

【已知苹果和抽屉，用“抽屉原理1”】

例2：

某班参加一次数学竞赛，试卷满分是30分。

为保证有2人的得分一样，该班至少得有几人参赛？

（）

A.30B.31C.32D.33

解2：

毫无疑问，参赛总人数可作“苹果”，这里需要找“抽屉”，使找到的“抽屉”满足：

总人数放进去之后，保证有1个“抽屉”里，有2人。

仔细分析题目，“抽屉”当然是得分，满分是30分，则一个人可能的得分有31种情况（从0分到30分），所以“苹果”数应该是31＋1＝32。

【已知苹果和抽屉，用“抽屉原理2”】

例3.在某校数学乐园中，五年级学生共有400人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这400个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？

解3：

因为年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，所以这400名学生出生的日期总数不会超过366天，把400名学生看作400个苹果，366天看作是366个抽屉，（若两名学生是同一天出生的，则让他们进入同一个抽屉，否则进入不同的抽屉）由“抽屉原则2”知“无论怎么放这400个苹果，一定能找到一个抽屉，它里面至少有2（400÷366＝1……1，1＋1＝2）个苹果”。

即：

一定能找到2个学生，他们是同年同月同日出生的。

例4：

有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起。

如果让你闭上眼睛去摸，

（1）你至少要摸出几根才敢保证至少有两根筷子是同色的？

为什么？

（2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子，为什么？

解4：

把3种颜色的筷子当作3个抽屉。

则：

（1）根据“抽屉原理1”，至少拿4根筷子，才能保证有2根同色筷子；

（2）从最特殊的情况想起，假定3种颜色的筷子各拿了3根，也就是在3个“抽屉”里各拿了3根筷子，不管在哪个“抽屉”里再拿1根筷子，就有4根筷子是同色的，所以一次至少应拿出3×3＋1＝10（根）筷子，就能保证有4根筷子同色。

例5.证明在任意的37人中，至少有4人的属相相同。

解5：

将37人看作37个苹果，12个属相看作是12个抽屉，由“抽屉原理2”知，“无论怎么放一定能找到一个抽屉，它里面至少有4个苹果”。

即在任意的37人中，至少有4（37÷12＝3……1，3＋1＝4）人属相相同。

例6：

某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，试问小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书？

分析：

从问题“有1个同学能借到2本或2本以上的书”我们想到，此话对应于“有一个抽屉里面有2个或2个以上的苹果”。

所以我们应将40个同学看作40个抽屉，将书本看作苹果，如某个同学借到了书，就相当于将这个苹果放到了他的抽屉中。

解6：

将40个同学看作40个抽屉，书看作是苹果，由“抽屉原理1”知：

要保证有一个抽屉中至少有2个苹果，苹果数应至少为40＋1＝41（个）。

即：

小书架上至少要有41本书。

下面我们来看两道国考真题：

例7：

（国家公务员考试2004年B类第48题的珠子问题）：

有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一个袋子里，为了保证摸出的珠子有两颗颜色相同，应至少摸出几粒？

（）

A．3B．4C．5D．6

解7：

把珠子当成“苹果”，