离散型随机变量的均值与方差.docx
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离散型随机变量的均值与方差
10.8离散型随机变量的均值与方差
1.离散型随机变量的均值
（1）若离散型随机变量x的概率分布列为
X
X1
X2
Xi
5
Xn
P
p1
p2
p
5
pn
则称E（X）=为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取
值的.
⑵若Y=aX+b,其中a,b为常数，则Y也是随机变量，于是E（Y）=.
（3）①若X服从两点分布，则E（X）=;
②若X〜B（n,p）,则E（X）=.
2.离散型随机变量的方差
⑴若离散型随机变量X的概率分
X
X1
X2
Xi
5
Xn
P
p1
p2
p
5
pn
则称D（X）=为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差.
（2）D（aX+b）=.
（3）①若X服从两点分布，则D（X）=;
②若X〜B（n,p）,则D（X）=.
方差反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度：
D（X）越小，X取值越集中，D（X）越大，X取值越分
散.
自查自纠
1.
（1）Xipi+X2P2+,+Xipi+,+Xnpn平均水平
（2）aE（X）+b（3）①p②np
n
2.
（1）、（Xi-E（X））2piD（X）
（2）a2D（X）
i=1
⑶①p（1-p）②np（1-p）
小易全活
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
?
'已知随机变量E的分布列为
3
1
2
3
P
1
2
x
y
'⑥'某运动员投篮命中率为0.6,他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分
为Y，则E（X）,D（Y）分别为（）
A.0.6,60B.3,12
C.3,120D.3,1.2
解：
X〜B（5,0.6）,Y=10X,所以E（X）=5x0.6=3,D（X）=5X0.6x0.4=1.2,D（Y）=100D（X）=120.故选C.
◎（2017全国卷n）—批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表
示抽到的二等品件数，贝UDX=.
解：
有放回的抽取，是一个二项分布模型，其中p=0.02,n=100，贝UDX=np（1—p）=100x0.02x0.98=1.96.
故填1.96.
題:
随机变量3的取值为0,1,2，若P（3=0）=£E（3=1,则D（3=
5
解：
设P（3=1）=p，则3的分布列如下:
3
0
1
2
P
1
5
P
4
5—p
由E（3=1,得P+24
、321232122
P=1，可得P=5，所以D（3=（0—1）2x5+（1—1）2x-+（2—1）2x£=5.故填；.
类型一摸球模型、抽签模型
GE1一口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球，每次从袋中任意摸出一个球.
（1）采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的均值和方差.
解：
（1）“有放回摸取”可看作独立重复试验，每次摸出一球是白球的概率为P=2=1
63
记"有放回摸两次，颜色不同”为事件A,其概率为P（A）=即⑵设摸得白球的个数为X,则X的取值为0,1,2,
4、/32八4\/2[2、/48
P（X=0）=X—=—,P（X=1）=X—|—X=—,P（X0655656515
11
P（X=2）=6X5=厉
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
2
8
1
5
15
15
2812
E（x）=0X2+1X185+2X15=2
222
D（X）=0-2X2+1-3x茅2-2XA
16
45.
【点拨】求离散型随机变量的分布列的关键在于确定随机变量及其概率.就本题而言，弄清“放回”与“不放
回”在概率计算上的区别是正确解题的关键•均值与方差直接套用公式计算即可.
Q3ZD—厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收.抽
检规则如下：
一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），共抽查三次，若三次都没有抽查到次品，则用户
接收这箱产品，若抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.
（1）求这箱产品被用户接收的概率；
⑵记抽检的产品件数为X,求X的分布列和均值.解：
（1）设“这箱产品被用户接收”为事件A,
_8X7X6=7
P（A）=10X9X8=15.
⑵X的可能取值为1,2,3.
21
P（X=1）=亦=5，
109
45.
所以X的概率分布列为
X
1
2
3
P
1
_8
28
5
45
45
所以E（X）=zX1+8X2+28X3=
54545
类型二停止型问题
CE'（2016兰州模拟）为迎接在兰州举行的“中国兰州国际马拉松赛”，某单位在推介晚会中进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有“兰州马拉松”和“绿色金城行”两种标志，摇匀后,
规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球（登记后放回并摇匀），若抽到的两个小球都印有“兰州马拉松”即可
中奖，并停止抽奖，否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次.已知从盒中同时抽取两个小球不都是“绿色金城行”标志的概率为
5
⑴求盒中印有“兰州马拉松”标志的小球个数；
（2）用n表示某位嘉宾抽奖的次数，求n的分布列和数学期望.
解：
（1）设印有“绿色金城行”的小球有n个，记“同时抽取两个小球不都是’绿色金城行’标志”为事件A,
-c2
则同时抽取两个小球都是“绿色金城行”标志的概率是P（A）=豈，
—4—C21
由对立事件的概率可知P（A）=1—P（A）=4，即P（A）==5解得n=3•所以盒中印有“兰州马拉松”标志的小球个数为3.
（2）由
（1）知，两种球各三个，n的可能取值为1,2,3.C2_1
P（n=1）=C6=5，
P（n=3）=1—P（n=1）—P（n=2）=曇.
则n的分布列为
n
1
2
3
P
1
4
16
5
25
25
所以E（n=1xJ+2X25+3X£=黑
【点拨】解决这类终止型问题，一定要弄清楚终止的条件，根据终止条件确定各种可能结果，再计算相应概率.
到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁疋.
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.
解：
（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A，则P（A）={xTX3=~.
6542
（2）依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.
1
又P（X=1）=1,
6
542
P（X=3）=6X5X1=3
X
1
2
3
1
1
2
P
6
6
3
所以X的分布列为
1125
所以E（x）=1X6+2x6+3X3=2.
类型三二项分布的均值与方差
CE）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.
5
—
50100150200250日销窖最件
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
⑵用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E（X）及方差D（X）.
解：
（1）设A1表示事件"日销售量不低于100个”，A2表示事件"日销售量低于50个”，B表示事件"在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此
P（A1）=（0.006+0.004+0.002）X50=0.6,
P（A2）=0.003X50=0.15,
P（B）=0.6X0.6X0.15X2=0.108.
⑵X的可能取值为0,1,2,3.
P（X=0）=c3X（1-0.6）3=0.064,
P（X=1）=c3X0.6X（1-0.6）2=0.288,
P（X=2）=C3X0.62X（1-0.6）=0.432,
P（X=3）=CX0.63=0.216.
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X〜B（3,0.6），所以数学期望E（X）=3X0.6=1.8,
方差D（X）=3X0.6X（1-0.6）=0.72.
【点拨】n次独立重复试验是重要的模型，要牢记公式：
当X〜B（n,p）时，E（X）=np,D（X）=npq,其中q=1
-p.同时要掌握期望与方差的重要性质：
E（aX+b）=aE（X）+b,D（aX+b）=a2D（X）.
（2015湖北模拟）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体
我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克
35微克/立方米〜75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以
360天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值
如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.
PM2.5
日均值（微克/立方米）
2
8
5
3
2
1
4
3
4
4
5
6
3
8
7
9
8
6
3
9
2
5
（1）从这15天的数据中任取3天的数据，记X表示空气质量达到一级的天数，求X的分布列；
⑵以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级.
Ck•c3「k解：
⑴由题意知N=15,M=6,n=3,X的可能取值为0,1,2,3,其分布列为P（X=k）=63（k=0,1,
C15
所以X的分布列是:
X
0
1
2
3
P
12
216
27
_4
65
455
91
91
Y,贝U丫〜
（2）依题意知，一年中每天空气质量达到一级的概率为15=£,一年中空气质量达到一级的天数为
B360,|，所以E（Y）=360X|=144,所以这360天的空气质量达到一级的天数大约有144无
类型四综合运用
CE据iec（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险•根据测算，风能风区分类标准如下：
风能分类
一类风区
二类风区
平均风速m/s
不低于10
[8.5,10）
假设投资A项目的资金为x（x>0）万元，投资B项目的资金为y（y>0）万元，调研结果是：
未来一年内，位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6,亏损20%的可能性为0.4;位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6,亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是03
（1）记投资A,B项目的利润分别为E和n试写出随机变量E与n的分布列和数学期望E（3,E（n；
（2）某公司计划用不超过100万元的资金投资A,B项目，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目，根据
（1）
的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=e（3+e（n的最大值.
解：
（1）投资A项目的利润3的分布列为
3
0.3x
—0.2x
P
0.6
0.4
贝yE（3=0.18X—0.08x=0.1x.
投资B项目的利润n的分布列为
n
0.35y
0
—0.1y
P
0.6
0.3
0.1
则E（n=0.21y—0.01y=0.2y.
（2）由题意可知x,y满足的约束条件为
x+yw100,
gy,其表示的可行域如图中阴影部分所示.
心0,y>0,
由⑴可知,z=E（3+E（n=0.1x+0.2y,可化为y=—0.5x+5z.
当直线y=—0.5x+5z过点（50,50）时，z取得最大值，即当x=50,y=50时，z取得最大值15.故对A,B项目各投资50万元，可使两个项目的平均利润之和最大，最大值是15万元.
【点拨】随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整
体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再
3
4若初检不合格，则需要进行调
用方差来决定.
红西〕（2017河北唐山二模）某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为
4
试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为評台仪器各项费用如表:
项目
生产成本
检验费/次
调试费
出厂价
金额（元）
1000
100
200
3000
（1）求每台仪器能出厂的概率；
⑵求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：
禾悯=出厂价—生产成本—检验费—调试费）；
⑶假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望.
解：
（1）记每台仪器不能出厂为事件A,则P（A）=1—子1—£=盘，所以每台仪器能出厂的概率P（A）=1—20
19
20.
⑵生产一台仪器利润为1600元，即初检不合格，调试后再检合格，故所求为⑶X可取3800,3500,3200,500,200,—2800.
339
P（X=3800）=4X4=16
1133
P（X=3500）=C2X了4=石，
1冃1
p（x=3200）=5=25
P（X=500）=c；x3X4X5=40,
P（X=200）=c2x5X1X5=5O,
2
p（x=-2800）=4X5=400，
X的分布列为:
X
3800
3500
3200
500
200
—2800
9
3
1
3
1
1
P
16
10
25
40
50
400
1计算均值与方差的基本方法
（1）已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差，可直接用定义或公式求；
⑵已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差和标准差，可直接用均值及方差的性质求；
⑶如能分析所给随机变量服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），则可直接利用它们的均值、方差公式来
求.
2.求均值与方差常用的结论
掌握下述有关结论，会给解题带来方便：
（1）E（aX+b）=aE（X）+b;
E（X+Y）=E（X）+E（Y）;
2
D（aX+b）=aD（X）.
⑵若X〜B（n,p）,则E（X）=np,D（X）=np（1—p）.
3.
（1）在实际中经常用均值来比较平均水平，当平均水平相近时，再用方差比较稳定程度；⑵注意离散型随机变量的均值、方差与样本数据的平均数、方差的区别与联系.
卜〉查漏补缺
1.某射手射击所得环数E的分布列如下:
E
7
8
9
10
P
X
0.1
0.3
y
）
D.0.9
已知E的均值E（3=8.9，则y的值为（
A.0.4B.0.6C.0.7
x+0.1+0.3+y=1,解：
由可得y=04故选A.
l7x+8X0.1+9X0.3+10y=8.9
2.设样本数据X1,X2,,,X10的均值和方差分别为1和4，若y1=Xi+a（a为非零常数，i=1,2,,,10）,
则y2,,,y10的均值和方差分别为（）
A.1+a,4B.1+a,4+a
C.1,4D.1,4+a
解：
由条件，E（y）=E（x）+a=1+a,D（y）=D（x）=4.故选A.
3.已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=2.4,D（X）=1.44,则二项分布的参数n,p的值为（）
A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4
C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.1
解：
由二项分布X〜B（n,p）及E（X）=np,D（X）=np（1—p）得2.4=np,且1.44=np（1—p），解得n=6,p=0.4.
故选B.
4.同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X,则X的均值是（）
A.20B.25C.30D.40
2
解:
抛掷一次，正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为C5=^,X〜B80,£,则E（X）=80X§=25.
216I'16丿16
故选B.
则X的方差D（X）的值为（）
6.口袋中有5只球，编号分别为1,2,3,4,5,从中任取3只球，用X表示取出的球的最大号码，则
数学期望E（X）的值是（）
A.4B.4.5C.4.75D.5
2
解：
由题意知，X可以取3,4,5,P（X=3）=2=1,P（X=4）=C3=g,
C510C510
2
C463
P（X=5）=C!
=矿5，
所以E（X）=3X110+4X13+5x5=4.5.故选B.
7.（2015广东）已知随机变量X服从二项分布B（n,p）.若E（X）=30,D（X）=20,则p=
r
np=30,11
解：
由于X〜B（n,p）,且E（X）=30,D（X）=20,所以’解得p=;.故填1.
a1为首项，公比为2的等
np（1—p）=20.33
8.（2016青岛调研）某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖，且相应获奖概率是以
比数列，相应奖金是以700元为首项，公差为-140元的等差数列，则参与该游戏获得奖金的数学期望为
元.
124
解：
由概率分布性质a1+2a1+4a1=1,所以a1=7,从而2a1=7,4a1=7.
因此获得奖金E的分布列为
700
560
420
1
4
P
7
7
124
所以EE=700X7+560X7+420X7=500（元）.故填500.
9.
某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负•设这支篮球队与其他篮球队比赛，获得
（1）求这支篮球队首次获得胜场前已经负了两场的概率；
（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；
（3）求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望和方差.
解：
（1）因为这支篮球队第一、二场负，第三场胜，三个事件互相独立.所以所求概率Pi=1-1X1-1X3=27.
33
⑵所求概率P2=XX
（3）E服从二项分布B6,3.
10.（2016郑州质量预测）某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商场对没卖出的A商品将以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全
能够把A商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A商品）.该商场统计了100天A商品在每天的前
6小时内的销售量，制成如下表格（注：
视频率为概率）.（其中x+y=70）
前6小时内的销售量t（单位：
件）
4
5
6
频数
30
x
y
（1）若某天该商场共购入6件该商品，在前6个小时内售出4件.若这些商品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客的概率是多少？
⑵若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围.
解:
（1）设“恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客”为事件A,则P（A）=呼
_8
=15.
⑵设销售A商品获得的利润为3单位：
元），依题意，将频率视为概率，为追求更多的利润，则商场每天购进
的A商品的件数取值可能为4,5,6.
当购进A商品4件时，E（3=150X4=600,
当购进A商品5件时，E（3=（150X4-50）X0.3+150X5X0.7=690,
x70一x
当购进A商品6件时，E（3=（150X4-2X50）X0.3+（150X5-50）X而+150X6X「0孑=780-2x,由题意780—2x<690,解得x>45,又知x<100-30=70,所以x的取值范围为[45,70],x€N*.
11.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：
每位顾客从一个装有4个标
有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
（I）顾客所获的奖励额为60元的概率；
（n）顾客所获的奖励额的分布
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